книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

2. Свойство состоятельности оценки qv определяется сходи­ мостью по вероятности оценки qv к qy при условии, что N —> оо. Оценка qv будет состоятельна, если

Отметим, что асимптотические свойства оценок полезны в том случае, когда требуется, например, обосновать увеличение числа измерений, входящих в массивы статистических данных, с тем, чтобы уменьшить дисперсию оценок и тем самым увеличить точ­ ность.

Наряду с указанными видами оценок для неизвестного пара­

К линейным оценкам будем предъявлять следующие требо­ вания.

есть известная величина, тогда область Qv является доверитель­ ной областью для параметра qv. Простейшим случаем довери-

10

тельной области Qv является интервал, в этом случае параметр qv оценивается с помощью доверительного интервала.

Рассмотрим частный случай задачи статистического оцени­ вания. Предположим, что задано конечное множество Г извест­ ных й-мерных множеств у^, т. е.

какое из значений множества Г принимает параметр q. Такого рода задачи в статистической литературе принято называть задачами идентификации.

В качестве множества Г может быть взято конечное число допустимых значений для неизвестных параметров системы управ­ ления.

Уточнение априорных данных и условий формирования масси­ вов статистических данных. Априорные данные об объекте упра­ вления уточняются по результатам обработки массивов стати­ ческих данных. Условия формирования массивов зависят, прежде всего, от частоты ввода данных в ЦВМ. Правильно задать частоту ввода можно лишь в том случае, если известны моменты распре­ деления случайных функций, реализациями которых являются массивы статистических данных. В начальный момент управле­ ния зададим шаг квантования сигналов, поступающих с измери­ тельных устройств, таким, чтобы выполнялся критерий точности относительно ошибок входных величин системы управления при наихудшем влиянии внешних случайных воздействий., В этом случае технические требования, предъявляемые к формированию массивов статистических данных, будут завышены. Исходя из уточненных априорных данных об объекте управления, если есть необходимость, изменяется шаг квантования сигналов. Система управления является адаптивной с выбором наилучшего режима работы как при формировании массивов статистических данных, так и при построении закона управления системой. Заметим, что вся адаптация системы управления ведется с по­ мощью ЦВМ, т. е. программным путем без структурных изме­ нений системы управления.

Пример. Рассмотрим работу управления в случае, когда выбор моментов коррекций автоматической системы, связанный с перемещением ее в пространстве, определяется исходя из ре­

представляющее собой случайную функцию с неизвестными моментами распределения; X (t) — выход системы. Задачей упра­ вляющей ЦВМ является выработка сигнала обратной связи Х 2 (t)

1

Здесь Х п р (0 — программное перемещение автоматической си­ стемы; X (/) — действительное перемещение.

Предположим, что процесс У (i) имеет нормальный закон распределения. В процессе перемещения автоматической системы в ЦВМ вычисляется вероятность

P\\Y(t + T)\^z},

где t— текущее время; т — величина упреждения; z— величина заданного допуска.

ЦВМ

Рис. 1. Управляющая ЦВМ по . выработке закона управления:

ИО — исполнительный орган

Коррекция траектории происходит дискретно в те моменты времени, начиная с которых указанная вероятность меньше заданной величины. Предположим, что

12

измеряется и его значения записываются в память ЦВМ, обра­ зуя массив данных Rx — (У (^), . . ., Y Когда массив данных достигает требуемого объема, он поступает на статисти­ ческую обработку, в результате которой к моменту времени,

Блок-схеме алгоритмов системы управления с учетом после­ довательного уточнения значений параметра q на отдельных промежутках времени представлена на рис. 2.

2.КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение класса. Класс случайных функций определяется вероятностными свойствами функций. Случайные функции отно­ сятся к одному и тому же классу, если они имеют общие вероят­ ностные свойства, определяемые первыми двумя моментами рас­ пределения.

При статистической обработке данных класс функций можно определить следующим образом.

1.Пусть в системе управления измеряется та координата, класс которой следует определить. В этом случае класс функций определяется по результатам обработки реализации измеряемой координаты.

2.Допустим, что в системе управления измеряется некоторая координата. Определяется класс функций неизмеряемой коорди­ наты, но связанный с измеряемой координатой. В этом случае задается математическая модель связи измеряемой и неизмеряе­ мой координат. Если модель такова, что по измеряемой коорди­ нате одназначно определяются моменты распределения неизме­ ряемой координаты, тогда класс функций измеряемой координаты однозначно определяет класс функций неизмеряемой координаты.

Впротивном случае в системе управления для неизмеряемой координаты можно указать лишь множество допустимых классов.

Отметим, что класс случайных функций в процессе работы системы управления может • изменяться, тогда для измеряемых координат задается конечное число допустимых классов функций. \ В процессе управления требуется по результатам обработки изме­ ряемых координат среди допустимого класса функций выбрать определенный, указав при этом значения моментов распределения данного класса.

13

Перейдем к рассмотрению отдельных классов случайных функ­ ций. Особое внимание будем уделять определению аналитической структуры моментов распределения, характеризующих данный класс.

Процессы непрерывные в среднем. Случайный процесс X (t) непрерывен в среднем, если для любого, значения tx 6 Т

Пусть X (t) непрерывен в среднем и его математическое ожи­ дание равно нулю. Так как корреляционная функция является положительно определенным ядром, то по теореме Мерсера

\'=i 4

причем ряд сходится равномерно. Здесь cov и <pv (/) — соответ­ ственно собственные значения и собственные функции интеграль­ ного уравнения

т

о

В силу того, что корреляционное ядро является положительно определенным, имеем cov > 0. Без ограничения общности можно считать, что система функций cpv (t), входящая в (1.8), является ортогональной.

Используя теорему Карунена [23, 24], получаем представ­ ление вида

со

Разложение (1.10) является каноническим разложением. Раз­ личные представления канонических разложений даны в [19].

Ограничимся первыми п членами ряда в разложении (1.10). Дисперсия ошибки такого приближения за время Т равна в сред­ нем

14

При известных значениях корреляционной функции Kx(ti, / 2 ) число п выбираем таким, чтобы величина ошибки (1.12) не пре­ восходила допустимого значения. В этом случае аналитическая

v = l

где Д, (t) — ортогональная система функций; bv — коэффициенты Фурье функции mx(t).

Вэтом случае аналитическая структура математического

ожидания определяется отрезком ряда

При известных значениях функции mx (t) число k выбирем таким, чтобы величина не превосходила допустимого значения.

Таким образом, для процесса непрерывного в среднем неиз­ вестные параметры q x = (Ьъ . . ., bk), q 2 = (сох , . . ., а>„). входят в аналитическую структуру моментов распределения.

Процессы с независимыми приращениями. Рассмотрим возра­ стающую последовательность моментов времени

Случайный процесс х- (t) называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины взаимно незави­ симы.

Имеем

v = l

15

Обозначим через тг (tv) математическое ожидание величин zv, Mzv = тг (tv). Так как величины zv взаимно независимы, то

т. е. дисперсия процесса X (t) есть неубывающая функция вре­ мени.

Для определенности предположим, что

Найдем каноническое разложение процесса с независимыми приращениями. Исходя из свойств функции ц (t) = Кх (t, t) определим в гильбертовом пространстве скалярное произведение

где.ху —ортонормированные случайные величины, т. е. вели­ чины, удовлетворяющие условиям (1.11).

Ограничимся первыми п членами ряда в разложении (1.22).

16

Процессы с независимыми приращениями в применении к за­ дачам автоматического управления рассматривались, например, в работах [23, 24]. Однако, несмотря на большую прикладную роль, эти процессы почти не использовались в задачах управле­ ния, связанных со статистическим оцениванием и идентифика­ цией. Исключение составляют лишь работы [26, 27].

Процессы, являющиеся мартингалами. Свойства процессов данного класса определяются через условные математические

тогда процесс X (t) является мартингалом в широком смысле.

наименьших квадратов, т. е. требование (1.29) сводится к выпол­ нению условия

где величина минимума берется по всему множеству вещественных чисел.

Будем использовать следующие свойства процессов.

18

станием времени.

2. Если X (t) нормально распределен, то он является мартин­ галом одновременно в узком и широком смысле. В этом случае

Систематическое изложение процессов, являющихся мартин­ галами, а также доказательство свойств 1 и 2 содержится в [11].

Пусть X (t) — нормальный процесс, являющийся мартингалом. Составим разности

1. Если разности (1.33) имеют нормальный закон распределе­ ния, тогда из условия (1.31) следует, что X (t) является процес­ сом с независимыми приращениями.

2. Если разности (1.33) имеют распределение отличное от нормального, тогда X (t), являясь мартингалом, не имеет неза­ висимых приращений. Однако и в данном случае корреляционная функция процесса полностью определяется его дисперсией. Дей­

при этом сохраняется оценка (1.23). Заданная аналитическая Структура дисперсии дается соотношением (1.24).

Если X (t) имеет распределение отличное от нормального, то в рамках корреляционной теории случайных функций интерес представляют процессы, являющиеся мартингалами в широком смысле.