книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ
.pdfРассмотрим случайную величину ц,'0(- \ Она равна |
= -тг-> |
если только в момент времени, равный i\, ЦВМ( выдала |
ложный |
символ. |
|
Допустим, что гипотеза Я 0 (t[) верна. Все ЦВМ{, показываю щие символ 0, объединим в одно множество, обозначим это мно
жество через R0(t{). |
Зададим р-процентный |
уровень значимости |
||
гипотезы # 0 (t'\), |
например |
5-процентный. |
|
Вычислим значение |
ЛОГ1, обозначим это значение |
через х2 . т.' е. |
|
||
|
Xs |
= 7-. |
• |
(VI.22) |
Статистика (VT.22) имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Используя таблицы распределения хи-квад
рат |
(см., например, [6]), определим значение |
%р такое, что, |
если |
|
%2 > |
/Ср. тогда гипотеза Hq |
(t\) отвергается, |
а это означает, |
что |
ложным символом является |
1; если %~ •< %р> тогда гипотеза Яо (t{) |
|||
принимается, а это означает, что ложным-символом является 1. Указанная процедура проводится для всех ЦВМ, входящих в множество ,R0 (t[). Затем рассматриваются все ЦВМ, не вошед
шие в множество R 0 (t{), для них проверяется гипотеза Нх (t{). Условия проверки гипотезы Нх (t{) аналогичны условиям проверки гипотезы Я о (t[).
Для получения окончательного решения D (t[) применим пра вило, названное правилом большинства составных решающих
правил. |
|
|
|
|
|
|
Для проверки двоичных символов в точке |
Г2 для каждой ЦВМ£ |
|||||
следует учесть, имелась ли ошибка в ЦВМ, |
в момент времени, |
|||||
равный t[. Если ошибки в момент времени t[ в ЦВМс |
не наблюда |
|||||
лось, то |
условия проверки |
гипотез Я 0 |
(%>), Н\ (&) |
аналогичны |
||
условиям |
проверки гипотез |
Я 0 |
(ft), Нх |
(Ц). |
Если же в РУ опре |
|
делено, что в момент времени, |
равный |
t[, в |
IIBMi |
был ложный |
||
символ, то при проверке ложности символа в ЦВМ в момент вре
мени, равный tz, следует составить величину |
(иг—их) |
Э - 1 , |
|
имеющую распределение хи-квадрат с двумя |
степенями |
сво |
|
боды, т. е. |
|
|
|
g = = " а - " ! |
= |
|
(VI.23) |
0! |
0, • |
V |
' |
Проверка гипотез Я 0 (to), Нх (t[) с помощью статистики (VI.23) проводится аналогично проверке гипотез Я 0 (t{), Я\ (t{) при использовании статистики (VI.22).
Таким образом, проводится идентификация двоичных символов в каждой точке последовательности (VI.20).
Приложение
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛОВ
Пусть V (х) — некоторый функционал, зависящий от /г-мерного вектора х = (хи . . ., хп). Обозначим через Г = jx} множество векторов размерности п. Требуется определить минимум функ ционала
|
|
|
|
minV(x), |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
хб Q |
• |
|
|
|
|
|
где |
Q — область допустимого значения |
для |
векторов |
х. |
||||||
Введение вспомогательного параметра. Для отыскания мини |
||||||||||
мума |
функционала |
(1) |
воспользуемся |
|
методом, |
содержащимся |
||||
в [13]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть вектор х зависит от некоторого вспомогательного па |
||||||||||
раметра t£ [О, ool, |
т. |
е. |
х = |
х (t) |
= |
[хг |
(t), |
. . ., хп |
(t)]. |
|
Рассмотрим систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dxt |
|
dV |
,. |
— |
ч |
|
|
, m |
|
1Г |
= - |
Ж |
( 1 = 1 |
' л |
) . |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
где значение частных |
производных |
непосредственно вычисля |
||||||||
ется и представляет собой правые части системы уравнений. Функция х (t), определяемая системой уравнений (2), дает
наиболее быстрое убывание функционала V (х). Действительно, принимая во внимание систему уравнений (2), получаем
п
|
dxi |
dt |
j^j |
\ dxi |
) |
|
=1 |
|
i = i |
|
|
Вместе |
с тем |
|
|
|
|
Таким |
образом, для того |
чтобы |
найти |
минимум функцио |
|
нала V (х), |
достаточно задать |
некоторое начальное приближение |
|||
системы (2), проинтегрировать |
систему |
(2) |
любым численным ме |
||
тодом. На r-м шаге решения системы (2) получим значение х (tr). Так как каждый шаг интегрирования уменьшает значение функ ционала V, то
UmV(x(tr)) |
= mmV(x), |
(3) |
0 0 |
х 6 Г, |
|
171
где T j — часть подмножества множества Г, зависящего от |
на |
чального приближения системы (2). • |
|
Относительно численного использования данного метода |
за |
метим следующее: |
|
1)выбор начального приближения зависит от специфики задачи;
2)шаг интегрирования системы (2) выбирается так, чтобы вы полнялось единственное условие: от шага к шагу функционал V должен монотонно убывать.
Введение вспомогательного параметра для отыскания экстре мума функционала содержится и в других работах (см., например,
[361). Однако метод, данный в [13], обладает преимуществами: простотой введения параметра; простотой алгоритма; примени мостью к любым функционалам; простотой реализации с помощью ЦВМ.
Приложение метода минимизации функционалов к решению билинейной системы алгебраических уравнений. Рассмотрим били нейную систему алгебраических уравнений
|
Yiati»xixi |
= b » |
(4) |
|
|
и - * |
|
|
|
где ails, bs—известные |
числа; |
xt-'(t* = 1, п) — неизвестные |
эле |
|
менты. |
|
|
|
|
Переходя к матричной |
форме |
записи, представим систему |
(4) |
|
в виде |
|
|
|
|
x A s x ' |
= bs |
(s — ТГт), |
(5) |
|
где х — n-мерный вектор; штрих означает транспонирование эле мента х; As — матрица размера п X п.
Не ограничивая общности, будем считать, что все элементы, входящие в систему (5), вещественны. Составим форму
|
|
|
|
т |
[х А, х ' - & , ] * • |
(6) |
|
|
|
|
|
V ( x ) = £ |
|||
Тогда система (5) эквивалентна условию V (х) = 0. |
|
||||||
Определение. |
Вектор х назовем |
решением системы (5), |
если |
||||
|
|
|
|
V(x) = |
minV(x) |
|
|
Из |
данного |
определения |
следует: |
|
|||
1. |
Если |
V (х) = |
0, то система |
(5) совместна и xAs x' |
= bs. |
||
2. |
Если |
V (х) |
Ф |
0, то система (5) несовместна и х дает наилуч |
|||
шее приближение для системы (5) в смысле среднего квадратического значения.
Для отыскания минимального значения функционала У (х) применим метод введения вспомогательного параметра [13].
172
Величина минимума функционала (3) зависит от начального приближения х„, поэтому интересно рассмотреть случай, когда
этой |
зависимости |
нет. |
|
|
|
|||
Теорема. |
Если для системы уравнений (5): |
|
||||||
1) |
для |
всех |
/ |
bi |
4= 0; |
|
|
|
2) |
для |
всех |
х 6 Г |
формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ( £ - £ ) Х ' ^ 0 |
( / < / ) ' |
|
||
|
|
|
|
|
А/ |
|
|
|
|
|
|
|
' х р - х' ^ 0 (it j — 1, т) |
|
|||
положительно |
полуопределенны; |
|
|
|
||||
3) |
ранг |
матрицы, |
полученный |
из системы уравнений |
|
|||
|
|
|
|
- |
fy) х' = 0 |
(i, j = |
Ь М < / ) , |
(7) |
меньше « ;
4) вектор х является ненулевым решением системы (7) и не является решением системы
|
|
|
|
|
|
£ - х ' = 0. |
|
|
(8) |
||
то вектор с 1 / 2 х, |
где с — |
|
нормирующая постоянная, |
дает глобаль |
|||||||
ный |
минимум |
функционалу |
|
V. |
|
|
|
||||
Для доказательства следует рассмотреть вспомогательную |
си |
||||||||||
стему |
уравнений |
|
|
' |
|
|
(<'/=ГЯ »</). |
|
|
||
|
Х |
|
Х |
= |
0 |
(9) |
|||||
Показать, что( ¥ - ^ ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выпуклы. Затем |
показать, |
что множество решений |
|
системы |
(9) |
||||||
совпадает с множеством |
|
решений системы (7). |
|
|
|
||||||
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А н д р е е в В. Д . Теория инерциальнон навигации. М., «Наука», 1966,
579 |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
А н д р е е в |
И. И. Корреляционная теория |
статистически |
оптималь |
||||||||||
ных систем. М., «Наука», |
1966, 456 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. |
Б е н д а т |
Д |
ж., |
П и р с о л А. Измерение |
и анализ случайных |
про |
||||||||
цессов. |
М., «Мир», |
1971, 408 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. |
Б о г у с л а в с к и й |
И. А. Методы навигации и |
управления |
по |
не |
|||||||||
полной |
статистической информации. М., |
«Машиностроение», |
1970. |
256 с. |
|
|
|||||||||
|
5. |
Б е р е з и н |
И. С , |
Ж и д к о в |
Н. П. Методы вычислений. |
Т. |
I ; I I . |
||||||||
М., Физматгиз, 1962, |
464;'639 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6. |
В а н |
д е р |
|
В а р д е н. Математическая |
статистика. М., |
ИЛ, |
1960. |
|||||||
434 |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислительная техника для управления производственными процес |
|||||||||||||
сами. Справочник. Под ред. Ю. С. Вальденберга. М., «Энергия», |
1971, 479 с. |
||||||||||||||
|
8. |
Г е л ь ф а и д б е й н Я. А. Методы кибернетической |
диагностики |
дина |
|||||||||||
мических систем. Рига, «Зинатне», 1967, |
542 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9. |
Г р е н а н д е р |
У. |
Случайные |
процессы. М., ИЛ, 1961, |
167 с. |
|
|
|||||||
|
10. |
О'Д о н н е л а. |
Инерциальная |
навигация. М., «Наука», |
1969, |
592 с. |
|||||||||
|
11. |
Д у б |
Д ж. |
|
Л. Вероятностные |
процессы. |
М., ИЛ, |
1956, |
605 с. |
|
|
||||
12.З у б о в В. И. Математические методы исследования систем автомати ческого регулирования. Л . , Судпромгиз, 1959. 324 с.
13.3 у б о в В. И. Теория оптимального управления. Л . , «Судостроение», 1966. 352 с.
14.3 у б о в В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л . , «Судостроение», 1970. 317 с.
15. |
И г н а т ь е в |
М. |
Б., |
М и х а й л о в |
В. |
В. Метод повышения функ |
||||||||||||||
циональной |
надежности |
|
и точности |
вычислительных |
устройств. |
Л Д Н Т П , |
||||||||||||||
1964. 35 |
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
К а з а к о в |
И. |
Е. |
Статистические |
методы |
|
проектирования |
систем |
||||||||||||
управления. М., «Машиностроение», 1969, |
262 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17. |
Л е м а н |
Э. Проверка |
статистических |
гипотез. М., «Наука», 1964, 498 с. |
||||||||||||||||
18. |
М о н и н |
|
А. |
С , |
Я г л о м |
А. |
М. |
Статистическая |
гидромеханика. |
|||||||||||
Механика турбулентности. Ч. |
I . М., «Наука», 1965. |
639 с. |
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
Натансон |
|
|
И. П. Теория функций вещественной переменной. М., |
||||||||||||||||
Физматгиз, |
1957. |
552 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. О б у х о в |
А. |
М. Вероятностное описание непрерывных полей. — |
||||||||||||||||||
«Украинский математический |
журнал», |
1954, |
Т. |
|
6, |
№ |
1, с. 37—42. |
|
||||||||||||
2 1 . П о п о в |
|
Е. П. Автоматическое регулирование и управление. М., |
||||||||||||||||||
Физматгиз, |
1962. |
388 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. |
П о п о в |
|
Е. П., |
|
П а л ь т о в |
И. П. Приближенные методы |
исследова |
|||||||||||||
ния нелинейных |
автоматических систем. М., |
Физматгиз, |
1960. |
792 с. |
|
|||||||||||||||
23. |
П у г а ч е в |
B . C . Теория случайных функций |
|
и ее применение |
к зада |
|||||||||||||||
чам автоматического управления. М., Физматгиз, |
|
1960. |
883 с. |
, |
|
|
||||||||||||||
24. С в е ш н и к о в |
|
А. А. Прикладные методы теории случайных функ |
||||||||||||||||||
ций. М., |
«Наука», |
1968. |
463 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
25. |
Т а р у ш к и н |
В. Т. Некоторые задачи стабилизации и контроля |
||||||||||||||||||
ориентации |
тел в |
|
инерциальном |
п о л е . — « В е с т н и к |
ЛГУ». |
1969. |
Т. |
1, |
№ 1, |
|||||||||||
с. 148—155. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
Т а р у ш к и н |
В. Т., |
Т а р у ш к и н а |
|
Л. Т. Оптимальное управле |
|||||||||||||||
ние динамической |
системой с идентификацией параметров входного воздействия. |
|||||||||||||||||||
Управление. — В |
кн.: Доклады |
I I Всесоюзного |
совещания по |
статистическим |
||||||||||||||||
методам |
теории управления. М., |
«Наука», |
1970. |
|
с. 53—62. |
|
|
|
||||||||||||
27. |
Т а р у ш к и н |
В. Т., |
Т а р у ш к и н а |
Л. Т. Выбор корректирующих |
||||||||||||||||
устройств, |
снижающих |
чувствительность функционала |
качества относительно |
|||||||||||||||||
174
идентификации случайных входных |
воздействий. — В кн.: Теория |
инвариант |
||||
ности и теория чувствительности автоматических систем. Материалы |
I V |
Все |
||||
союзного совещания. |
Ч. |
I I . Киев, |
1971. с. 228—238. |
|
|
|
28. Т а р у ш к и |
н а Л. Т. О статистической оценке параметров систем |
авто |
||||
матического управления. Нелинейные и оптимальные системы. — В |
кн.: Труды |
|||||
I Всесоюзного симпозиумапо статистическим проблемам в технической кибер |
||||||
нетике. М., «Наука», |
1971. с. 30—36. |
|
|
|
||
29. Т а р у ш к и н а |
Л. Т. Построение фундаментальной системы |
решений |
||||
линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами,, со держащими неизвестные параметры. Управление, надежность, навигация. —
«Ученые |
записки ЛГУ», |
1969, |
вып. 68, с. |
60—70. |
|
||
30. |
Т и х о н о в В. И. Выбросы случайных |
процессов. М., «Наука», 1970. |
|||||
392 с. |
|
|
|
|
|
|
|
3 1 . |
Ч е р и е ц к и й |
В. И. Анализ точности |
нелинейных систем |
управле |
|||
ния. М., «Машиностроение», 1968. |
247 с. |
|
|
|
|||
32. |
Ч е р н е ц к и й |
В. |
И., |
Д и д у |
к Г. |
А . , П о т а п е н к о |
А. А. |
Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л . , «Энергия». 1970. 374 с.
, 33. Ч е л п а и о в И. Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных системах. М., «Наука», 1967. 392 с.
34. Ш а ф р и и ' Ю . А. О статистических характеристиках озоносферы. — «Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана», 1966, Т. 2, № 6, с. 647—655.
35.Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., «Наука», 1965. 424 с.
36.Я к о в л е в М. Н. К решению систем нелинейных уравнений методом
дифференцирования по параметру. — «Журнал |
вычислительной математики |
и математической физики», 1965, Т. 4 № 1, с. |
146—149. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
Глава |
I . |
О статистическом |
оценивании |
параметров |
и алгоритмах реше |
|
||||||
|
|
|
ния, реализуемых |
с помощью |
ЦВМ . |
|
|
5 |
||||
|
1. |
Общая постановка задачи статистического оценивания и иден |
|
|||||||||
|
|
|
тификации |
|
. . . |
Л |
|
|
|
|
|
— |
|
2. |
Классы функций и аналитическая структура моментов распре |
|
|||||||||
|
|
|
деления |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
3. |
|
Вероятностные свойства сигналов, поступающих с измери |
|
||||||||
|
|
|
тельных устройств |
|
|
|
|
|
|
27 |
||
|
4. |
|
Особенности |
решения задач статистического оценивания . . . |
31 |
|||||||
|
5. |
|
Составные и |
окончательные решения |
. . • |
|
33 |
|||||
Глава |
I I . Статистические методы оценивания |
моментов |
распределения |
|
||||||||
|
|
|
случайных |
|
процессов и полей |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
6. |
|
Оценивание |
|
математического |
ожидания |
и корреляционной |
|
||||
|
|
функции стационарного случайного |
процесса |
|
— |
|||||||
|
7. |
Определение |
момента включения объекта |
управления . . . . |
54 |
|||||||
|
8. |
Оценивание |
и идентификация моментов распределения случай |
|
||||||||
|
|
|
ных процессов, имеющих неубывающую дисперсию |
60 |
||||||||
|
9. |
Статистическая обработка сигналов, поступающих с чувстви |
|
|||||||||
|
|
тельных элементов |
|
|
|
|
|
|
73 |
|||
|
10. |
Оценивание |
моментов распределения однородного и изотроп |
|
||||||||
|
|
|
ного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
11. Оценивание и идентификация моментов |
распределения случай |
|
|||||||||
|
|
ных полей, имеющих каноническое |
разложение |
частного вида |
79 |
|||||||
|
12. |
Обработка |
контрольно-измерительных |
данных, |
поступающих |
|
||||||
|
|
с объекта управления |
|
|
|
|
|
86 |
||||
Глава |
I I I . Статистические методы оценивания выходных |
координат ди |
|
|||||||||
|
|
|
намических |
систем |
|
|
|
|
|
|
92 |
|
13.Оценивание и идентификация моментов распределения выход ных координат линейных динамических систем при входных
|
|
воздействиях |
частного |
вида . |
|
|
|
|
|
|
|
— |
||||||
|
14. |
Оценивание |
моментов |
распределения |
выходных |
координат |
|
|||||||||||
|
|
линейных |
динамических |
систем |
при |
произвольных |
входных |
|
||||||||||
|
|
воздействиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
||
|
15; |
Оценивание |
и идентификация |
моментов |
распределения |
выход |
|
|||||||||||
|
|
ных координат нелинейных динамических систем |
|
|
|
107 |
||||||||||||
|
16. |
Оценивание |
моментов |
распределения |
|
ошибок, |
возникающих |
|
||||||||||
|
|
при определении координат центра масс объекта управления, |
|
|||||||||||||||
|
|
исходя из |
показаний |
акселерометров |
|
|
|
|
|
|
111 |
|||||||
|
17. |
Преобразование случайного поля |
линейным |
оператором . . . |
116 |
|||||||||||||
Глава |
IV. |
Статистические |
методы |
оценивания |
|
параметров, |
входящих |
|
||||||||||
|
|
в |
уравнения динамических |
систем |
|
|
|
|
|
|
118 |
|||||||
|
18. |
Оценивание |
и\ идентификация |
параметров линейных |
динами |
|
||||||||||||
|
|
ческих систем при входных воздействиях частного |
вида . . . |
— |
||||||||||||||
|
19. Оценивание в классе линейных оценок |
|
|
|
|
|
124 |
|||||||||||
|
20. |
Оценивание |
параметров |
нелинейных |
динамических |
систем . . |
128 |
|||||||||||
|
2 1 . Выбор корректирующих |
устройств в |
процесс |
работы |
системы |
|
||||||||||||
|
|
управления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
131 |
||
Глава |
V. |
Построение закона управления автоматическими системами |
|
|||||||||||||||
|
|
при статистическом оценивании |
параметров |
|
|
|
|
138 |
||||||||||
|
22. Управление неполностью наблюдаемой динамической системой |
— |
||||||||||||||||
|
23. Оптимальное управление углом рыскания |
|
|
|
|
149 |
||||||||||||
|
24. |
Программное |
управление |
линейной |
системой, |
оптимальной |
|
|||||||||||
|
|
по |
вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153 |
||
Глава |
VI. |
Диагностические |
процедуры, |
определяющие состояние ЦВМ |
160 |
|||||||||||||
|
25. |
Статистические тесты диагностики ЦВМ при решении дина |
|
|||||||||||||||
|
|
мических |
задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
||
|
26. Решающие правила идентификации двоичных символов в систе |
|
||||||||||||||||
|
|
мах |
с избыточностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167 |
|||
Приложение |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171 |
||
Литература |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174 |
||
