книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

4. Математическое ожидание поля

есть функция от аргументов t и 6, его аналитическая структура определяется разложением (1.59), в котором Д, (t) — система функ­ ций ортонормированная на Г*.

5. Корреляционная функция поля

1) дать методы статистического оценивания и идентификации неизвестных параметров, входящих в моменты распределения

3) построить аогорнтмы, обладающие необходимой точностью

ипредъявляющие к памяти ЦВМ минимальные требования.

Переход к эквивалентной задаче. Заметим, что при условиях, наложенных на поле X ((, 0), для каждого 16 Т„ имеет место каноническое разложение частного вида (1.46):

нормальный закон распределения; cov (0) — положительные функ­ ции для всех v и 9.

Возьмем в качестве ортонормированной системы функций Д, (t) в разложении (1.50) ортонормированную систему функций cpv (t). Без ограничения общности можно считать, что число функций в разложениях (1.50) и (11.69) одинаково, так как в случае надоб­ ности в разложения можно добавить члены с нулевыми коэффи­

80

в разложения (1.50), (11.73), т. е. с есть размерность неизвестного

средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной единице, то значения моментов |л£ известны, причем моменты нечетного по­

сп=1

Найдем минимальное значение функционала (11.75) по всем значениям bjnl, wv0, wvi при ограничении (11.73).

Если минимальное значение функционала (11.75) не превосхо­ дит заданное число е, где е > 0 характеризует допустимую точ­ ность в определении параметров, входящих в моменты распреде­ ления поля X (t, 6), то наилучшими оценками в смысле среднего квадратического для неизвестных параметров будут те значения, при которых функционал (11.75) принимает минимальное значение.

Если минимальное значение функционала (11.75) превосходит значение е, то либо допустимая точность, с которой требуется опре­ делить параметры, завышена, либо число реализаций N мало. В этом случае следует или снизить допустимую точность, т. е. увеличить число е, или увеличить число реализаций N, т. е. уве­ личить число выборочных значений поля X (t, 0).

X(t, в).

2.Найти выборочные моменты распределения случайной ве­ личины xv, определяемой формулой (11.74). Для этого рассмотрим рекуррентные соотношения

•At — An_i -\- хп,

Bn = Bn^ + xl (n = TTN),

82

•где

значений, которое может принимать каждый из неизвестных пара­ метров, входящих в моменты распределения случайной величины zv (8). Пусть

(11.76)

— некоторые возможные значения параметров, взятые из данного дискретного множества значений.

Для проверки гипотезы Я , состоящей в том, что неизвестные параметры принимают значения, отвечающие значениям (11.76), введем случайные величины

« v n = 2да (6„) — tnzv (0Л ) (п= 1, N) и рассмотрим статистики

v/i

Значения vvn образуют независимую выборку объема N, полу­ ченную из генеральной совокупности, отвечающей случайной ве-

личине v, имеющей нормальный закон распределения с парамет­ рами Ne (о,, о„ (во).

равна

мального правдоподобия. Применим метод максимального правдо­ подобия для оценки моментов распределения поля zv (8) при фик­

Плотность вероятности данного события равна

N

L = П р • (и •),

/ = i

где

В качестве '«у возьмем выборочное значение zvj (6у). Найдем частные производные

84

Согласно методу максимального правдоподобия оценки для неизвестных параметров определяются из условия, состоящего в том, что частные производные (11.77) должны обращаться в ноль. Ркходя из этого, составим функционал

/ . V. II. V

Найдем минимальное значение функционала (11.78) повеем зна­ чениям параметров bjvll, wv0, wvi при условии, что выполнено огра­ ничение (11.73); обозначим минимальное значение функционала через V2m.

в моменты распределения поля X (t, 8). Тогда наилучшими оцен­ ками в смысле среднего квадратического для неизвестных пара­ метров, входящих в моменты распределения поля X (t, 8), будут те значения параметров, при которых функционал (11,78) при­ нимает минимальное значение.

Пусть Vот > в, и допустимую точность в определении неизвест­ ных параметров снизить нельзя. В этом случае следует увеличить число выборочных значений поля X (t, 8). Однако метод макси­

получаются по методу максимального правдоподобия, могут быть даже смещены.

Алгоритм вычислений использует массив статистических дан­ ных Ru = (и1г и2, . . ., «дг), где Uj = zvj (8у ). Массив RK растет с ростом числа выборочных значений поля X (t, 8). Алгоритм не обладает свойством аддитивности относительно обработки стати­ стических данных массива Ru и предъявляет к памяти ЦВМ жест­ кие требования. Реализация алгоритма в случае, когда объем памяти ЦВМ не достаточен для хранения всего массива R,., осу­ ществляется с помощью составных решений (см. п. 5).

Оценка взаимной корреляционной функции. Рассмотрим любых два одномерных поля Xt (t, 0), Xs (t, 8) (t =j= / ) , являющихся коор­ динатами поля X (t, 8). Каждое из полей имеет каноническое раз­ ложение частного вида

где значения неизвестных параметров, входящих в функ­ ции mk (t, 8), covA (8), определены с помощью изложенных методов.

85

12. ОБРАБОТКА КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ДАННЫХ,

ПОСТУПАЮЩИХ С ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, на кото­ ром расположены датчики D 1 2 , D22, . . ., D2s контрольно-измери­ тельных данных (рис. 3). По каналам связи данные передаются на обработку в управляющую ЦВМ2 . Контрольно-измерительные данные зависят от момента вемени t £ Т, а также от контролируе­ мых параметров, характеризующих состояние объекта управле­ ния в некоторой заданной точке, например 0Х —температура, 0 2 — давление. Отсюда следует, что контрольно-измерительные данные представляют собой выборочные значения некоторого слу­

1)случайные отклонения среды, в которой происходит работа системы управления;

2)помехи в каналах связи.

86

для его вероятностного описания достаточно определить мате­

Таким образом, режим работы объекта управления опреде­ ляется как некоторая заданная функция, зависящая от моментов распределения контрольно-измерительных данных.

В начальный момент работы системы управления при t = 0 задаются априорные значения моментов распределения кон­

Требуется произвести обработку контрольно-измерительных данных с тем, чтобы уточнить априорные моменты распределения (11.81). По уточненным значениям моментов распределения вычи­ слить интегралы (11.79), (11.80), позволяющие правильно выбрать

87

Тогда для функции X (t, 0) имеет место разложение (11.69). В ка­ честве cpv {t) возьмем тригонометрическую систему функций

Поле X (/, 8) имеет каноническое разложение вида

Здесь X (t, 8) — любая координата поля X (t, 0); xv, yv— ортонорыированиые случайные величины, удовлетворяющие условию (1.1), Мхчуц = 0 (v, д. = 1, 2, . . .).

Разложение (IL83) является частным случаем разложения (11.69). Вместе с тем, разложение (11.83) таково, что на проме­ жутке времени Т{ процесс

является стационарным. Заметим, что моменты распределения про­ цесса Y {t) изменяются от промежутка Ti к промежутку Т [ Ч 1 , так как от промежутка к промежутку изменяются значения пара­ метра 8.

Относительно математического ожидания mx (t, 0) будем предполагать, что оно имеет аналитическую структуру (1.50), в которой в качестве функций Д, (t) взята тригонометрическая система функций (11.82), совпадающая и системой функций cpv (i).

Обработка контрольно-измерительных данных. Для получения моментов распределения поля X (t, 8) по выборочным значениям поля, принадлежащим промежуткам времени

Тх, Т2-, Т,-, Тдг используем, прежде всего, то обстоятельство, что процесс У (/),

88

содержащие в себе неизвестные параметры 6; v M ., входящие в ана­ литическую структуру (1.50), определяющую математическое ожи­ дание тх (t, 0). Обозначим через р х размерность неизвестного па­ раметра, входящего в аналитическую структуру математического

дание тх (/, 0). Обозначим минимальное значение функционала

при которых .достигается минимальное значение функционала (11.87). В корреляционную функцию поля X ( t , 0) входят неизвест­ ные функции cov (0). Предположим, что функции cov (0) имеют аналитическую структуру, определяемую разложением (11.72). Для определения неизвестных параметров wv0, wvi, входящих в аналитическую структуру (11.72) функций ь\ (0), составим функ­ ционал

при условии, что имеет место ограничение (11.73), а в качестве зна­ чений параметров 6 / v ( i взяты те значения, при которых функцио­ нал (11.87) принимает минимальное значение. Обозначим мини­ мальное значение функционала через V ' ш .

89