книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

выбросов процесса X (t) за единицу времени на относительном

тивной функцией от результата вычисления выбросов по массивам статистических данных Rx , то указанный метод определения параметров корреляционной функции является приемлемым для реализации на ЦВМ, если только массивы статистических данных

Определение времени наблюдения. При постановке задачи статистического оценивания параметров, входящих в моменты распределения процесса X (t), предполагалось, что время наблю­

X (t) только после определения минимального значения функцио­ нала (II.9) дает ответ на вопрос, достаточным ли было время наблюдения Т для того, чтобы оценки параметров моментов рас­ пределения удовлетворяли допустимой' точности. Метод оценки спектральной плотности с помощью неканонических разложений процесса — X (t) дает состоятельные оценки при Т —> оо. Отсюда возникает необходимость в приближенной оценке времени наблю­ дения, начиная с которого по массиву данных за время Т* следует уточнять значения моментов распределения процесса X (t), входя-

50

щие в априорные данные закона управления автоматической системой.

Зададимся любым промежутком времени, равным, например, Т*. Вычислим в ЦВМ значения интегралов

Предположим, что процесс Х ; (t) нормально распределен. Ставится следующая гипотеза: случайные величины \lk (k = 1, п) независимы и одинаково распределены. Если данная гипотеза верна, тогда статистики (11.22) имеют распределение хи-квадрат с (п — 1) степенями свободы. Пусть р — уровень значимости гипотезы. С помощью распределения статистик (11.22) находим, что если имеет место неравенство

где значение %% определено из таблиц (см. например, [6] распре­ деление хи-квадрат с (п — 1) степенью свободы и уровнем значи­ мости Р), то гипотеза верна с вероятностью 1—р.

Независимость статистик %lk\k = 1, п) означает, что на про­ межутке времени, равном Т*, нет корреляционной связи между статистиками l-lk. Одинаковая распределенность величин \i k означает, что в пределах допустимой точности можно считать M%w = 1Щ, М [|tfe — triif — а\. О допустимой точности можно судить лишь по величине вероятности неравенства (11.23).

Если гипотеза отклоняется, то это означает, что необходимо увеличить промежуток времени Г*. Число п не обязательно брать большим.

Рекомендации по выбору шага дискретности измеряемого про­ цесса. Измерительные устройства могут непрерывно выдавать значения реализации процесса X {t). При формировании массивов статистических данных берутся дискретные значения процесса. Переход от непрерывной величины к дискретной связан с выбором шага дискретности.

Если известна ширина спектра процесса X ((), что имеет место

вметоде оценивания спектральной плотности с применением

Данный способ применим тогда, когда априорное значение ширины спектра достаточно точно известно.

Пусть ширина спектра неизвестна и ее априорное значение задается с большой ошибкой. Метод неканонических разложений процесса X (t) не использует априорных сведений о ширине спек­

Для выбора шага дискретности поступим следующим образом. Зададимся любым промежутком времени [0, 7\].

Рассмотрим численные методы интегрирования функций на данном промежутке [0, Тг], например, метод Гаусса с оценкой погрешности по методу Рунге. Для процесса Xt (t) (i — 1, /) вычислим интегралы

где k — порядок полинома относительно t, аппроксимирующий процесс X (t); | — некоторая средняя точка из промежутка

О, - r p i если вычисляется интеграл /|, и из промежутка

Тг ,если вычисляется интеграл 1'ч.

Однако ввиду наличия производной высокого порядка ука­ занным остаточным членом на практике не пользуются, а исполь­ зуется более простая оценка

52

Если величина погрешности удовлетворяет требуемой точности, шаг дискретности определяется узлами квадратурной формулы. Если же точность ниже допустимой, то число узлов квадратурной

Для оценки параметра а применим следующие методы.

Метод преобразования Фурье. Согласно методу вычислим

— со

Зададим полосу частот, в которой будем рассматривать спек­ тральную плотность sx (со), со 6 t —

Для каждого одновременно обрабатываемого массива Rx статистических данных в ЦВМ вычисляется значение статистики (II . 7) . Функционал (II.9) равен

можно взять сравнительно небольшим, распределив их равномерно

m i n V = V (а = а 0 ) < е,

а > 0

53

являющейся спектральной плотностью стационарного белого шума.

Для спектральной плотности (11.25) плотность распределения р (со) = имеет аналитическую структуру (11.17), следова­ тельно,

Отсюда, для параметра а имеем следующую оценку

V М*Х,- i (О(I)

Аналогичным образом используется метод оценки параметра а, основанный на вычислении выбросов случайного процесса X (t).

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ВКЛЮЧЕНИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Условия работы системы управления. Рассмотрим подвижное основание, ориентированное определенным образом в простран­ стве. На основании расположен объект управления. Под влиянием случайного внешнего воздействия основание изменяет заданную ориентацию. Система управления включает в себя объект управ­ ления, датчик, определяющий величину внешнего воздействия, управляющую ЦВМ (рис. 6). Истинная ориентация определяется в ЦВМ по значениям сигналов, поступающих с датчика.

54

Обозначим через X (t) = (Хг (t), Х2 (t), Х3 (t)) величину ошибки в определении координат центра масс объекта управле­ ния. Начало работы объекта управления определяется выработкой в ЦВМ команды «Включение», которая подается с пульта упра­ вления.

Пусть в реальном масштабе времени момент времени tB харак­ теризует время выдачи команды «Включение» в ЦВМ, ta + т — время получения команды объектом управления, т > 0. Необ­ ходимым условием выработки команды «Включение» является

где at, bt — заданные числа.

Рис. 6. Получение команды «Включение» управляющей ЦВМ:

Д — датчик, определяющий внешнее воздействие; О — объект управления; ПУ — пульт управления; ПИ — преобразователь информации

1.X,- (t) — стационарные случайные процессы, имеющие нор­ мальный закон распределения, причем X,- (t), X/ (t) (i Ф j) — независимы.

2.Моменты распределения процессов X,- (f) неизвестны. Ана­

решением задачи экстраполяции статистических данных. А именно,

55

момент времени tB - f т. заранее не фиксируется, а фиксируется значение экстраполируемой величины. Выбираются те моменты времени, экстраполируемые значения которых удовлетворяют неравенству (11.26). При этом момент времени tB должен удовле­ творять неравенству

* „ < ' в + Т < ' д .

где / д — заданное значение.

Алгоритмы, определяющие выбор команды «Включение». Рас­ смотрим прежде всего алгоритм обработки статистических данных массива R с целью определения неизвестных параметров q,-, вхо­ дящих в аналитическую структуру моментов распределения.

Так как моменты распределения процессов XL (t) имеют оди­ наковую аналитическую структуру, то достаточно дать алгоритм

Используем метод обработки данных, основанный на некано­ ническом разложении процесса Хх (t). Плотность распределения случайной величины со, входящей в неканоническое разложение, согласно формулам (11.14), (11.28)

Предположим, что процессы Х\ (t), Х[ (t) эргодичны. В ЦВМ вычислим интегралы

56

. Исходя из значений, определяющих допустимую область для параметра a i , получаем, что для a i берутся только те значения, при которых выполняется следующее ограничение:

Л 1 * Х " ( 0 > о 1 * р ? .

Рассмотрим алгоритм выбора команды «Включение». Задача

л

^i (^н+л) является линейная функция S а;Хг (tj), в которой

коэффициенты a-t соответствуют величинам, при которых при­ ближение

зируется величина (11.29), определяются достаточно просто. Для

5 7

в котором значение Х1 (tn+1) определяется формулой (11.30). Последовательная интерация формул (11.31), (11.30) позволяет экстраполировать значение процесса на любое число шагов вперед.

условия выработки команды «Включение» не выполнены, то пере­

и проверяется, удовлетворяет ли полученное значение неравен­ ствам (11.26).

Оценка реализуемости алгоритмов. Рассмотрим реализуемость алгоритмов, определяющих выдачу команды «Включение», с по­ мощью управляющей ЦВМ, основные параметры которой соот­ ветствуют ЦВМ «Днепр» [7] .

Допустим, что массив R содержит 1500 чисел по 500 для каждой координаты Xt (t) (i = 1,2, 3). Предлагаемые для реали­ зации алгоритмы рекуррентны относительно массива статистиче­ ских данных. Поэтому вопрос об объеме памяти ЦВМ, необходи­ мой для реализации алгоритмов, не является основным.

В алгоритме обработки статистических данных основные фор­ мульные зависимости связаны с вычислениями следующих вели­ чин:

'58

В алгоритм входит значение производной первого порядка от процесса Хг (t).

Вычисление производной Х[ (t) будем производить с помощью численных методов [5], а именно: численного дифференцирования, используя значения процесса Хг (t) в 6 узлах. Составим таблицу восходящих разностей процесса (табл. 1).

Таблица 1. Вычисление восходящих разностей

Восходящие разности определяются соотношениями

V " + , X 1 ( / r ) = V X 1 ( g - V X 1 ( f r _ a ) . Тогда [5] производная

*S<1)

где sil) — числа Стирлинга первого рода, т. е. коэффициенты многочлена

Для указанного метода численного дифференцирования дается среднее время вычисления производной (табл. 2).

П р и м е ч а н и е . В табл. 2 и 3 при определении среднего времени реше­ ния алгоритмов не учитывалось время обращения к запоминающим устройствам-

59