книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

Ки

(г) = М [Xi (t +

г) -

mt]

[X, (t) -

m,l

Измеряемый

процесс

X It]

*в

реальном

масштабе

времени

представляет собой одну реализацию процесса за время Т.

Таким образом,

известны:

1) реализация процесса X (f),

/ 6 Т;

2) аналитическая структура корреляционных функций Кц (т).

Требуется:

1) оценить параметры mA ., q,-; (i, j =

1, /), тем самым

опреде­

лить моменты распределения процесса

X (t);

2) дать оценку точности оценивания неизвестных параметров;

3) разработать

метод

оценивания

неизвестных

параметров

и на его основании построить алгоритм, обладающий

необходимой

числению в ЦВМ следующих

интегралов: .

т

m) =

±r\Х^)<и,

'

(ИЛ)

т

о

* 1 / ( т ) = - И [XtV

+

4)-nt]

[XjM-m^dt,

(II.2)

о

для

вычисления интегралов

(II.2) предъявит к объему памяти

ЦВМ

неоправданно высокие

требования. Сократить

требования

к памяти ЦВМ можно либо получением рекуррентных

алгоритмов

Суть

метода

последовательной

обработки

данных

состоит

в том, что в ЦВМ

вместо

интегралов

( I I . 1),

(II.2)

вычисляются

интегралы

тх

Г Я - 1

*^ =

•

\

I х <

« +

- m i ]

i x i w - « , ]

dt.

Г Я - 1

где Тк =

[Tk_lt Т})

— промежуток

времени

поступления

в ЦВМ

массива

RK; Tt,

Tf

(i

j)

— непересекающиеся

промежутки

времени,

причем

Т =

Е

Т\.

Введем

следующие

обозначения:

_ ,

]

V.

,

Ш;ч

=

- = — V

(7\ — 7 \ _ i )

'Па,

ной функции

Ки

(т) известна, то известна

и аналитическая струк­

тура функций sn (со), sti (со).

Введем в

рассмотрение

спектральные

функции

со

5 , / N

=

J s ^ K l d c o j .

(П.4)

—со

Известно

[11, 24], что для любых двух точек соъ

со2 , в которых

функция

Su

(со)

непрерывна,

имеет место

соотношение

со.

г

-

2

со,

0

Покажем, что

имеет место более общее равенство

СО. г

г

l i m - g j L - Re J j е - 7 0 '*, . (/) dt J е - 1 ' 5 а Х / (s) ds dto =

7

' > r o

co,0

0

= S I / K ) - S i / ( < o 1 ) ,

(II.5)

где Re означает действительную часть.

Для этого рассмотрим

функцию

со

т

г

SijT

(со) =

- J L - Re J J е - ' " % (Q Л

{ <Г1шХ,

(s) ds dco.

—со

0

0

Пусть

т — фиксированное

число, причем

|т| <

Т.

Тогда

со

Т—Т

j e ' W T d S , y r ( © ) = - ! -

J ХДг +

т ) * ^ ) * .

—со

О

При Т —> оо

в силу

эргодичности

процесса

X

(/)

получаем

Г - т

Г - т

l i m 4 г [ Х( . (/ + т) X; (0 Л = l i m -=-!— f Xt

(t + т) X,- (0 Л =

CO

=

/Ct ; (x) = J e " e T d S f /

( a ) ) .

Отсюда следует, что коэффициенты Фурье

функции

SiiT

(со) при

Т —> оо сходятся

к

коэффициентам Фурье

функции Su- (со), т. е.

во всех точках непрерывности функции Sn- (со) имеет место схо­

димость функции

SijT

(со) к функции

(со).

'

43

Для конечного

времени

наблюдения

оценка

(о,

т

~р-

Re J erttaXt(f)

dt j

ell»Xf

(s) ds dco

=

ш,

о

= s ; /

K ) - s * / ( C O 1 )

(И.6)

является

асимптотически

несмещенной

и

состоятельной [6, 21 ]

для спектральных

функций

Sn- (со2 ) —

Su

(coj).

Обозначим

.

«•*

тх

Ч

F*

(А, со2> ©j) = Re

J

J e~'/ B X( . (t) dt J e ' s % ( s ) ds,

л

_

S ^* (X,

co2, со,) =

(v,

coa.cox), 1 =

v < A . .

?.=i

массивов

R v (v =

1,

Л):

F* (v,

со2,- со,) =

Z7* (v —

1, co2,

со,) +

F* (v, co2)

coj.),

(II.7)

при этом

оценка

(11.6)

S],

(co2) -

S*,- (со,) =

Г (Л, co2) со,).

(II.8)

Алгоритм вычисления спектральной плотности сводится к сле­

дующему.

1. Зададим полосу частот

[ Я х ,

Я 2

] , в которой

рассматривается

спектральная плотность st / (со) (/,

i

=

l,

I).

2. Разобьем промежуток

[Я,,

Я 2 ]

точками

дробления

Я 1 ^ с о ч 1 < с о 2 < - - - < с о Л / ^ й 2 .

Если априорные сведения о спектральной плотности

s(/- (со)

ограничиваются 'знанием ее аналитической структуры,

тогда

точки со,- берутся равномерно по

всему промежутку

[ Я 2 ,

Q , ] .

Общее число точек

ak

(k — 1, N)

должно

быть

не меньше, чем

плотность

S/j (со),

максимальное их число-определяется допусти­

мым временем решения задачи на ЦВМ.

3.

На

каждом

массиве Rv (v =

1, Л) для

каждой

пары ча­

стот сой,

в

ЦВМ вычисляются функции

F*

(v,

соА, С0А_Х ),

F* (v,

соА,

C O ^ j ) .

4.

Обработав

последовательно

все массивы

статистических

данных Rv (v =

1, Л), составим функционал

N

' ША

Л=1

что q,;- =

(ах,

.

. .,

ar)

— неизвестный

параметр

спектральной

плотности

Sjj (со)

и

ат£.

Ат—область

допустимого

изменения

параметра

ат

(in —

1,

г].

Найдем минимальное значение функционала (II.9)

Vm по всем

значениям ат£_ А,п

Пусть

Vm

<

е,

где

е > 0 — заданное число,

характеризу­

ющее допустимую точность в определении параметров,

входящих

в спектральную плотность s{/- (со), и пусть

Vm достигается при зна­

чениях параметров ат

=

Ьт. Тогда наилучшими оценками в смысле

интеграл

J sn-

(со) с/со вычисляется аналитически.

2. То,

(0,

в ' алгоритме промежутки частот

(.со,-, со1 + 1 ),

что

(coy, соу-+1) ({ =f })

не пересекаются, не является принципиальным.

Основным преимуществом данного метода является

рекуррент­

величин F (v, coft, со^) (k

= 1, ./V).

Другим

методом оценки

спектральной плотности

s(/- (со), при­

меняющим

преобразование

Фурье к реализации

измеряемого

на каждом массиве

Rx

(Я =

1, Л) требуется вычислить

статистику

тх

тх

t l x Й

=

~ k r J

е "''ш 'х < Wd t 1

& d s '

<п- 1 0 )

TX-i

TX-i

Оценка

(11.10)

получена дифференцированием оценки

(П.6)

тю частоте

со2 . В

[11] указывается на недопустимость

такой

s ir/ И

=

I а; (со —

сох) /

•/ К )

d(o b

где весовыми функциями

являются:

для

«усеченной

оценки»

.

s m -

до (со)

••

для

видоизмененной

оценки

Бартлетта

w И

= nJm

i ( т + ^

) и ~

( r -

T

J 1 0

c o s c o ^ + 2 s i n w ^ ) ;

для

оценки Хэмминга

до (со)

= 0,54 smaTx

0,46

со sin со 7\

2 л

о

2л

МьиУц =

Mv2iVojt

МьииЛ1 = 0, М^ьц — О I

(11.11)

с

вероятностью 1

(»' Ф /),

со. = щ/ =

а>.

( П . 12)

Для стационарных

и стационарно связанных процессов Xt (t),

Xj

(t) корреляционная

функция

К и (г) = MvuvuM

cos сот.

(П.13)

лам

(П.З).

Аналогично соотношению (1-42) имеет место более общее соот­

ношение

sti(<*) =

Ku(0)p(<o)

(i, /

=

177),

(11.14)

где

р (со) —

плотность

распределения

случайной

величины со,

обладающая

свойством

четности

р (со) =

р (—со),

при этом

р(со)

2 я а 7 / 1*

КцЮ е

асо.

(11.15)

турой

плотности

распределения

р (со).

Рассмотрим аналитическую структуру наиболее часто встре­

чающихся

плотностей

распределения,

удовлетворяющих усло­

вию

(11.15).

1.

Нормальное

распределение

(0 =

р (со) = У 2л. а

(11.16)

• 2а-'

где

ст2 — Мсо2 —-неизвестный

момент

распределения.

2.

Равномерное

распределение

в

симметричном

относительно

начала промежутке

[—с,

с]

0

при

co«s; — с,

р (со):

2с

при

—C<COs

(11.17)

0

при

с о > с ,

где Мсо = 0 ,

Мсо2

=

неизвестный момент распределения,

определяемый

значением

параметра

с.

3.

Распределение

Симпсона

в

промежутке [—2с,

2с]

(

0

при

со ;=> —-2с,

2с - f со

при

— 2 с < с о ^ 0 ,

(11.18)

р(со) =

2с — со

при

0 <

со < 2с,

4с 2

0

при

со>-2б',

где

Мсо =

0,

/И со2

=

— неизвестный момент

распределе­

ния, определяемый значением параметра с.

4.

Распределение

Стьюдента

k+l\

* + i

Р(С0):

V

kn

(k>2),

(11.19)

его производная.

Тогда

MX?(t)

=

MX Г (0) = Mvh Мсо2 = Ки (О)'Мсо2.

Если процесс

X '

(t) является

эргодическим, то

г

MX'\i)

= l i m - j r

\x?(i)dt.

Г->со

о

При конечном времени

наблюдения

интеграл

т

M*X?(t)

= -T

о

\x?(t)dt

деляется одним из соотношений

(11.16)—(11.19), то, вычислив

в ЦВМ значения величин MX? (t),

Ка (0), получим значение для

процесса

X j (/). Момент

MX? (t)

вычисляется в ЦВМ по рекур­

рентным

соотношениям,

поэтому требования, предъявляемые

к памяти

ЦВМ, минимальны.

Данный алгоритм является частным случаем более общего

алгоритма. Пусть спектральная

плотность s/y- (со) определяется

~\xk(t)dt,

-^\xi(l)Xj(t)dl,

о

о

г

^\Х}Г)

(t)X\s)

(t)dt,

о

где г + s

и.

Используя соотношение

MX\r) (t) X J S )

(t) =

Кц (0) MoT < r + s ) ,

определим

момент Ma2

(r+s).

'Так как

оо

M o r (

r + s ) =

J

co2 ( r + s ) p(co)dco,

то

отсюда

получаем

—от

для

определения

неизвестных

уравнения

параметров функции р (со).

Отметим, что

метод

неканонических

разложений

предъявляет

к

памяти

ЦВМ

минимальные требования, однако требует доста­

Представим корреляционную

функцию

в виде

Кх

(т) =

Кх (0) р (т),

где

р (0) =

1.

Предположим, что процесс X (f) можно дифференцировать.

Тогда существует момент р" (0).

Аналитическую

структуру

функции

р (т)

зададим в виде от­

резка

ряда

Маклорена. Учитывая, что

р' (0)

= 0,

имеем

р(т) =

1 + ~ р " ( 0 ) ,

{

р" (0) — неизвестный

параметр.

где

Так как

Kl(0)=Kx(0)p"(0)

=

MX'2(t),

то,

оценив

значения моментов Кх (0),

MX'2

(t),

определим

зна­

чение неизвестного параметра р" (0). Однако процедуру вычисле­

ния

момента MX'2

(t),

связанную

с дифференцированием

про­

цесса

X (t),

можно обойти. Рассмотрим среднее число положи­

тельных выбросов процесса X (t) за время Т над уровнем с. За­

метим, что выброс процесса X

(t) над уровнем с в точке tL считается

положительным,

если

производная

X'

>

0.

Согласно

[30 ]

имеем, что

среднее

число положительных выбросов п+ (с)

равно

" +

(с) =

in

К - Р " ( 0 )

<T~^W•

(11.20)

4

Л . Т. Тарушкин|а

49