книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

Общее число

точек

соА

(k =

1, N)

должно

быть не меньше,

чем

число г, определяющее размерность параметра

q;

максимальное

их

число

определяется

допустимым

временем

решения

задачи

на

ЦВМ.

Пусть

sy

(со) — статистическая

оценка

для

sy

(со). Составим

функционал

V =

4 r S

| с К ) ^ К . ) - 5 л . К ) | 2 .

(IV.2)

Найдем минимальное значение функционала (IV.2) по всем

координатам

параметра

q t

Q (Q — область

допустимого

из­

менения параметра). Пусть

У,„ — минимальное значение функцио­

нала (IV.2),

которое

достигается

при

q

=

q m l .

Если

Vm

< е, где е >

0 — заданное

число,

характеризующее

допустимую

точность в

определении

параметров

матрицы

A

(t),

дения

над

процессом

Y (t).

2. Матрица А (/) не является постоянной. На основании дан­

ных массива

в ЦВМ вычислим значения производных

У<*> (t)

(k

=

1~Гя).

Неизвестные функции As

(i),

входящие в матрицу A (t),

имеют

аналитическую

структуру,. определяемую

разложением

(IV. 1).

Учитывая это обстоятельство,

интегралы

т

т

mv = M X ( 0 =

l i m

^

\X[t)dt =

Mm

f \(l)LY

(t) dt,

T

/C.v(T) =

lira ~~ J

[A (t +

T ) L У {t +

т) — mx] [A (f) У (*) — mx] dt

r-3-co

0

представим в виде сумм интегралов, значения которых

известны,

с неизвестными параметрами at

и их

произведениями

д,-ау- (i, j =

= Т 7 7 ) .

Составим

функционал

т

1

J

A{t)LY(t)dt

—

mx

+

N

Т

т о.

+

-т S { г J [ А

V + т'}

L Y

V-+ Т Л - m * ] [ А М L Y W ~ m * ] d t

~

1' =1'

о

-КЛъ)}\

(IV.3)

г

Y{t.) = \B(ti,s)X(s)ds,

f , 6 T .

(IV.4)

о

V,=

±r\X{t)dt

— tnx +

+ ^

S { + i l X ( f + T ) - ^ " I X ( < ) _ m J d f ~ ^ ( T ) ) '

Если производные

У<й> (t)

(k =

1, /г) вычисляются в ЦВМ

с требуемой точностью,

то случайные величины

г 0

=

А

(*„)

L Y

(*„),

г,. =

A(ti)LY(ti)-A(tl_1)LY(tl_1)

(i =

1,

т)

ционалы (11.41), (11.42), обозначим их

соответственно через

Vxx,

V12.

Определение неизвестного

параметра q, входящего в

ма­

трицу

A (t), сводится к минимизации

функционала

У=Угг

+

Via-

(IV.5)

параметров

матрицы A (t). Образуем случайные величины z0,

z(- (i = 1,

in) согласно формулам (11.37). Составим функционал

нием

( I I I . 2 )

введем

вспомогательные

дифференциальные

уравне­

ния

( I I I . 9 ) , (ШЛО).

Уравнение

( I I 1.9)

рассматривается

при нулевых

начальных

данных в момент времени

уравнение

(ШЛО) — при началь­

ных

данных

W\k) (fc_i) = Y{k)

(£_i) (k =

0, 1,

(я —

1));

точки

t-t (i

= 1, Af)

удовлетворяют

неравенству

(11.34).

Пусть измеряе­

A (tt) Lmy (tt) = ,пх (tt)

(IV.6)

и корреляционной функции

М А (/,) L [У (*,) -

т„ (*,)] • A (tj) L [У (tf)

- ту

(*,)]

=

= Kx(tt,t,),

.

(IV.7)

где tit tj — любые точки

из Т; tnx (tt),

Кх (t[t

tj) —

соответственно

математическое ожидание и корреляционная

функция

процесса

Уг = JN~ 2

[A (tt) L m y (tt) -

m , (ttf

+

^

. | = ] {MA ft) L [Y (tt) -

'

- mB(tt)] [A (tj)

L IK(*,) -

m

y

(t,))-Kx{tt,t{)}\

О применении метода максимального

правдоподобия. Рассмо­

трим задачу оценивания

неизвестного

параметра

q, входящего

в матрицу

A (t), используя

метод максимального правдоподобия.

Рассмотрим

последовательность (11.34).

Для

стационарного

процесса

X (t)

вычислим

вероятность

( * i < X & )

% + йхг 1

Р

\

(

I

V

.

8

)

[xN

<С X (tN) ^

x w

-f-

dxNj,.

где Х[ =

A

(tt) LY (tt);

в качестве

значения Y

(t£)

берутся

зна­

чения реализации процесса Y (t).

Для процесса с независимыми приращениями X (t) вычислим

вероятность

(

zl<X(t1)^z1

+

dz1

z3

<

X (t2) — X (tj) <

z2

+

dz2

I

r T V nx

UAT <

X (tN)

— X (t^)

< z /

V +

dzN)

N

=

P [ z ^

X

^

^

z . + dz^-UPlzjKX

(*,)-

/ = 2

где z1 = A(tJ)LY(t1),

г, = A

(tj) LY

(tj) - A (thl)

LY

(thl).

Предположим,

что процесс

X (t)

нормально

распределен,

наилучшими в среднем квадратическом, введем линейный

класс

оценок. Для этого

возьмем

класс

процессов

U (t), t £ Т

с

неза­

висимыми

приращениями.

Образуем

новый

класс

процессов

W (/,.) =

V ( t t ) —

V

имеющих

независимые

значения, при­

чем моменты времени

взяты из

последовательности

(11.34).

Для неизвестного параметра ajk

функции A-s

(t) будем

строить

линейные

статистические

оценки

вида

л

a)k

=

Yi

itjkr),

где ajkr

— некоторые

r=l

выбор которых

дается

далее;

постоянные,

моменты

времени

tjkr

выбираются

из последовательности

(11.34),

причем

tjkr и t£ms

дают

различные

моменты

времени,

если вы­

полнено хотя бы одно из условий

/ ф i, k ф'm, г Ф s.

Требования, налагаемые на оценки ajk, сводятся к одновремен­

ному

выполнению

условий

1)

Maik

= aIk =

S

VjkrMW (tjkr),

(IV.10)

т. e. a]k

является

несмещенной оценкой параметра а\ь.\

2)

М

[ a , k - a , k

] 3 =

£

a%rMW2(tikr)-

ft

12

S

ajkrMW(tikr)

mi n

M [ajk

—

djkf

,

(IV . 11)

W(t)

=

C(t)W(t) + G(t),

где MW (t) = 0, MW2 (t)

=

1; функции С (t), G (t) определяются

С (0 =

2

с / ,

G(t) =

%gil'.

(IV . I2)

1 = 0

/ = 0

Здесь с(, gt

— неизвестные

параметры;

slt

s2 — заданные

числа.

Дадим методы оценивания неизвестного параметра q, входя­

щего в матрицу

A (t),

для

задачи, поставленной

в п. 18,' исполь­

нение

( I I I . 2 ) ,

постоянна. Тогда для оценки параметра q функцио­

нал (IV.2)

заменим

функционалом

}

sy(m)-sx(wk)\

+ I / 3

,

(IV . 13)

' v

A = i

IL /=о

где для неизвестных параметров Aj

берутся

их оценки

а* =

2

«itW(t„),

q =

(а1,...,ар);

1 =1

слагаемое

V .

r

j

S

B

anMW2{tH)-

2

^jMW(tti)

(IV.14)

/ = 1 U = l

L t ' = l

добавляется

исходя

из

требования

(IV. 11),

причем в

качестве

моментов

MW

(tu), M2W

(t^) берется

их

аналитическая

струк­

тура, определяемая формулой (IV. 12).

Найдем минимальное

значение

функционала

(IV. 13)

относи­

тельно параметров ап,

с,-, gr

Пусть минимум есть

Vm.

Если

Vm

<

е,

где

Б >

0 —

заданное

число,

определяющее

допустимую

точность

в

оценке

параметров,

то

оценки

q*

=

= (а*,

. . .,

ар)

для

неизвестных

параметров

матрицы A

(t)

яв­

ляются

наилучшими. среди

всех

линейных

несмещенных

оценок

мой

координатой

Y (t) мало, либо хотя бы одно из чисел slt

s2,

входящих в моменты распределения ( I V . 12), мало. Для

дости­

жения требуемой

точности необходимо увеличить хотя бы

одну

из

указанных

величин.

Пусть X (t)

—

стационарное входное воздействие и матрица

параметра q матрицы A (f) функционал

. ( I V . 3 )

заменим функцио­

налом

V=VX

+

VS,

где VJL определяется

согласно

формуле

( I V . 3 ) ;

функционал

V3

равен

s,

. 1

2

V3=

Е

М [ajk —

aikY

£

С

j кг

+

I i = 0

+

• f t

s .

(IV.16)

1

gt)to

S

al'kr

Ti

Bitfkr

1=0

/-=1

i = 0

Здесь суммирование ведется по тем j , k, для которых значения

параметров

ajk

неизвестны.

Для неизвестных

параметров

a/k

матрицы

A (t)

возьмем

их

Если

производные

Y<-k) (t)

{k

=

I , n)

вычисляются в

ЦВМ

с требуемой точностью, тогда для определения неизвестного пара­

метра q, входящего в матрицу

A (t),аналогично

функционалу

(IV. 5) составим

функционал

V

=

V u +

V12

+

V 3 )

(IV. 17)

где Vи,

V12

определяются так же, как и в формуле (IV.5), У 3 оп­

ределяется согласно формуле (IV. 16); в качестве неизвестных

параметров

ajk

функции

As (t)

берутся

их

линейные

статистиче­

ские оценки

Щк-

. . .

Найдем минимальное значение функционала (IV . 17) относи­

тельно параметров alkr,

е., gt.

Получение

наилучших

несмещен­

ных линейных

оценок

аналогично

условиям, определяющим

ми­

в матрицу

A (t),

используем

уравнение (IV.6).

Для

оценки

неизвестного

параметра q, входящего в ма­

трицу

A (t),

аналогично функционалу

(IV.7)

рассмотрим

функ­

ционал

V^V.+

Vs,

(IV. 18)

где

V-L

определяется

формулой

(IV.7);

V3

задается

формулой

(IV. 16).

В

отличие от

функционала

(IV. 17) в функционал

(IV. 18) под­

ставляются

не статистические

оценки a)k параметра

а,-ь функции

Aj (t),

а значения его

несмещенной

оценки,

определяемой фор­

мулой (IV. 10).

Найдем

минимум

функционала

(IV. 18)

относительно

пара­

метров ajkr,

cit gr

Получение

наилучших несмещенных

линейных

оценок аналогично условиям, определяющим минимум функцио­

нала (IV. 13).

Случай произвольного входного воздействия. Рассмотрим задачу

оценки

неизвестного

параметра

q,

входящего в матрицу

A (t),

в случае, когда X (t) — произвольное входное воздействие, мо­

менты распределения которого известны. Тогда У

(t)

—

произ­

вольный

выход динамической

системы ( I I I . 2 ) . Измерение

выход­

ной

координаты

У (t)

не позволяет

получить для

параметра q

статистические оценки.

Если

в

системе, управления

априорные

моменты

распределения

входного

воздействия

уточнены, то в не­

Используя результаты, приведенные в п. 14, для процесса

У

(t)

построим эквивалентный

процесс

Wy (t). Предполагая,

что

ма­

трица A (t)

известна, придем к минимизации функционала

(III . 27) .

Однако матрица A (t) содержит

неизвестные

функции

Aj

(t).

Для неизвестного параметра ajk

функции Aj

(t)

возьмем его пред­

ставление

через

формулу

(IV. 10). Составим

функционал

У = У ц +

У1 3 >

(IV-19)

где V 1 ] L определяется

формулой

( I I I . 2 7 ) ; V13

определяется

фор­

мулой (IV. 16).

Найдем

минимум

функционала

(IV. 19)

относительно

пара­

метров ajkr,

cit g£

и параметров glk,

dj, входящих в функционал

( I I 1.27). Получение

наилучших

несмещенных

линейных

оценок

аналогично условиям, определяющим

минимум

функционала

(IV. 13).

Заметим, что при таком подходе используется два класса

процессов с независимыми приращениями: один

класс — для

оценки неизвестных параметров матрицы

A (t), второй класс —

~

=

/*(*, Ди ( 0 . . .

., Aks (t), Yx (t),...,Y„

(0) +

AY(0,

(IV.20)

teT

(k=l,n),

где

Xk

(t)

— входное

воздействие, являющееся

случайным про­

цессом

с

известными

моментами

распределения;

Д. —

некоторые

нелинейные функции

указанных

аргументов; Y (/) =(Y1

(t), . . .

. . .,

Yn

(/)) — «-мерный выход

системы;

Aki

(t)

— непрерывные

Akj

(0 =

Bki (t)

+

t

О*/.ФА/, (0,

(IV . 21)

s = l

где Bkj (t),

(pitfeit)

—

известные

на

T

функции;

akjs—неизвест­

ные

коэффициенты;

г —

конечное

число.

Система (IV.20) рассматривается при нулевых начальных дан­

ных. Выход

системы

Y

(t),

t£T

представляет

собой

измеряе­

мую

координату

системы

управления.

Обозначим через

qkj

=

(akjl,

. . .,

akjr) неизвестный

параметр

неизвестным коэффициентом неизвестной функции Akj

(t),

имею­

щей разложение (IV.21).

Требуется при

некоторых дополнительных предположениях

относительно входных воздействий Xk (t), (k

— 1, п)

дать

стати­

стическую оценку

неизвестным параметрам

qkj.

вычисляется

значение

координаты

d\

__ (dY±

dVa(t)dYn{t) \

dt

~ \ dt ' ' " '

dt

J

Обозначим

ВД =

^P—fk(t,Akl(t),...,

Aks(t),

YAt),. •

Yn(t)).

цесса

Xk

(t)

и корреляционной

функции

Kks (т )

между

процес­

сами

Xk

(t +

т)

и X s {t).

Для

оценки

неизвестных

параметров

q^-

функций

Akj (t)

V = —

S

[ml — mk]2 +

-.

l

2

S [KlsW-KM]2,

(IV.22)

„ „ s

" n

1=1

ft,s=l

где T F

— точки, в которых

определена

корреляционная функция

Kks (т );

число

N

не

меньше,

чем суммарная размерность

всех

неизвестных

параметров

qkj.

Найдем минимальное значение функционала (IV.21) относи­

тельно неизвестных параметров qki

£ Qkj- (Qkj — область

до­

пустимого

значения для

неизвестного

параметра). Пусть

Vm —

минимальное значение функционала (IV.21), которое

принимается

при qkj

=

%•

Если

Vm

<

е, где е >

0 — заданное число, характеризующее

допустимую

точность

в

определении,

параметров

неизвестной

9

Л . Т. Тарушкнна

129