книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

140

& их.вариации—решения стохастической задачи

где

3 Vi

Решения этой стохастической задачи так же, как и на преды­ дущем шагу, определяются соотношениями

Указанная процедура проводится для каждого промежутка

141

Пусть аналитическая структура функции интенсивности опреде­

имеет независимые приращения. В^силу того, что математическое ожидание процесса W (/) равно нулю, математическое ожидание процесса \V (t) также равно нулю'. Корреляционная функция про­ цесса W(t) неизвестна, ее аналитическая структура определяется формулой (V.9). Для процесса W{ (I) имеется массив статисти­ ческих данных Rw. Таким образом, задача априорного уточ­ нения функции интенсивности QL (t) свелась к задаче статисти­

Статистическое оценивание параметров функции интенсив­ ности Qi (t) с применением неравенства Чебышева приводит к обра­ зованию статистик (11.37)

Z l .(0) = ^,.(0),

(V. 10>

(/ = 1, m),

где моменты времени t-t удовлетворяют неравенству (11.34). Затем составляют статистики (11.38), с помощью которых:

следует образовать функционал У2 . согласно формуле (11.42). Определим минимальное значение функционала У 2 относительно параметров q(-.

142

Зададим допустимую точность оценивания параметров функции интесивности, например, величиной е.

Если

тогда наилучшими оценками в смысле среднего квадратического будут те значения, принимаемые параметрами функции интенсив­ ности, при которых функционал V2 достигает своего минимума.

Если

в функцию интенсивности, следует увеличить время измерения процесса W,- (t) с тем, чтобы увеличить массив статистических

тистической проверки гипотез. Для этого следует взять стати­ стики (V.10) и перейти к новым статистикам (11.45). Составим область принятия гипотезы (11.49), с помощью которой произве­ дем идентификацию параметров функции интенсивности.

Как метод оценивания, основанный на применении неравен­ ства Чебышева, так и метод статистической проверки гипотез являются аддитивными относительно результатов обработки мас­ сивов статистических данных R^.

В п. 8 для оценки неизвестных параметров, входящих в мо­ менты распределения процесса с независимыми приращениями, применялся метод максимального правдоподобия. В том случае, когда нет рекомендаций о" минимальном объеме массива стати­ стических данных, по которому производится уточнение неизве­ стных параметров, входящих в моменты распределения, для ста­ тистическою оценивания не следует применять метод максималь­ ного правдоподобия, так как этот метод не обладает свойством аддитивности относительно массивов статистических данных Использование метода составных решений (см. п. 5) связано с ре­ шением дополнительных алгоритмов обработки массивов ста­ тистических данных, построенных на основании составных ре­ шений, относящихся к значениям неизвестных параметров функ­ ции интенсивности. В условиях выбора оптимального закона, управления дополнительная обработка данных связана с воз­ можными потерями в достижении минимума функционала (V.5):

Построение закона управления при статистическом оценивании неизвестных параметров функции интенсивности входного воздей­ ствия. Для того чтобы улучшить качество управления систе-

143.

мой (V.1), будем проводить последовательное уточнение неизве­ стных параметров qwi функции интенсивности Qt- (t) по мере по­ ступления массива статистических данных R^.

При оценивании функции интенсивности с помощью неравен­ ства Чебышева введем в память ЦВМ убывающую последователь­ ность

е ы > . . .

Здесь 8дотвечает допустимой точности, с которой оценивается параметр <7(- на /-м шаге уточнения.

Приближенная оценка величины минимального объема ста­ тистических данных R^,, начиная с которого следует уточнять априорное значение Q 0 (<), может быть получена следующим обра­ зом.

Исходя из канонического разложения (1.22) для процесса Wt (t) определим величину e n l (t) ошибки аппроксимации разложения •{1.22) конечной суммой, содержащей пх членов разложения

ние реализации W( (t). Аналогично статистике (IV.32), составим •статистику

зуя неравенство (IV.33), определим то значение г, при котором имеет место неравенство (IV.33). Тогда величина минимального объема статистических данных Rw, начиная с которого следует уточнять априорные данные, должна иметь массив статистических

,144

Действительно, так как математическое ожидание от условного математического ожидания равно безусловному математическому ожиданию, то из формулы (V.15) получаем

MI = m i n / И | / „ dx - f m i n М J /„ dx.

Статистическое оценивание функции интенсивности помехи, входящей в уравнение наблюдаемых координат. Представим оценку

ется процессом с нормальным законом распределения, незави­ симыми компонентами, нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

M A Y (/) AY {s) = S(t)8(l — s),

где S (t) — функция интенсивности, содержащая неизвестные па­ раметры.

2. Процессы AY (t), V (/) независимы.

Уравнение наблюдаемых координат представим в виде

Процесс V (/) представляет собой белый шум, т. е. является процессом с нормальным законом распределения, независимыми компонентами, нулевым математическим ожиданием и корреля­ ционной матрицей

146

qv» = (& а> • • •. М -

Реализация процесса V (I) представляет собой сумму реали­ заций двух процессов X (/) и Y (t), значения которых известны,

снеизвестным параметром hi (£).

метра s, входящего в формулу (11.38), примем равным двум.

Согласно формуле (11.42) определим функционал V 2 .

Найдем минимальное значение функционала V2 относительно параметров qvi, hi (£). Пусть допустимая точность в оценивании указанных параметров задается величиной &i f , входящей в нера­ венство (V. 11).

то для статистического оценивания параметров qvc, hi (£) следует увеличить массивы статистических данных.

Выбор минимального массива статистических данных, начиная с которого следует уточнять параметры qvc, hi ( t ) , производится так же, как и в случае оценивания функции интенсивности вход­ ного воздействия, если определена априорная функция интенсив-

иостн для ошибки AY (t). В противном случае дать рекомендации по выбору минимального объема массива статистических данных можно лишь используя результаты моделирования системы управ­ ления на стадии ее проектирования.

интенсивностей Q (t), R (i).

Контроль за параметрами, входящими в моменты распределе­ ния случайных воздействий. Предположим, что априорные зна­ чения функций интенсивностей Q (() и R (t), входящих в корре­ ляционные функции (V.3), (V.4), уточнены с требуемой точностью

не следует, так как условия, накладываемые на статистическое оценивание по точности, выполнены. В этом случае на промежутке времени [Тъ Т] в системе управления целесообразно ввести контроль, с помощью которого с заданной вероятностью, можно утверждать, что на промежутке времени, равном (Тг, Т], моменты распределения процессов W (0 и V (t) соответствуют уточненным моментам распределения.

Контроль за параметрами, входящими в моменты распределег ния процесса Wc (f), проведем алгоритмически путем проверки гипотез. Для этого рассмотрим одно из следующих распределений:

3) распределение Фишера с использованием, например, ста­ тистики

В качестве примера построения контроля за значениями пара­ метров, входящих в моменты распределения процесса W\ (t), возьмем статистику (V.14). Зададим величину р\ характеризую­ щую ошибку первого рода в проверке гипотезы: случайные вели­ чины zt (tj) (j = 0, I , г) нормально распределены и имеют мате­ матическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице.

148

В качестве численных значений величины Р возьмем числа 0,10; 0,05. Используя табличные значения для распределения хи-квад­

23. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОМ РЫСКАНИЯ

Уравнение движения. Рассмотрим систему управления, в кото­ рой с помощью корректирующих устройств и управляющей ЦВМг осуществляется сигнал компенсации внешнего случайного воз­ действия (рис. 10). Входом в звено управляющая ЦВМ2— испол­ нительный орган является сигнал W (t), характеризующий ве­ личину ошибки, полученной при компенсации внешнего возму­ щения, i|> (t) — угол рыскания.

Движение рыскания объекта управления, характеризующее колебания продольной оси по отношению к вектору скорости, опи­

лый шум, а именно, процессы с нормальным законом распреде­ ления, нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

MW (t) W (s) = Q (0 б {t— s), MV (0 V (s) = R {t) б (t— s),

где б — дельта-функция Дирака.

Н 9