книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

минимальное

значение функционала

(11.75) по всем значениям

bjni, wv0,

wvi

при ограничении (11.73). Получение наилучших

значений

для указанных параметров

производится так, как это

указано

в п.

11.

распределения поля

X {t,

0)

В начальный

момент

времени

при

t =

0 на промежутке

[О,

kT* ] определяется режим

работы объекта

управления

путем

вычисления интеграла (2.79) при априорных

значениях

момен­

тов

распределения

tn0x

(t,

0),

К0х (^.

6,

t, ®)-

величина

либо равная

г и либо

имеющая

значение

меньшее,

чем

ег. Таким

образом, к

моменту

времени,

равному

kT*—б,

либо

промежутке

времени,

равном [kT*, 2kT*], находится

исходя

из

уточненных

значений

моментов распределения поля

X (t,

0);

Ап (0к<">(0 + А . - 1 ( О Y ^ ) (ОН

М о ( 0 Y ( t ) = X(t), (П1.1)

A (Q Ь У (0 =

X

(*),

( I I I . 2 )

где А.(0 — (я + 1) — мерная

матрица-строка

A (t) = (Л„(0 .

Л „ - 1 ( 0

,

.

. .,

A0(t))\

Заметим, что без ограничения общности

можно

считать, что

уравнение ( I I I . 2 )

имеет

нулевые начальные

данные

.

ус«) (о) = . . . ' =

у (0) =

0.

( I I I . 3 )

Действительно,

если

начальные

данные

( I I I . 3 )

не нулевые,

то следует перейти к

процессу

z(t)]=

Y(t)-G(t),

уравнение

порядка п

A (t)

Lx

(t) =

О

(Ш . 4)

с нулевыми

начальными

данными

х с - 1 ) ( 0 ) =

. . .

=х(0)

=

0.

Пусть

В

(t, s) —

решение

уравнения

( I I I . 4 ) ,

зависящее

от

параметра,

удовлетворяющее

условиям

В (s, s) =

В' (s, s) =

• • • =

(S >

S) _

о, £<*-i> {s, s) =

1.

Тогда [35]

решение уравнения

( I I I . 2 ) представится

в виде

t

Y(t)

= \ B(t,

s)X{s)ds.

(III . 5)

о

ти (t)=

MY(t)

и корреляционной

функции

Ку

(tlt t2) = М [Y{tx)

~туШУ(4)

- Щ & ) ] .

Требуется

при

некоторых

дополнительных

предположениях:

1) оценить неизвестные параметры, входящие

в моменты рас­

пределения

niy(t),

К-у (tv

t2);

2) дать оценку

точности

оценивания;

вания.

. .:. .

Заметим, что за время Т в ЦВМ образуется массив статисти­

ческих данных Ry

=. (Y

(tj),

Y (t2),

. . .,

Y (tm))

за время Тк

образуется массив

R ^ =

(У

[tkl),

У (^ 3 ),

. . .,

Y (t^)).

Алго­

ритм оценивания предъявляет минимальные требования

к памяти

ЦВМ, если алгоритм допускает

последовательную обработку мас-

Л

сивов

RKy (X = 1, Л), Ry =

U

R^.

x=i

Случай стационарного входного воздействия. Рассмотрим урав­

нение

( I I I . 2 ) в случае,

когда

X (t)

— стационарный процесс.

Пусть матрица A (t),

входящая

в уравнение ( I I I . 2 ) , постоянна,

цесса

Y (t)

постоянно

rtiy — ту

(t), а корреляционная функция

Ку (^ъ

=

Ку {tx—

t2), причем

аналитическая структура кор­

ности процесса У (t). Оценка неизвестных

параметров,

входящих

в

моменты

распределения

тц,

Ky{t1—t2),

сводится

к задаче,

изложенной

в п.

6.

Пусть матрица A (t) не является постоянной. На основании

данных

массива

R,, в ЦВМ

вычисляем

значения

производных

Y{k)

(t)

(k =

1, п)

и левых

частей

уравнения

( I I I . 2 ) ,

тогда

A(tt)LY(tl)

=

X(tl)

( i = l 7

^ ) ,

niy(t)

=

t bvlUV),

(111.6)

v = l

Ky (h, h) =

2

ikr 9vl {tl) фу1

(/a)'

( I I L 7 )

где / v l (t),

cpv l (t) — известные

ортонормированные на

T функ­

ции; bvl,

cov l —неизвестные

параметры.

Таким'образом, относительно стационарного процесса X (t)

известен массив данных Rx

и аналитическая

структура

моментов

При получении левых частей уравнения

( I I I . 2 ) следует

учиты­

вать

прежде всего

точность

вычисления

производных

У ( А ) (t)

(k

—

1, п). G ростом k погрешность вычисления возрастает. В этом

состоит ограниченность такого

способа оценивания.

3.

Матрица A (i)

не является постоянной и известно решение

В

(t,

s) уравнения

(Ш,4)',

о

[4]

исходя, например, из формул механических квадратур

Y(t,) = t 4 ° * ( * w ) ,

(Ш.8)

\ В (t,

s) X (s) ds =

^-[B

(t, 0) X (0) +

В (tlt

tx)X

о

т. е.

с0т

=

В

(tlt 0), с}1 '

= В

(tlt

tj.

Аналогично вычисляется интеграл для любого момента вре­

мени

t r

Так как процесс Y (t) измеряется без ошибок, то, придавая

индексу

i последовательно значения

i

=

1, in,

получим

из равен­

ства

(Ш.8)

массив данных

Rx =

(X (tj,

. .

.,

X (tm)).

Оценка

параметров

моментов распределения

ту

(t),

Ку

(tlt tj)

сводится

возможно

лишь для частных случаев уравнения ( I I I . 4 ) . В

этом

заключена

слабая сторона

метода.

Случай входного воздействия, имеющего неубывающую

дис­

персию. Пусть в уравнении

(III . 2) X (t) — входное

воздействие,

представляющее собой процесс с независимыми

прираще­

ниями. Допустим, что известно значение моментов

М 7 ( " ' (0),

U

' f - i

YVt) - Y(tt-i)

= J В (tts)

X(s)ds-

J В

s) X (s) ds,

о

о

распределение

которых

нормально. Однако

момент

М

[Y (/,.) -

Y (t^)

-

т„ (tc)

+

ту (tL_x)\ х

X

[Y (tj) -

Y (thl)

- ти (tj) +

my

(tj^)}

ниями ( I I I . 6 ) ,

( I I I . 7 ) .

Перейдем к методам определения моментов распределения вы­

ходной координаты У (t).'

1. Сведение

к

случаю

измеряемого

входного

воздействия.

На основании данных массива

Ry в ЦВМ вычислим значения про­

изводных

У<*> (t)

(7г —

1,

п)

и

левых

частей

уравнения

( I I I . 2 ) .

Тогда для

процесса. X

(i),

имеющего

независимые

приращения,

получим

массив

статистических

данных

Rx

=

X (/,), . . .

. . ., X (tm)).

Аналитическая

структура

моментов

распределения

процесса

X

(t)

определяется

заданием

аналитической структуры

процессов

Y

(I),

исходя из

разложений

( I I I . 6 ) ,

( I I I . 7 ) .

Таким

образом,

определение

моментов

распределения

процесса

Y (t)

свелось к

задаче,

изложенной в

п.

8.

А (0 L i / f (/) = X (0 -

X

(*,_,),

te [t,-u

ы,

(III.9)

A(i)LWi(t)

= X.(tL_1),

lib

(ШЛО)

Уравнение

( I I I . 9 )

рассматривается

при

нулевых

начальных

данных в момент времени

ti_x\

уравнение (ШЛО) — при

началь-

ных

данных

W[k)

(*,_0

=

Y{k)

(f,_0 (k

=

0,

1,

( л —

1));

точки

tt

(i

=

1, т)

удовлетворяют неравенству

(11.34).

Пусть

измеряемой

координатой

системы

управления

наряду

с

У (t)

является

координата

U, {I); за время, равное

Т,

в ЦВМ

наряду

с массивом

R,, образуется

массив

статистических

данных

R„

Вычислим

момент

М [Ut (tt) -

mtti

& ) ] [U, (t,) -

muj

(tj)]

=

j

J

BL

(tit

sx) Bj

(t{, s2) [X (Sl)-X

(t^)

-

mx (Sl) +

mx (/,_,)] x

X

[X (s2) -

X (thl)

-

mx

(S l ) +

m , (*;_,)] rfSl

dsa

= 0,

( I I I . 11)

где i ф j , mHk (tk)

ЛША (4)

(A =

i,

j).

из

условия

( I I I . 11)

Так

как величины

Uk

(t)

нормальны, то

следует независимость величин Ut

(tt), 0,-

(tj).

Запишем

уравнение

( I I I . 2 )

в виде

A(t)LY(t)

= X(t)-X(ti_1)

+

X(tl+1),

i€T,

тогда,

в

силу

линейности

уравнения,

У

(i)

=

Ut

(t) +

Wt (t),

te

[tt.lt

tt].

(III . 12)

Равенство

( I I I . 12)

показывает,

что измеряемыми являются не

только координаты У (t),

U\ (t),

но и для координаты W (1.) в ЦВМ

можно получить массив статистических данных.

Определим процесс U (/), t £ Т,

как процесс,

который на каж­

дом промежутке (t{_lt

t£]

совпадает

с

процессом

Ut (f).

Будем

считать, что процесс U (I) непрерывен в среднем, для этого до­

статочно

потребовать

[13] непрерывность

корреляционной

функ­

ции Ки (t, t). Зададим аналитическую структуру моментов

ти (t),

Ки (t,

t)

аналогично

разложению

( I I I . 6 ) ,

( I I I . 7 ) :

ft.

mw(t)

=

vS= l Mva(0.

" 2

K.W (ti,tt)=

CPv2 Vl)

<Pv2 ('2),

V = l

где / v 2

(t),

cpv 2

(/) — известные

ортонормированные

на T

функ­

ции;

6 v 2 ,

ODV 2 —-неизвестные

параметры.

Зададим аналитическую структуру взаимной корреляционной

функции

Kyw (ti, t2)

на основании

разложения

(1.53)

Kyw

(tlt

t2) =

cpvl (tx) ф д 2 ( * 2 ) .

МшЛ

у CUV1C0m2

.

V = l Д=1

vi ц-

где

cpv l (f), ф й 2 (t) — известные

ортонормированные

на Т

функ­

ции;

Mxvl,

уу,2

— неизвестные

параметры;

cov l ,

cot l 2 —неизвест­

7 Л . Т. Тарушкнна

97

распределения

тц,

Ки (tlt

/2),

mw (t),

Kw

(tlt t2),

KIJW

(tu

t2).

Для оценки неизвестных параметров, входящих в аналитичес­

кую структуру

моментов

распределения процесса U (t), применим

методы, изложенные в п. 8.

Допустим,

Оценивание

с применением

неравенства

Чебышева.

что процесс U (t) с

вероятностью

1 ограничен \U (t)

| ^

с < о о .

Из последовательности (11.34) выделим N непересекающихся по­

следовательностей,

N ^

п, где

п —

общее

число

неизвестных

одномерных

параметров,

входящих

в

моменты

распределе­

ния ту ((),

Ку

( / i ,

t2), mw

(0,

Кш (ti,

t2),

Kyw

(tlt

i2).

Обозначим

эти

последовательности через ti+jN,

где

i

(i —

= 1, N) —

номер

последовательности;

(;

= 0,

1, /•) — номер

Составим

статистики

и1г =

-у- [Ul

(tl) +

Uf/+i

(t\i.\-l ) + • • • + Щг-\) N+l (t(r-l)

JV+l)]i

"Nr

= —

[iff, {tN)'+

Ub/(tw)

H

h UrN

{trN)\,

Определим

функционалы

Vlt

V2

согласно формулам

(11.41),

(11.42). Найдем минимальное значение

функционала Vx

по всем

неизвестным

параметрам,

входящим

в

моменты

распределения

Щ (0>

niw (t).

Пусть минимальное

значение равно

Vlm.

Найдем

минимальное значение функционала

V2. по всем неизвестным пара­

метрам, входящим в моменты распределения

Ку (ti,

t2), Кш

(tlt t2),

Kyw (2ц

t2) при условии, что допустимая область параметров cov l ,

о)д2 определяется неравенствами cov l

>

0,

со> 1 2 > 0. Пусть мини­

мальное значение функционала

равно V2m.

Если

Vim < е ,

V2m

< е ,

'

(Ш.13)

где в >

0 — заданное число,

характеризующее допустимую точ­

минимальные значения функционалов

Уъ

У2.

Если хотя бы одно

из неравенств ( I I I . 13) нарушается,

то

это

означает, что либо

статистических данных R^,

R ^ и, следовательно, предъявляет

к памяти ЦВМ минимальные

требования.

ления ту (*), Ку

t2), mw

(t), Kw (tlt

t2), Куш (tu

t2).

Введем случайные величины щ =

Ut

(tt) — mu

и рассмот­

рим статистики

"МЫ':

Значения vt (i =

1, т)

образуют

независимую

выборку объ­

(11.48), (11.49)

вычисляются'для объема выборки равного т.

В случае,

когда входное воздействие является мартингалом

с

нормальным

законом распределения и его разности

X

—

—

X Ц£_±) (i =

1, т) нормальны, X (t) имеет независимые прира­

щения и обработка массивов статистических данных Rx

с целью

Ух (0 = У (О, У г (0 = У (f)

,

Yn(t) =

Yln-1)(().

(0

v lt\

Аг (О

= ~ Ai-i (t) Уnit)

AQ (t) У, (0 + X (t).

7*

99