Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

уравнении (Ш.31). Учитывая, что моменты распределения ко ординаты X (/) определены так, как указано ранее, запишем приближенную систему уравнений для определения математиче ского ожидания координаты У (t):

Ы (', т „ т у

п ,

тх1,

...,

m,r ).

(111.32)

Линеаризуем

функции

fk (t,

Ylt

. . ., У„,

Xlt

. . .,

Хг),

раз

ложив

их

ряд

Тейлора

относительно

величин

Ус

Ус — Щ»

Xt =

X,. —

mxl,

тогда

fk(t,

Ух,-..,

Уп,

Xlt

...,

Xr}**fk

(t, туЪ

...,

myn,

mxl, ..., mxr)

1 = 1

/ = 1

Систему

уравнений (III . 31) с учетом (III . 32) представим в виде

Aki (t) У, + S

5 Л /

Л,,

(111.33)

Q f

1=1

; = 1

где .

д/П^, туи

• • •, Щп, тхи

. . ., тхг)

dtriyi

/f\

dfk(t,

ту1

. . .,

туп,

т х и

. . .,

тхг)

°ki

•

Решив систему

( I I 1.32)

любым

численным

методом

интегриро

вания систем обыкновенных дифференциальных уравнений, оп ределим значение математического ожидания выходной коорди наты Y (t).

Система дифференциальных уравнений (III . 33) линейна. Для


определения коореляционных функций Kyiyj					{ii, t2) (i,	/ =	1, n)
процесса	Y (t)	следует использовать метод,			изложенный	в	п. 14,
а также методы		[16, 23, 31], если только среднее время				решения
алгоритма определения корреляционной функции процесса							Y (i)
не превышает допустимого.
Таким	образом,		априорные моменты		распределения		про
цесса Y (t) уточняются путем				определения	моментов распределе
ния процесса X (t)			по массиву	статистических данных Rt .

по

!6. ОЦЕНИВАНИЕ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАСС ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ, ИСХОДЯ ИЗ ПОКАЗАНИЙ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ

Ошибки, характеризующие уходы гироскопов. Рассмотрим непо

движную	систему координат	х0, yQ,	z0	со	взаимно	перпендику
лярными	осями. Обозначим через х0,		у0,	z0	и х0, у0,	z0 соответ
ственно координаты и скорости центра				масс	объекта	управления
в системе	координат х0, yQ,	z0.

Система управления включает в себя стабилизированную плат форму, на которой расположены три акселерометра со взаимно перпендикулярными осями чувствительности. Оси чувствитель ности образуют ортогональную систему координат х, у, z парал

лельную системе х0,		у0, z0. Вследствие	уходов	гироскопов	си
стема	координат х,	у, г отклоняется от	системы	х0, у0, z„	на
углы	1г, 12, 13.
Чтобы установить связь между составляющими ускорения					ах,
ау, аг	в системе координат х, у, г и углами		£ ь \| 2 , \| 3 , сделаем сле

дующие предположения. Пусть углы \х , \% , \ъ малы и синусы данных углов можно заменить самими углами, а косинусы можно положить равными единице; допустим, что произведениями уг лов, как величинами второго порядка малости, можно пренебречь.

Тогда

связь

между

составляющими

ускорения

по

осям

х,

у,

и х0,

у0,

дается

соотношениями:

ах

= ах0 + Д а Л Г 1

"и =

а!/о +

д а ^ г ,

где

ал =

Ого +АОгг.

А а * г

= а*о6а — йгоЪи

Aayr

= az0£,3

— axQlt,

Здесь

ах0,

ау0,

аг0

— составляющие

ускорения

центра

масс

объекта

управления в системе х0,

у0,

z0 ;

Аахт,

Aayr,

Аагг

—

ошибки,

возникающие

вследствие

ухода

гироскопов.

п. 9 рассматривался

вопрос

о статистическом характере

сигналов

ах

(I), ау (/), а2 {().

Если время

работы

системы

управ

ления невелико, то сигналы ах {t),

ау

(t),

(t) являются

стацио

нарными случайными процессами. Если время работы системы


управления			составляет	порядок нескольких			часов,	то	сигналы
ах (t),	а-у (t),		аг (t) следует		рассматривать	как процессы			с моно
тонно	возрастающей дисперсией.
Будем		предполагать,		что	процессы ах	{t),	atJ {t),	az (t)	стати
стически		независимы.

	Массив		статистических				данных R =		(a (ix),	. . .,	а (£,„)),
где a (t)		=	(ах	(t),	ау (t), аг		(/)), обработаем так, как			это	указано
в	пп. 8,	9.	Получим			значения		моментов	распределения		Mai —
=	Ша1 (0,		Kaiaj	(tlt	*а)	(t, /	=	X, IJ, Z).	которые	не содержат
	Рассмотрим			гироскопические системы,

систематической составляющей. Для таких систем ошибка ухода гироскопов равна нулю, т. е. MAaXT = MAayr — MAazr = 0. Так как корреляционная функция процесса a (t) известна, то известны и составляющие корреляционной функции ухода гиро скопов

I<A0ir		(h, U) = Mbatr			(h)		Aa, r	(*») =	J<ai (h,		(i = x, y, z).
Кроме	того,
		MAaiT		(tj) Aajr(/,)		=	0	(i ф	j , i, j = x,		y, z).
Таким образом, в процессе работы системы управления опре
деляются		ошибки ухода			гироскопов.
Уравнения ошибок в определении координат объекта управле
ния. Известно				[1 ] , что уравнения ошибок Ах, Ay, Az в определе
нии координат			центра масс объекта управления приводятся к сле
дующей	системе			линейных дифференциальных уравнений:
			(р2 4~ Цх) Ах — с\Ау — c2Az =							Даvp, ]
		-		схАх -(- (р2	+	% ) Ay — c3Az =				Аауг,	(III.34)
			— с.2Ах — csAy			-f- (р2		- f i]2 ) Az =		Aazr,	j
где cx,	c„,	c3,	т)Л., т)у , r\z —			некоторые			заданные		функции.
Систему (111.34) будем					рассматривать при нулевых начальных

данных. Отсюда следует, что в начальный момент работы системы управления известны точно координаты объекта управления.

Оценка моментов распределения. Исходя из системы уравне

ний	( I I I . 3 4 ) , получим следующую систему		для	определения ве
личины математических		ожиданий
	(р 2 -\|- i l l ) М Ах — схМ Ay — tyW Az =			0,
	— c,M ДА- 4 (p2 + цу) M Ay — c3M		Az = 0,		(III.35)
	— c 2 M Ax — c 3 M Ay 4 (p2 4 T) 2 ) M Az = 0
при	нулевых начальных	данных.

С помощью ЦВМ решим систему (III . 35) любым численным методом интегрирования систем обыкновенных дифференциаль ных уравнений. Получим численное значение для математических ожиданий МАх, МАу, MAz.

112

Возьмем

Ортонормированную

систему

функций

срй (i)

на Т

и произведем

аппроксимацию

математических

ожиданий

МАх,

МАу,

MAz.

результате

получим,

г*

Го

г,

MAz

г*ф*(*),

где xf t ,

гЛ •— известные

постоянные.

От системы

уравнений (III . 34) перейдем к одному уравнению

6-го

порядка,

например,

относительно

ошибки

Ах:

или

Авх

(t) р« Ах + Аъх

(Ор6 ДХ +

. . .

j - А0Х

Ах =

Fx (t),

\x(t)LAx=Fx((),

где A,,, (t)

—

матрица-строка,

размерность

которой равна 7;

коэф

фициенты матрицы однозначно определяются через коэффициенты


уравнения	( I I I . 3 4 ) ; Fx			(I) — функция, зависящая от ошибок ухода
гироскопов		и их	производных.
Так как		моменты		распределения ошибок	ухода	гироскопов
Аахг, Аауг,		Аагг	известны, то известны и моменты распределения
функции	Fx	(t).	Далее будем использовать		не функцию Fx		(f),
а лишь ее моменты распределения.
Для	определения			корреляционной функции		/СдЛ- (tlt	i2)

ошибки Ах воспользуемся результатами п. 14. Построим процесс

Wx	(t)	эквивалентный ошибке Ах, для		которого
			MWx(t) = MAx,
а	корреляционная		функция процесса Wx	(I) такова, что	,	функ
ционал		(III . 20)	4		,

тт

		V 8 i	=	j * \ j [МАА.		LWX (^)А, (f2) LWX (t2) -
				о о
				— MFx(tl)Fx.(t2)\4tldt2					(111.36.)
на всем промежутке времени, равном Т,								имеет значение	V 2 1	•< е,
где	е >	0 — допустимая точность в определении" корреляцион
ной	функции			ошибки	Ах.
Согласно			формуле		(III . 28)		процесс	Wx {t) определим как
где	Mukx	=	xk,	М [ukx	— Mukx]2		— Mvlx;	значение	Mvlx	оп
ределяется условием					( I I I . 2 6 ) .

Л . Т. Тарушкпна

ИЗ

Произведем минимизацию функционала (III . 36) по параметрам

glk, dj (см. функционал (III . 20)) . Подберем		числа	ръ	/\, slf от
которых	зависит функционал ( I I I . 3 6 ) , так,	чтобы	минимальное
значение	функционала удовлетворяло условию V21		<	е. Из дан

ного условия определяется корреляционная функция эквивалент

ного	процесса	Wx	(t),	а тем	самым	и	корреляционная		функция
ошибки
			КАх Дл- (^1,		^2) = Kwxwx {tl,			h).
Перейдем теперь к определению корреляционной функции
ошибки Ау. Из системы уравнений						(III . 34)		получаем	уравнение
4-го порядка		относительно ошибки				Ау:
	Aiy(t)p*Ay		+	••• +	Aoy(t)Ay-\-f(Ax)			= Fy(()
или
			A„(*)L Ay		+ f(Ax)	=	Fy.(t),
где	Ау (t) —	матрица-строка,			размерность			которой	равна 4,

а коэффициенты однозначно определяются через коэффициенты

уравнения		( I I I . 3 4 ) ; f (Ах)	—	известная функция, зависящая от
ошибки	Ах;	Fy (t) — функция, зависящая от ошибок ухода гиро
скопов	и их производных.
Для функций / (Ах), Fy			(t)	известны их моменты распределений.

Наряду с корреляционной функцией ошибки определим взаим ную корреляционную функцию между ошибками Ах и Ау. По

строим		эквивалентный		процесс Wy			(t),	для	которого
				MWy(t)	=		MAy,
а корреляционная			функция		процесса			Wy (t)	такова, что	функ
ционал		т т
		т т
V22	=	±\\{M[Ay	(i,) L Ay (tx)			+	/ (Ax {tj))]		[Ay (t2) L Ay (t2)	+
		о 0
		+ / (Ax (t2))} -			MFy		(tj) Fy (t2)\4txdt2			(111.37)
имеет	значение V22		<	e, где	e >	0 — допустимая точность				в оп

ределении корреляционной функции ошибки Ау и взаимной кор реляционной функции между ошибками Ах и Ау.

Согласно формуле (III . 28) процесс Wy (t) определим разло

жением
			Wy(t)=	S	" / Л	(О,
				k = i
где	Мику	= ijk, М	luky —	Miikyf	=	Mvly;	значение Mv\y оп
ределяется		условием	( I I I . 2 6 ) .
Определим взаимную корреляционную функцию между ошиб
ками	Ах и	Ау как	взаимную, корреляционную функцию между

114

эквивалентными процессами					Wx	(/) и	Wy	(/):
	г,	г.,
KbxAyih, t2)=	ti	S	Mlutx		—	Mulx]luJV		—	Mu]e\(plx(t])y}y(tJ,
	i = 1	/ =	1
где Muixtijy—неизвестные				параметры.			функционала		(III . 37) от
Определив	минимальное			значение			функционала		(III . 37) от
носительно параметров			р2,	r2,	s2,	Muixuju,		найдем	корреляцион

ную функцию ошибки Ау и взаимную корреляционную функцию между ошибками Ах и Ау.

Аналогично определяется корреляционная функция ошибки Az и взаимные корреляционные функции между ошибками Az и Ад;, Аг и Ау.

Таким образом, реализуя приведенные алгоритмы, получаем значения для моментов распределения ошибок в определении координат центра масс объекта управления. Заметим, что для ошибок Ах, Ay, Az построены их канонические разложения. Ошибки Ах, Ay, Az в определении скорости центра масс объекта управления находятся дифференцированием канонических раз ложений ошибок Ах, Ay, Az, при этом моменты распределения случайных величин, входящих в канонические разложения, из вестны, тем самым известны и моменты распределения ошибок в определении скорости центра масс объекта управления.

Оценка реализуемости алгоритмов. Алгоритм определения моментов распределения ошибок координат центра масс объекта управления включает в себя алгоритм обработки статистических данных, поступающих от акселерометров, и алгоритм определе ния моментов распределения выходных координат системы ( I I I . 3 4 ) .

Реализуемость алгоритма обработки статистических данных дана для управляющей ЦВМ, основные параметры которой сов падают с управляющей ЦВМ «Днепр» (п. 9).

Алгоритм определения моментов распределения ошибок ко ординат центра масс объекта управления включает в себя алго ритм решения системы обыкновенных' дифференциальных урав нений с переменными коэффициентами и алгоритм минимизации

функционалов типа	( I I I . 3 6 ) ,	( I I I . 3 7 ) .
Один из возможных численных методов минимизации функцио
налов типа ( I I I . 3 6 ) ,	(III . 37)	сводится к реализации	алгоритма
решения систем обыкновенных дифференциальных			уравнений

(см. Приложение). При этом получаем две системы обыкновенных дифференциальных уравнений, порядки которых соответствуют числу неизвестных параметров, по которым производится мини мизация функционалов ( I I I . 3 6 ) , ( I I I . 3 7 ) .

Отсюда следует, что имеется принципиальная возможность полностью реализовать алгоритм определения моментов распре деления координат центра масс объекта управления с помощью управляющей ЦВМ.

115

			17.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ				СЛУЧАЙНОГО			ПОЛЯ
						ЛИНЕЙНЫМ			ОПЕРАТОРОМ
Однородные			и	изотропные		поля.	Пусть У (0) —			одномерное,
однородное		и	изотропное			поле,	зависящее		от	точки 0 =
= (0ц	. . .,	0А )	/г-мерного		пространства			G, 0 £ в	обладает		свой
ством	эргодичности.
Рассмотрим			линейный		оператор
		A L = А„ ——(- A , „ i						+ А0,
где
				А =	( А „	A i _ i , .		А>)
постоянная			(/г + 1)-мерная			матрица-строка;

dQ1~l

Тогда [24] AL-У (0) определяет однородное и изотропное поле

X (0), т. е.

A L K (°) ^ Д О -

Математическое ожидание

поля

X (0)

равно

A L A f K =

i4oMr =

M X ( 8 ) ,

(111.38)

если

оператор

и математическое

ожидание

перестановочны.

Спектральная

плотность

(со) поля

X (0)

равна

I A ( " » i ) n

A , - i ( t o i ) ' , - 1

+ . . . +

А,1Ч(<°) = М а ) .

(1П.39)

где

(со) —

спектральная

плотность

поля Y (0); со —

длина

вектора

со =

(а>1з

. . , соА).

. Если поле У (6) обладает свойством эргодичности, то решается

задача уточнения моментов распределения поля
		niy =	MY(Q),
	Ку (01 2 ) =	M[Y (вх ) -	т„][У (02 ) -	ту],
если известно т . выборочных значений поля				Y (0), т. е.	известны
значения	У (8„) (п =	1, т ) , и определена аналитическая струк
тура корреляционной		функции	поля У (0). Здесь 0 1 2		— длина
вектора 0 Х	— 0 2 .

116

Используя результаты, приведенные в п. 10, уточним моменты

распределения поля Y (9). По формулам				( I I I . 3 8 ) ,	(III . 39)	уточним
априорные моменты			распределения поля X (0).
	Поля, имеющие каноническое разложение частного вида. Пусть
Y	(t,	0) — одномерное случайное поле,		где t £	Т, 0 =	( 0 l t . . .
•	• •>	0*-i) — точка	(k— 1)-мерного	пространства,		0г 6

Поле Y (t, 0) имеет каноническое разложение	вида (1.46). Рас
смотрим линейный оператор
A ( 0 L = A ( 0 - ^ + A , _ i ( 0 - \| ^ +	. . . + Л ( 0 .

где

' А(*) = (Д,(0, A , _ i ( 0 , . . . , А > ( 0 )

есть (п + 1)-мерная матрица-строка; Лг (t) — известные функции времени;

dt"

dt'	• i

Предположим, что для поля Y (t, 0) выполнены все условия, сформулированные в постановке задачи (п. 11).

Оператор A (t) LY (t, 0) = X (t, 0) определяет случайное поле, каноническое разложение которого имеет вид (1.46).

Определим моменты распределения поля Y (t, 0), относительно которого выполнены все условия, сформулированные в поста новке задачи п. 11. Аналитическую структуру моментов распре деления поля X (t, 0) определим, исходя из аналитической струк туры моментов распределения поля Y (t, 0). Используя резуль

таты,	данные в п. 11, определим		моменты распределения			поля
X (t,	0).	^
Таким		образом решается задача		уточнения	априорных	мо
ментов распределения поля X (t; 8),				сводящаяся	к определению
моментов		распределения данного	поля Y (t, 9).

Глава IV

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ, ВХОДЯЩИХ В УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

18. ОЦЕНИВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ЧАСТНОГО ВИДА

Постановка задачи. Рассмотрим динамическую систему, пове дение которой описывается линейным дифференциальным уравне нием ( I I I . 2 ) порядка п с нулевыми начальными данными, в ко тором X (t) — входное воздействие, являющееся случайным про цессом с известными моментами распределения; Y (i) — выход системы, представляющий собой измеряемую координату си стемы управления. Измеряемая координата содержит одну реали

зацию	процесса Y	(/),	t £ Т	и за время	Т образует	в ЦВМ		мас
сив статистических		данных		R„ = (Y (tx),	Y (/.,), .	. .,	Y	(tm))\
A (t) —	(п + 1)-мерная		матрица-строка, функции At			(t)	которой

непрерывны на Т, причем хотя бы для одной из функций A (t), например Лу- (I), значения функции неизвестны для всех I £ Т. Для каждой из неизвестных функций А-} (i) известна ее аналити ческая структура, в частности, имеет место, например, соотно шение

	А 1 (0 = B i (0 + Д		Я/йФд ( О '			( I V . 1)
где В/ [t)	— известная на Т функция;			ср//г (t)	— известные на Т
функции;	ajk — неизвестные	коэффициенты; г — конечное число.
Разложение (IV. 1) показывает, что				для	функции	А-} (I) оп
ределена	ее аналитическая	структура.
Обозначим через q = (аг,		. . .,	а,)	— неизвестный		параметр

заданной размерности, каждая из координат которого является

неизвестным	коэффициентом		неизвестной функции Aj (t)		ма
трицы A (t), имеющей разложение (IV. 1). В частности, если Л;-					(t)—
единственная	неизвестная функция, входящая			в матрицу A	(t),
то q = (<2Д,	. . .,	ajr).
Требуется	при	некоторых	дополнительных	предположениях

относительно входного воздействия X (t) дать статистическую оценку неизвестному параметру q, координатами которого яв-

118

ляются неизвестные		коэффициенты матрицы A (t), определяю
щие	уравнение динамической системы		( I I I . 2 ) .
Отметим, что поставленную здесь задачу иногда называют за
дачей	восстановления	дифференциального	уравнения.

Построим алгоритм оценивания неизвестного параметра- q, обладающий необходимой точностью и предъявляющий к памяти ЦВМ минимальные требования.

Случай стационарного входного воздействия. Рассмотрим урав нение ( I I I . 2 ) для случая, когда X (t) — стационарный случайный процесс. При решении поставленной задачи возможны следую щие случаи.

1. Матрица А, входящая в уравнение

( I I I . 2 ) ,

постоянна, тогда

выходная

координата

У (t)

является

стационарным

случайным

процессом.

Зададим аналитическую

структуру

корреляционной

функции

Ку (tlt

tz)

процесса

У (t).

По

массиву

статистических

данных

R^,' используя

результаты, приведенные в п. 6,

определим

оценки, для

моментов

распределения

ту,

Ку {ti,

to).

Исходя из уравнения ( I I I . 2 ) , запишем уравнение для математи

ческого

ожидания

процесса

А Ь М У (Q = MX (0 = тх.

Учитывая,

что

У (t) — стационарный

процесс,

получаем

А 0т,у =

тх,

где

т.у

(I).

Если

Л 0 —неизвестный параметр матрицы

(t),

то Л 0 =

tnxrriy~l,

при условии, что- ту,

являющаяся

статистической

оценкой математического ожидания процесса У (t), отлична от нуля.

Если А о—известный		параметр		и А0	ф 0, то	ту = тхАо~*
есть значение математического ожидания процесса У (t).
Обозначим через sx (со), sy			(со)	соответственно		спектральную
плотность процесса X (t)		и статистическую оценку для спектраль
ной плотности	Sy (со) процесса		У (t), через с (со) —			величину ква
драта модуля
с (со) = \| (ко)» Ап 4- ( к о ) " - Ч - 1 +					• • • +	Л 0 1 2 ,
где i — мнимая	единица.
Спектральная плотность входной и выходной координат свя
зана известным	соотношением		[23, 24]:
	с	(со) su	(со) =	sx (со).

Зададим полосу частот [ Q 1 ( QoJ, в которой рассматривается спектральная плотность sx (со), и разобьем равномерно указан ный промежуток точками дробления

" . <• • • < cow ^ Q 2 .

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ