книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

Пусть X (t) — мартингал в широком смысле. Заметим, что момент МХг (t) удовлетворяет соотношению (1.32).'При усло­ вии (1.20) корреляционная функция равна

ческое разложение дается выражением (1.22), при этом сохра­ няется оценка (1.23).

При определении аналитической структуры моментов распре­ деления заметим, что если математическое ожидание является функцией суммируемой с квадратом, то его аналитическая струк­ тура определяется соотношением (1.14). Если момент M X 2 (t) является абсолютно непрерывной функцией, тогда имеет место интегральное представление

. t

Таким образом, случайные процессы, являющиеся мартинга­ лами, имеют в рамках корреляционной теории случайных функ­ ций общие свойства со случайными процессами, имеющими неза­ висимые приращения.

Стационарные процессы. Рассмотрим процесс X (t). Опреде­

ляется стационарным и стационарно связанным случайным про­ цессом.

Стационарный процесс X (t) удовлетворяет условию эргодич­ ности, если для любой его реализации

20

где ху, уч — некоррелированные случайные величины, для ко­ торых

Ma-v 1 a-v 3 = МупУп = Mxvy^ = 0, Мхч = Му^ = 0;

нарного процесса X (t). Взаимная спектральная плотность ста­ ционарного и стационарно связанного процесса X (t) опреде­ ляется аналогично.

Ограничимся первыми п членами' ряда в разложении (1.37), тогда дисперсия ошибки такого приближения составит величину, равную

с помощью оценки (1.40) можно указать такое число членов ряда

21

Неканоническое разложение [1.41] позволяет в рамках кор­ реляционной теории случайных функций дать представление ста­ ционарного процесса, используя всего лишь две случайные ве­ личины, при этом разложение является точным.

Определение аналитической структуры моментов распределе­ ния стационарного процесса сводится к нахождению аналитиче­ ской структуры корреляционной функции. В силу взаимной

где Р( (со) (I — 1, 2) — полиномы относительно ю заданного порядка, то аналитическая структура спектральной плотности определяется указанием неизвестных коэффициентов a,v (v = 1, /) полиномов Pt (со). В этом случае aiv (v = 1, /, I = 1, 2) — не­ известные параметры, входящие в аналитическую структуру спектральной плотности стационарного процесса.

В системах автоматического управления корреляционная функ­ ция стационарного процесса обычно аппроксимируется аналити­ ческим выражением одного из видов

22

стационарного процесса, при этом достаточно потребовать убы­ вания корреляционной функции хотя бы вдоль одного вектора 6( / .

Спектральная функция sx (со) однородного поля определяется как обратное преобразование Фурье в ^-мерном пространстве от корреляционной функции Кх (8).

Поле X (9) является однородным и изотропным, если оно однородно, а корреляционная функция (1.44) зависит от длины би­ вектора 0^-, а не от его направления. Общий вид корреляционной функции однородного и изотропного поля дается выражением

пая плотность однородного и изотропного ПОЛЯ.

Начало разработки математической теории случайных полей принадлежит А. М. Обухову [20] и А. М. Яглому [18]. Анали­ тическая структура моментов распределения однородного и изо­ тропного поля определяется аналитической структурой либо спектральной плотности sx (со), либо корреляционной функции Kx (9t-/) - Для получения аналитической структуры спектральной плотности будем использовать дробно-рациональные функции

нии 9 поле X (t, 9) является процессом непрерывным в среднем,

23

Ограничимся первыми п членами в разложении (1.46), тогда при фиксированном значении 0 дисперсия остатка ряда в сред­

таким, чтобы оценка (1.48) для всех 0 не превосходила допусти­ мой величины. В этом случае корреляционная функция аппрок­

Аналитическая структура функций cov (0), являющихся не­ отрицательными, определяется, например, выражением (1.25).

входят в аналитическую структуру моментов распределения. Аналитическая структура взаимных корреляционных функций.

Рассмотрим векторную случайную функцию X = (Хъ . . ., Х^, каждая из координат которой является либо процессом, либо полем. Если функция Кц (tlt t2) имеет свойства корреляционной функции одного из классов, тогда ее заданная аналитическая структура определяется структурой данного класса.

24

В качестве примера рассмотрим случай, когда Хр Х{ являются стационарными и стационарно связанными случайными процес­ сами. Функция, Кц (ti, t°) имеет аналитическую структуру, соответствующую классу стационарных процессов-, Пусть априор­ ные сведения о принадлежности взаимной корреляционной функ­ ции к одному из классов отсутствуют. Для определения аналити­ ческой структуры взаимной корреляционной функции Кц (tj, t2) используем как канонические, так и неканонические разложения функций.

Пусть, например, каноническое разложение функций есть

членов разложения, равным соответственно р и s. Дисперсия ошибки такой аппроксимации при известных значениях корре­ ляционных функций дается соотношением (1.12). Тогда аналити­ ческая структура взаимной корреляционной функции опреде­

известные параметры; coVl-, сод у—известные собственные числа,

критерий точности оценивания. Оценка точности аппроксимации моментов распределения случайной функции фукциями аналити­ ческой структуры давалась в предположении, что моменты распре­ деления данной функции известны. Исходя из точности, предъ­ являемой к оценке аппроксимации момента распределения функ­ циями аналитической структуры, определялась размерность не­ известного параметра, входящего в аналитическую структуру момента распределения.

Определим размерность неизвестного параметра q, входящего в аналитическую структуру момента распределения в том случае, когда моменты распределения первых двух-порядков неизвестны,

25

либо неизвестен по крайней мере один из моментов распределения. Рассмотрим одномерный случайный процесс X (t), моменты рас­ пределения которого тх (t), Кх (tx, t2) неизвестны. Предположим, что при обработке массивов статистических данных процесса X (t) получены оценки тх (ti), Кх (ti, tj), являющиеся численными значениями несмещенных оценок соответственно для математиче­ ского ожидания и корреляционной функции процесса, т. е.

структурой, причем будем варьировать размерность неизвестных параметров, входящих в аналитическую структуру моментов распределения.

Определим минимальное значение функционалов (1.56), (1.57) относительно неизвестных параметров, входящих в аналитиче­ скую структуру моментов распределения, причем параметры возьмем из области допустимых значений. Численные значения, при которых функционалы (1.56), (1.57) принимают минимальные значения, отвечают средней квадратической точности, с которой производится оценка неизвестных параметров. Средний квадратический критерий точности оценивания ради сокращения будем просто называть критерием точности в среднем.

Зададим величину точности оценивания. Варьируя размер­ ность неизвестных параметров, определим ту размерность, при которой минимальные значения функционалов (1.56), (1.57) удов­ летворяют требуемой точности оценивания.

При определении моментов распределения будем задавать одну и ту же точность для оценивания параметров математиче­ ского ожидания и корреляционной функции. Это предположение делается лишь для того, чтобы не оговаривать отдельно точность в оценивании каждого момента распределения.

26

3. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ, ПОСТУПАЮЩИХ С ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Классификация информации, поступающей с объекта управле­ ния. Современные системы автоматического управления вклю­ чают в себя комплекс измерительных устройств, расположенных как на объекте управления, так и вне его. Всю информацию об объекте управления разделим на следующие группы.

1.Информация, связанная с формированием управляющих сигналов. Назовем ее управляющей. Управляющая информация служит, например, для определения положения объекта управле­ ния в пространстве, сравнения действительного положения центра масс с заданным и образования управляющего сигнала при появ­ лении рассогласования. Управляющую информацию будем обра­ батывать с помощью управляющей ЦВМ, расположенной на объекте управления.

2.В процессе работы объекта управления в систему управле­ ния поступает большой объем измерительных и контрольных сигналов, характеризующих как работу, так и условия работы системы управления. Данную информацию назовем контрольноизмерительной.

Для контрольно-измерительной информации примем обработку

спомощью управляющей ЦВМ, расположенной вне объекта управления.

3.Информацию, поступающую на объект управления и не

связанную ни с формированием управляющих сигналов, ни с контрольно-измерительной информацией, назовем информацией сбора данных. Информацию сбора данных будем передавать в за­ поминающие устройства управляющей ЦВМ, расположенной на объекте управления.

Указанная система обработки данных приведена на рис. 3. Обмен данных между управляющими ЦВМ-^ и ЦВМ о, осуще­ ствляется с помощью радиотехнических средств.

Нужно отметить, что данная классификация является услов­ ной. Однако, такого рода деление целесообразно потому, что к методам и алгоритмам обработки информации в каждой группе предъявляются различные технические требования. Наиболее жесткие требования предъявляются к обработке управляющей информации.

• Сигналы, поступающие с измерительных устройств, следует рассматривать как случайные функции. Действительно, наличие

ностные методы исследования.

Сигналы управляющей информации. Управляющая информа­ ция поступает в ЦВМ! по каналам связи. Помехи в каналах

27

связи будем рассматривать как многомерные случайные процессы

ИО

Дщ

ДШ Ч ЦВМ, ПИ

Дз

ЗУ пи

Дз

цвм 2

Рис. 3. Система обработки данных, поступающих с объекта управления:

При этом Wt (f) является процессом типа белого шума, т. е. процессом с нормальным законом распределения, моменты распре­ деления которого

28

/

о

имеет независимые приращения [23].

В датчиках, измеряющих углы, скорости, ускорения объекта управления, наряду с собственными шумами могут присутство­ вать шумы, обусловленные, например, упругими колебаниями объекта управления. Упругие колебания могут рассматриваться как стационарные процессы в условиях установившегося режима работы системы. При переходе с одного режима работы на другой в объекте управления могут возникнуть колебания, дисперсия которых возрастает в окрестности действия указанных факторов.

Угловая скорость ухода гироскопических систем лишь на ограниченном отрезке времени может рассматриваться как ста­ ционарный процесс [10]. При длительной работе гироскопиче­ ской системы дисперсия скорости ухода гироскопов представляет собой возрастающую функцию времени (рис. 4). В рамках корре­ ляционной теории случайных функций угловую скорость ухода гироскопа следует считать процессом, имеющим независимые приращения или являющимся мартингалом.

Сигналы контрольно-измерительной информации. Данные кон­ трольно-измерительной информации, поступающие с датчиков объекта управления на вход управляющей ЦВМ2, будем рас­ сматривать в общем случае как многомерную случайную функ­ цию У, зависящую от времени t, а также контролируемых пара­

Сигналы информации сбора данных. Рассмотрим сигналы сбора данных, связанные с условиями, в которых работает система управления.

1. Сбор данных метеослужбы. Исследование циркуляции атмо­ сферы связано, прежде всего, с обработкой случайных полей. Случайное поле X зависит от координат х, у, z точки трехмерного пространства, т. е. X = X (х, у, z). В частности, если X есть функция, характеризующая '.распространение озона, то в летнеосенний период X является однородным и изотропным полем

29