Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

функции Akj (t), то наилучшими оценками в смысле среднего квадратического для неизвестного параметра qkj будут оценки,

при которых		qkj = q A / .	либо допустимая точность в определении
Если Vm > е, тогда			либо допустимая точность в определении
параметров	qkj	функций	Akj (f) завышена,	либо	время наблюде
ния Т над	измеряемой		координатой Y (t)	мало.	В этом случае

следует либо уменьшить допустимую точность оценивания, либо увеличить время наблюдения над процессом Y (t).

Для того чтобы получить несмещенные оценки с минимальной дисперсией, можно перейти к рассмотрению линейных статисти ческих оценок (см. п. 19). Тогда к функционалу (IV.21) добавится функционал V3, который определяется аналогично функционалу (IV. 16). Минимизация проводится по всем неизвестным пара метрам.

2. Пусть X (t) — либо процесс с независимыми приращениями, либо мартингал с нормальным законом распределения. Пред

положим, что	координаты			Хк	(t)	(k =	1,	п)	статистически		неза
висимы между	собой. Вычислим					значения		Yk (t). Образуем			ста
тистики
	zi f t =	K * ( g - n ( ^ - i )					V =		TTN),
где моменты времени		t-t	удовлетворяют последовательности							(11.34).
Величины	zik, zjk	(i	=j=	j)	статистически				независимы.	Исполь

зуя значения zik при фиксированном значении числа k, составим статистики (11.38). Образуем функционалы (11.41), (11.42), обо

значим их соответственно через Vllk,		V12u- Определение неизвест
ных параметров qkj сводится	к минимизации функционала
V = ^r£	(Vu* +	VISA)-	( I V . 2 3 )
Функционал (IV.23) аналогичен функционалу (IV.5),			разница

лишь в том, что входная координата X (t) в данном случае яв ляется /i-мерной.

Получение		наилучших в смысле среднего квадратического
оценок для неизвестного параметра qk]-				аналогично		условиям,
определяющим		минимум	функционала	(IV.22).
Оценку	для	неизвестных параметров		qkj	можно	произвести
и в классе	линейных статистических оценок				(см. п.	19). Тогда
к функционалу (IV.23) добавляется функционал V3,							который
определяется аналогично			функционалу	(IV. 16). Для		минимиза
ции функционала (IV.23) с добавлением функционала						V3	следует
подставить	вместо неизвестных параметров qkj				их линейные ста

тистические оценки и произвести минимизацию по параметрам* значения которых неизвестны.

130

21. ВЫБОР КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ В ПРОЦЕССЕ

РАБОТЫ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Условия, определяющие выбор корректирующих устройств.

Случайные воздействия, действующие на объект управления, могут изменить такие характеристики объекта как скорость, вес, моменты инерции. Для того чтобы сделать систему управления нечувствительной к изменениям внешней среды, введем в кон тур управления корректирующие устройства (рис. 9). Сигнал рассогласования X (t) представляет собой случайный процесс.

ЦВМ

ио

w P

Рис. 9.

Система управления

с выбором

корректирующих

у с т

ройств:

W£ (£

= 1,

р) — корректирующие

устройства;

ИО — исполнительный

орган

При

этом

будем

предполагать,

что

для

моментов

времени

t£ [О,

Т]

процесс

X (t)

является

стационарным с априорными

моментами

распределения

MX(t)

tn0x,

}

k , m =

- - 1

i I V - 2 4 )

для моментов времени t£

[Т,

Т] процесс X (t) имеет независи

мые приращения

с априорными моментами распределения

MX(t)

m0x,

Кх ft,

4) = Кох (min

ft,

/ а ) , min

ft, t.2)) =

(IV.25)

Кох (к,

к) =

d0lu

du.

Измеряются

координаты

(t) (k

p) выхода

корректи

рующих устройств.

Корректирующие устройства Wk (k = 1, р) являются дина мическими системами, реализующими соотношения вида

kk{t)LYk(t)

= X(t)

(k=l,p),

(IV.26)

131

где Ak (t)— матрица-строка порядка п + 1» элементы которой являются непрерывными функциями.

Заметим, что динамическая система (IV.26) имеет вид системы (Ш . 2) .

Элементы Akj (t) матрицы Ak (t) под влиянием случайных воз действий могут изменить свои значения. Предполагается, что

функции	Akj	(t) имеют аналитическую			структуру	вида		(IV.21),
причем	Bkj(t),	(pkjs	(I) —	известные	функции	t£2T;		akjs	—
неизвестные		коэффициенты;		г — конечное число.
Требуется		среди	корректирующих		устройств	Wk	(k	= 1,	р)
выбрать такое, у которого дисперсия процесса Yk						(t)	минимальна

за все время работы системы управления. Такое устройство об ладает максимальной нечувствительностью к изменениям внеш ней среды, изменениям динамических систем, описывающих ис полнительный орган и работу самого корректирующего устройства.

Определение минимального объема данных по априорным зна чениям моментов. В начальный момент работы системы управле

ния	при t		=	0 зададим априорные значения для элементов ма
трицы		АА	(/).	Априорные значения определяются теми значе
ниями, которые заложены при проектировании					системы		управ
ления.
Для процесса X (t) зададим полосу частот					[Qlt й а ] ,	в	кото
рой	будем			рассматривать спектральную плотность		процесса
X (i),	t£	Т. Используя теорему Котельникова, выберем шаг дискрет

ности At перехода от непрерывного процесса X (t) к дискретному процессу. Предположим, что при проектировании системы управ ления определен тот минимальными объем статистических данных, соответствующих массиву Rx = (X . . ., X (tm)), который необходим для того, чтобы определить статистические характе ристики процесса X (0 с требуемой точностью, используя, на пример, методы, указанные в п. 6. Минимальный объем массива статистических данных R^ определяется с помощью ЦВМ сле дующим образом. Возьмем каноническое представление (1.37) процесса X (t), выберем число п1 таким, чтобы ошибка е л 1 , оп ределяемая формулой (1.40), не превосходила допустимой вели чины. Рассмотрим разложение (1.37) с конечным числом членов разложения, равным п х ;

X{t) = m t + S (xv cosfflv £ + yv sinсо.Д - v=l

c o v = - ^ - . (IV.27)

Будем предполагать, что процесс X (t) имеет нормальный за кон распределения. Тогда случайные величины xv, yv нормально распределены и являются независимыми ортонормированными величинами. Используя датчики случайных чисел, для величин xv, yv определим выборочные значения. Построим одну реали зацию для процесса, имеющего разложение (IV.27). Используя методы, изложенные в п. 6, определим время Tlt при котором

132

массив статистических данных Rx дает оценку для моментов рас пределения процесса X (t) с точностью-не ниже, чем допустимая точность. Выбирая время Тг минимальным, получим минималь ный объем массива статистических данных R^.

Из процессов Yk (t) выберем тот процесс, который имеет мини мальную дисперсию за время работы системы управления, рав ное Тг, т. е. такой процесс Yk (t), для которого

г,
\ M[Yk(t)-MYk(t)fdt			=
о
	г,
= rmn	\M[Yt{t)	— MYt(i)fdt.	(IV.28)
i ' = l, p	о

Процесс Yk (t) определяет априорное значение корректирую щего устройства Wk, которое будем использовать для управле ния системой на отрезке времени [0, Тг].

Уточнение параметров корректирующих устройств на' началь ном промежутке времени. Чтобы уточнить неизвестные пара

метры akjs

функции

Akj

(t),

входящей

в корректирующее

устрой

ство Wk

(k =

1, р),

а также выяснить, правильно ли было выбрано

корректирующее устройство

на

отрезке времени

[0,

Тг],

образуем

ЦВМ

массив

статистических

данных

(Y {tx),

(t2)

Y ( У ) , где

Y (tt)

( Г х

(*,),

. . ., Yp

(tt))

7 ^ ) ;

^ Тх.

Для того чтобы по статистическим данным массива Ry произ вести уточнение априорных значений матрицы АА (t), "необхо димо, чтобы промежуток времени [О, Тх] был меньше, чем про межуток, равный [О, Т]. В противном случае априорные значе ния матрицы Ak (t), t£T не могут быть уточнены с требуемой точностью. Поэтому будем предполагать, что 7\ ==£ Т.

Пусть	значения	производных F<*> (t) (k =			1, п) вычисляются
в ЦВМ с требуемой точностью. Представим значения						интегралов
			т,
		i	\Ak(t)LYk(t)dt,
		1	о
4J-l	оJ №k{t +	x)LYk	(t + т)-mj	[Af t (t)	LYk(t)-m,]	dt

в виде сумм интегралов, значения которых известны для данной реализации процесса. Yk (t), с неизвестными параметрами akis и их произведениями.

133

Аналогично функционалу (IV.3) для каждого корректирую щего устройства Wk составим функционал

Г,

1 2

Vlk

•±- \ Ak(t)LYk(t)-mx

T " I [ A a ( * +

T / ) L n (

m J

1 = 1

{

[Af t

(0 L K (0 — mx] dt — Ce~aIT<

(/e =

1, p).

(IV.29)

Найдем минимальное значение функционала (IV.29) по всем

неизвестным параметрам akls,

входящим в. матрицу Ak

(t).

Если априорные

значения

неизвестных

параметров

матрицы

Ak (t) в пределах

допустимой

точности, совпадают

со значениями

параметров

ак/5,

дающих минимум функционалу (IV.28) для

всех

k (k — 1, р), то

корректирующее устройство

выбрано

пра

вильно. Если хотя бы для одного значения /г априорные значе ния неизвестных параметров функции Ак (t) значимо отличаются от тех значений, которые доставляют минимальное значение функ ционалу (IV.29), тогда необходимо проверить, выполняется ли для выбранного корректирующего устройства соотношение (IV.28). Если для выбранного на промежутке времени [0, T - J корректи рующего устройства выполняется соотношение (IV.28), тогда на

промежутке, равном [0, 7\ +	АТХ]	остается то же корректирую
щее устройство, которое было на		промежутке времени [0, Тг].
Если же соотношение (IV.28)	для	корректирующего устройства,

которое было выбрано на промежутке, равном [0, Тг], нарушается, то среди корректирующих устройств выбирается то корректирую

щее устройство,		для	которого	имеет место соотношение
		7-,+ДГ,
		\	M[Yk(t)-MYhWdt			=
	=	m i n	j M.[Yt(t)		— MYt{t)fdt.		(IV.30)
		i = l , P	T 2	определяется		тем временем, ко
Здесь величина времени АТг				определяется		тем временем, ко
торое необходимо для решения				соотношения (IV.30)			в управляю
щей ЦВМ.	,
На промежутке времени, равном					\ТХ + ATъ	2Т],	вычисляется

соотношение, аналогичное (IV.30), с интегрированием по проме

жутку [Тг	+ АТг, 2Т].		Определяется то корректирующее устрой
ство Wk,	которое удовлетворяет условию (IV.30) на промежутке
времени, равном [Тг		+	A T 1 (	2Т\. Указанное устройство		остается
для всех	моментов	времени		£<Е [Тг+	ATly 2Т], где	Тг удов
134	неравенству		Тх <3 Т.
летворяет

Предположим теперь, что промежуток времени										[О,	Тх]
больше,		чем	[О,	Т].	Тогда	на промежутке времени			[0,	Тг)	бе
рутся	априорные			значения		для	неизвестных	параметров			af t j S
функции		Akj	(f).	Уточнение		проводится на промежутке				времени
[ 7 ,	2Т].
Определение минимального объема данных при работе системы
управления. Согласно					условию на		промежутке	(Т,	2Т)	процесс

X (t) имеет независимые приращения, причем известны априор ные значения его моментов распределения.

Определим тот минимальный объем массива статистических данных Rx, который необходим для того, чтобы определить ста тистические характеристики процесса X (t), t£_ [Т, 2Т] с тре буемой точностью. Так как желательно для целей управления получить достаточно большой массив статистических данных

процесса X (t) за достаточно малый	промежуток времени, то
выбор шага дискретности процесса	X (t) подчиним единствен

ному условию: шаг должен быть минимальным, причем ошибки от достаточно мелкого шага дробления процесса X (t) не должны превосходить допустимой величины.

Предположим, что процесс X (f) и его приращения нормально распределены. Исходя из канонического разложения (1.22) про цесса с независимыми приращениями, определим величину e;l (t) ошибки от аппроксимации разложения (1.22) конечной суммой,

содержащей	пх	членов разложения:
		п,	t
		X (t) = X(Г) + j	xv \ cpv (s) dp (s),	(IV.31)
		v = I	T
		* e i 7 \	274,
где p, (s) =	К (s,	s) определяется формулой (IV.25); xv		— ортонор-

мированные случайные величины, имеющие нормальный закон

распределения;	cpv (s) — любая	ортонормированная		система.			Ве
личину Е п 1 (t)	определим из	условия	e; l l (t) <	гп1	(2Т)	<	s0 ,
где s 0 — допустимое значение величины			ошибки.
Используя	датчики случайных чисел,		для величин		xv	опре

делим выборочные значения. Построим одну реализацию про цесса, имеющего разложение (IV.31). Принимая во внимание ре

зультаты, приведенные в п. 8,	определим время Т2, при		котором
массив статистических,данных	RA. дает оценку для моментов рас
пределения процесса X (/),.	t£ [Т, 2Т]	с точностью	не ниже
допустимой. Выбирая время Т2	минимальным, получим минималь
ный объем массива статистических данных		Rv .

Указанную процедуру по определению минимального объема массива статистических данных лучше всего подготовить и про вести в период проектирования системы управления. Однако в некоторых случаях это можно сделать и в период работы си стемы управления на отрезке времени, равном [О, Т].

13.5

Если же использовать- в качестве критерия точности оцени вания не величину средней квадратической ошибки, а величину ошибок первого или второго рода при статистической проверке гипотез, то процедуру определения минимального объема мас сива статистических данных можно упростить. Для этого рас смотрим статистику

где величины z (^) определяются по формулам (11.37); tt — мо менты времени, удовлетворяющие условию

	Т < t l	< t2 <•• •<	t m ^ 2Т.
Статистика	x 2 имеет	распределение	хи-квадрат с		г—1	степе
нями свободы.
Используя	реализацию (IV.31), вычислим			значение		(IV.32)
и обозначим его через		%2. Тогда с вероятностью не			ниже, чем
1 — р\ имеет	место неравенство
		1<%1				(IV.33)
где значение %1 определяется из таблиц распределения					хи-квадрат.
Зададим величину р\ равную, например, 5,				1, 0 , 1 % . Фикси
руем значение	%1> определим то значение г — 1, соответствующее

объему массива статистических данных, уменьшенному на одну

единицу, при котором имеет место		неравенство (IV.33).
Предположим, что время Т2	получения минимального		объема
статистических данных массива	Rx	= (X (^), . . ., X (tm))	удов

летворяет неравенству Тг < 2Т. Тогда выбор корректирующих устройств сводится к следующему. На отрезке времени, равном

[0, Тг],	принимаются априорные значения неизвестных пара
метров	матрицы	Ak (t)	(k = 1, р). Выбор	корректирующего уст
ройства	Wk на	отрезке	времени, равном	[0, Т2], определяется

исходя из формулы (IV.28) с интегрированием по отрезку вре

мени [0, Т2].	,
Для уточнения априорных значений матрицы A k (t) с помощью
массива статистических данных		R^ =	(Y	(tj, . . .,	Y	(/ т )),	по
лученного на промежутке, равном		[Т,	Т2],	с шагом дискретности,
определяемым шагом дискретизации процесса X (t),					t£	[Т,	2Т],
составим функционал (IV.5) для		каждого		значения	k (k — 1, р).

Найдем минимальное значение функционала по всем неизвестным значениям параметров, входящих в матрицу Ak (г).

Условия выбора корректирующего устройства Wk аналогичны условию выбора корректирующего устройства, основанного на определении неизвестных параметров матрицы A k (t), дающей минимум функционала (IV.29).

136

Работа системы управления по выбору корректирующего уст ройства. До начала работы системы управления следует опреде лить величину минимального объема статистических данных процесса X (t), по. которому производится уточнение априорных значений неизвестных параметров матрицы Ak (t) (k = 1, п). В противном случае обработка массивов статистических данных может и не привести к уточнению неизвестных параметров ма трицы и, следовательно, не осуществить выбор корректирующих устройств исходя из требуемой точности.

В данном случае дается последовательный выбор корректи рующих устройств на отдельных участках времени. При этом, вместо одного устройства, которое хотелось бы иметь на всем промежутке [О, 2Т] работы системы управления, может быть вы брано несколько корректирующих устройств. При таком способе

выбора	устройств получено минимальное число переключений,
что обеспечивает устойчивость работы системы управления.
При	выборе корректирующих устройств в .процессе работы

системы следует реализовать алгоритмы, позволяющие определить моменты распределения процессов Yk (f) (k = 1, р), являющихся выходами корректирующих устройств, а также уточнить априор ные значения параметров корректирующих устройств.

Для определения моментов распределения процессов Yk (t) следует использовать, например, метод, приведенный в п. 13.

Заметим, что данный алгоритм выбора корректирующих устройств является оптимальным в том смысле, что он дает мини мальную дисперсию сигнала рассогласования за все время работы системы управления, равное [О, 2Т], при минимальном числе переключений корректирующих устройств.

Глава V

ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ

	22.	УПРАВЛЕНИЕ	НЕПОЛНОСТЬЮ
НАБЛЮДАЕМОЙ		ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
Постановка задачи. Рассмотрим динамическую систему, пове
дение которой	описывается дифференциальным		уравнением
	- ^ = f ( Y , t U ) + w ( / ) , / е т ,		( v . i )
а наблюдаемых	координат — системой уравнений
	X = h ( Y ) + V(/) .		(V.2)
Здесь Y (t)	— д-мерный вектор состояния		системы; X (t) —

/n-мерный вектор измеряемых координат; f и h—дифференци

руемые п- и m-мерные векторы;		и — r-мерный	непрерывный век
тор управляющих	воздействий;	W (i) — «-мерный,		V (t) — т-
мерный процессы,	образующие белый шум, а		именно,	-процессы

с нормальным законом распределения, независимыми компонен тами, нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

Kw(t,s)	=	Q(t)8(t-s),	(V.3)
K0 (<-,s) =		R ( * ) 6 ( * - s ) ,	(V.4)

где б — дельта-функция Дирака; Q {t), R (t) — функции интен сивности, содержащие неизвестные параметры.

Начальное состояние системы задается априорными данными

M Y ( 0 ) = Y o ,	M [ Y ( 0 ) - Y 0 ] 2	= P0 ,
Q(0) =	Q0 , R(0) = R0 .	-

В системе управления измеряемыми координатами являются процессы W (t), X (0, которые за время работы системы управле ния, равное Г, образуют в ЦВМ массивы статистических данных R* = ( W (t0), W (tj, . . ., W ( U ) , R . v - =X(g, X(tj), . • ., X (tm)).

1 3 8

Требуется построить управление и = и (Y, t) так, чтобы ми

нимизировать	функционал
	гт
	I = M J / 0 ( Y ,	u, x)dx ,	(V.5)
	о
где /о—неотрицательная функция;		Y — оценка фазовых	коор
динат системы	(V.1).

Управление при известной функции интенсивности. Предпо ложим, что известны априорные значения функций интенсивности не только в нулевой момент времени, ио и для всего времени управ ления системой, т. е. известны априорные значения Q (t) = Q„ (t), R (t) = R 0 (0. t£T. Построим закон управления системой по априорным значениям функции интенсивности. Результаты обра ботки массивов RE,, Rv в этом случае не учитываются.

Для получения алгоритма управления, реализуемого на ЦВМ, приведем метод оценки состояния динамической системы и управ ляющего воздействия, данный в [25]. Для этого разобьем проме

жуток	Т	точками	дробления
		О = т 0		< T i < • • • < т „ = Т.
Дадим		метод построения			управления последовательно для
каждого промежутка 1хк,					хк+1].
На	промежутке		[т0 ,	хх]	полагаем

Y = Y 0 - f - 5 Y 0 , и = и0 + 6Цо»

где Y 0 и и 0 являются решениями детерминированной задачи для уравнения

Y = f ( Y , u, t),

функционала

сначальными условиями Y (0) = Y 0 .

Поправка S Y 0 определяется из решения задачи

6 Y 0 = A 0 6 Y 0 + B 0			6 u 0 + W( 9 , '
6	Y 0	( g =	0,
6X 0 =	H 0 6 Y 0		+ V(0,	. .	(V.6)
Х = Х 0 + бХ0 , X 0 = h ( Y 0 ) ,					(V.6)
Х = Х 0 + бХ0 , X 0 = h ( Y 0 ) ,
	_	dh (Y 0 )

1 3 9

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ