книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

[ 3 4 ], с переходом к зиме изотропность, а затем и однородность поля нарушается.

Основные радиофизические свойства • морской поверхности описываются стационарными случайными процессами, корреля-

Рис. 4. Дисперсия ошибки угловой скорости ухода гироскопа:

/ — экспериментальная кривая дисперсии ошибки; 2, 3 — аппроксимация дисперсии ошибки

ционные функции которых носят экспоненциальный характер. Диэлектрические свойства морского льда являются нестационар­

как правило, статистические данные являются случайными по­ лями.

30

4. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Требования к методам и алгоритмам решения. На вход ЦВМ за время Т поступает массив статистических данных R ^ ( X = 1, Л), характеризующий -значения измеряемых координат объекта управления. Массив статистических данных представляет собой в реальном масштабе времени одну реализацию многомерной случайной функции. Отсюда следует, что для задач стохастиче­ ского управления необходимо иметь методы обработки статисти­ ческих данных, которые позволяют по одной многомерной реали­ зации случайной функции уточнить априорные данные системы управления.

В настоящее время обработка статистических данных, содер­ жащих одну реализацию, применяется в основном только для стационарных функций, обладающих свойством эргодичности. Однако, используя статистическое оценивание и идентификацию параметров, входящих в моменты распределения случайных функций, класс функций можно расширить: рассмотреть статисти­ ческие данные, значениями которых являются не только стацио­ нарные процессы, но. и процессы с независимыми приращениями, процессы, являющиеся мартингалами, случайные поля однород­ ные и изотропные и поля, имеющие каноническое разложение (1.46)

Применение аналитической структуры моментов распреде­ ления случайных функций приводит к классическим задачам математической статистики, когда значение неизвестного много­ мерного параметра оценивается или идентифицируется по выбо­ рочным значениям. Для оценки неизвестного параметра будем использовать как параметрические, так и непараметрические методы. Применение того или иного метода зависит, прежде всего, от принадлежности измеряемой случайной функции к опре­ деленному классу.

Возможны различные требования к алгоритмам статистиче­ ского оценивания и идентификации при их реализации с помощью ЦВМ.

1.Минимизация времени решения алгоритма при заданных ограничениях на объемы памяти, быстродействие, точность ре­ шения.

2.Минимизация требуемого объема памяти ЦВМ при задан­ ных ограничениях на время и точность решения.

Ограничения, накладываемые как на объемы памяти ЦВМ, так и на точность решения, отражаются как в постановке задач статистического оценивания и идентификации, так и .на выборе метода решения.

Рекуррентность алгоритма относительно массива статисти­ ческих данных позволяет значительно снизить требования, предъ­ являемые к памяти ЦВМ. Ограниченность быстродействия ЦВМ

31

приводит к необходимости иметь различные по точности алго­ ритмы обработки, имеющие различное время решения.

Ошибки при реализации алгоритмов. К ним относятся следую­ щие ошибки.

1. Методические, связанные с выбором численного метода решения, положенного в основу реализации данного алгоритма. Обозначим через ем максимальное значение методической ошибки при выбранном методе вычисления. Вычисления, максимальной методической ошибки при различных методах вычисления даны, например, в [ 5 ] .

При статистическом оценивании и идентификации аналитиче-. ские зависимости, подлежащие реализации в ЦВМ, содержат значения случайных функций. Поэтому методическая ошибка является случайной величиной, и более точное ее значение может

шей разрядной сеткой или же вычислением алгоритма на данной ЦВМ с использованием кратной разрядной сетки. Если же алго­ ритм рекуррентен, то ошибку округления можно получить иным путем.

положения. Пусть е; .— независимые случайные величины, име­

в пределах допустимой точности имеет место линеаризация вида

• Продолжая аналогичные вычисления, получим, что ошибка округления на п-и шаге равна |„ и ее дисперсия есть D|„ = nDs„.

32

Данную схему получения ошибок округления можно обобщить на тот случай, когда ошибка округления е£ имеет распределение, зависящее от номера шага, причем ег , в, независимы при I Ф \. Ошибка округления \п имеет монотонно возрастающую диспер­ сию. Для получения значений моментов т\п, M|« .следует исполь­ зовать результаты, приведенные в п. 8.

3. Ошибки Е Д в задании исходных данных системы управле­ ния, т . е. ошибки в задании априорных данных системы управ­ ления, и ошибки, допущенные при формировании массивов ста­ тистических данных.

Обозначим через г01К величину ошибки, полученной при оце­ нивании или идентификации параметров системы управления с помощью ЦВМ. Тогда дисперсия суммарной ошибки, с которой реализуется алгоритм статистического оценивания, не превосходит величины

При реализации алгоритмов статистического оценивания и идентификации с помощью ЦВМ необходимо учитывать следу­ ющие факторы, характеризующие оптимальность алгоритма:

1)точность алгоритма решения, положенного в основу обра­ ботки массивов статистических данных, с целью уточнения,априор­ ных данных об объекте управления;

2)объем памяти ЦВМ, необходимый для реализации алгоритма;

3)количество машинных операций, необходимых для реали­ зации алгоритма;

4)оценка времени решения;

5)простота программируемое™ алгоритма в системе команд данной ЦВМ.

5. СОСТАВНЫЕ

ИОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

Сущность проблемы. Пусть q — неизвестный параметр си­ стемы управления, который требуется оценить по результатам обработки массивов.статистических данных R^ {% — 1, Л) с по­ мощью ЦВМ, реализуя некоторый алгоритм обработки.

Предположим, что в память ЦВМ введены одновременно мас­ сивы RK(X = 1, А). В результате обработки указанных массивов возможно следующие случаи:

1) статистических данных, входящих в массивы R,, достаточно для того, чтобы оценить параметры q с требуемой точностью;

2) для получения оценки параметра q с точностью не меньше заданной необходимо увеличить количество статистических дан­ ных, т. е. к массивам Rx (X = 1, Л) необходимо добавить еще не­ которое количество массивов статистических данных.

Из способа формирования массивов следует, что любых два массива Rx , Rt l не содержат общих данных, отнесенных к одному и тому же моменту времени. Действительно, массив Rx содержит данные об объекте управления, которые поступают в ЦВМ за время, равное 7\, массив Rt l — за время, равное TlL, но отрезки времени 7\, 7\v между, собой не пересекаются.

Если процесс вычисления, связанный с получением оценки для параметра q, аддитивен относительно массивов статистических данных, то алгоритм сводится к рекуррентным соотношениям, которые предъявляют к памяти ЦВМ минимальные требования.

Для реккурентных алгоритмов обработки добавление к масси­ вам R^ (X = 1, Л) новых массивов не требует увеличения памяти ЦВМ.

Если алгоритм не является рекуррентным, увеличение мас­ сивов статистических данных ведет к увеличению объема памяти ЦВМ. Допустим.^что памяти ЦВМ не хватает, чтобы одновременно обработать все массивы статистических данных. Выход может быть найден, если реализовать одну из следующих возможностей.

1. Увеличить количество ЦВМ, ведущих обработку статисти­ ческих данных, т. е. перейти к обработке данных с пбмощью многомашинного цифрового вычислительного комплекса, в состав которого входит несколько ЦВМ. Однако такой способ обработки ведет, прежде всего, к увеличению веса и габаритов системы управления, что нежелательно при использовании ЦВМ специаль­

обработку массивов. Рассмотрим подробнее указанную возмож­ ность.

Хранение статистических данных и метод последовательной обработки. Требования к объему памяти ЦВМ, осуществляющей обработку массивов статистических данных, могут быть снижены,

занную процедуру следует повторить последовательно со всеми

34

из поиска соответствующей ячейки, записи кодов чисел, считыва­ ния, стирания кодов.

Рассмотрим правила считывания статистических данных из

БЗУ.

1. Что первым записано в память БЗУ, то первым и считывается.

сива R^ остается в одном и том же классе функций за все время записи массива Rx.

2. Что последним записано, то первым считывается.

Рис. 5. Поступление статистических данных на обработку в управляющую ЦВМ:

УВ — устройство ввода; УУ — устройство управления; БЗУ — буферное запоминаю­ щее' устройство; ОЗУ — оперативное запоминающее устройство; А У — арифметическое устройство

Данное правило используется, если хотя бы одна из координат . вектора г (tXp) за .время записи массива R^ может изменить принадлежность к классу функций. Например, за время Т ра­ боты системы управления процесс X (t) является стационарным; ;за время, равное 2Т, процесс X (t) — нестационарен. Если время записи массива R^ равно Тх '= 2Т, то принимается второе пра­ вило считывания из БЗУ.

Обработка статистических данных внутри массива Rx может быть последовательной по отдельным каналам измерений, если только измерения, соответствующие различным каналам, стати­ стически независимы. В противном случае обработка данных вну­ три массива, содержащего данные различных каналов, должна быть последовательно-параллельной, причем места прерывания при переходе с одного канала на другой определяются алгоритмом обработки.

Составные решения. При реализации алгоритмов обработки

ляются алгоритмы, содержащие рекуррентные соотношения. Од­ нако далеко не всегда алгоритм можно свести к рекуррентным соотношениям, сохраняя при этом требуемую точность.

Рассмотрим реализацию на ЦВМ алгоритмов обработки при последовательной обработке массивов статистических данных.

Правило d = d% обработки массива статистических данных назовем составным решением по массиву Rx. Каждый из мас­ сивов Rx будем обрабатывать в общем случае по своему правилу обработки. Применение к различным массивам статистических данных различных решающих правил, определяющих составные решения, может сократить время обработки всего множества массивов R^ (X = 1, Л) статистических данных, сохраняя при этом требуемую точность решения.

Таким образом, при последовательной обработке массивов

с помощью составных решений

для неизвестного параметра q системы управления. Соответственно, для каждой неизвестной координаты qL век­

тора q, определяемой соотношением (1.7), получим последователь­ ность оценок

Окончательное решение. Правило, по которому на основании последовательности оценок (1.60) делается вывод о значении, принимаемом неизвестным параметром q системы управления

36

определяются по массиву статистических данных, образованному последовательностью (1.60), согласно методам, изложенным в п. 6.

определяются по массиву статистических данных, образованному

(II . 9) имеет при условиях, указанных в п. 5, минимальное зна­ чение меньше, чем минимальное значение функционалов типа

В этом случае правило принятия окончательного решения сводится к определению величины математического ожидания

ЛЯ=1

где F (X) — диагональная матрица размерностью k X k

37

fi W — функции, интегрируемые с квадратом; штрих означает транспонирование.

лА.=1

Тогда [9] оценки q* будут иметь минимальную дисперсию, рав

Ную 21 fl^COvi Lv=i

Правило принятия окончательного решения относительно параметра qc есть qi = Mqc, при этом

ЛЯ.=1

Ы л ) = £ сч1ц>у(к),

v = l

где cV£- определяются из условия (1.65); cpv (к) — собственные функции корреляционной функции Ки (к, к) процесса Q(. (к).

38

Заметим, что оценки для параметра qt вида

с весовыми коэффициентами Ь%, являются частным случаем оце­ нок (1.62), (1.63).

Частный случай получения окончательного решения. Допу­ стим, что массивы статистических данных Rx (X = 1, Л) состоят из независимых статистических данных как внутри канала изме­ рений, так и между каналами. Предположим, что на оценки пара­ метра q влияет несколько независимых факторов, что обеспечивает нормальный закон распределения оценок. Тогда последователь­ ность оценок (1.61) следует рассматривать как выборку объема Л, полученную из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине qt, которая имеет нормальный закон распределения

Составим статистику

s .

имеющую распределение Стьюдента с Л—1 степенями свободы [6] . Тогда для неизвестного параметра qt имеем следующую вероят­ ность

где srt_x (t) — плотность распределения дроби Стьюдента; t' < t". Отсюда, задавшись значениями t' =—tp, t" = tp, где tp— р-процентное значение величины t с Л—1 степенями свободы, получим, используя табулированные значения дроби Стьюдента,

доверительные пределы для параметра qt

39