книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

Y(t)=

У 6 v l f v l ( 0 +

У

lP=

£Pv! (i),

(Ш.14)

где yv — ортонормированные

случайные

величины,

удовлетво­

ряющие условию

(1.11).

Из разложения

( I I I . 14) определим, что моменты

распределения

процесса У ,

{t)

равны

my»(t)

=

£ 6 v i / v i

(0.

"1

,

,

(У

К

If

i \ —

V

ФУ1 (^)ФУ1

v = l

В данных

разложениях

параметры

6 v l

, cov l

известны, так

как

они оценены

при

определении

моментов

распределения процесса

У

(t)-

и

Взаимная

корреляционная

функция

между

процессами

У х (t)

У 2

(t) равна

/г

U

t \ -

V

ф у. C i K i

ft)

v = l

Аналогично

вычисляются

моменты

распределения

процесса

Yk

(f),

(k =

3,

п)

и

взаимная

корреляционная

функция

между

процессами

Yk

(t),

Yj

(t),

(k 4=

/)•

систему

с

постоянными

Пример.

Рассмотрим

динамическую

коэффициентами

У"

(t)

+

с У

(0

=

X

(0,

t 6

[0,

Т ] ,

(111.15)

где X (t) — процесс,

имеющий

независимые

приращения,

.мо­

менты

распределения

которого

неизвестны;

У (t) — измеряемый

выход системы. Уравнение

( I I I . 15) имеет нулевые начальные дан­

ные в

момент

времени

t = 0.

Требуется определить моменты распределения tny

(t),

Ку

(ti,

tz)

при условии, что задана их

аналитическая структура.

Общее

решение однородного

уравнения

у" (t) +

ay

( 0 - 0

с

нулевыми

начальными

данными

определяется

выражением

у = сх cos

at

+

с 2

sin at,

где с ъ

с2 — произвольные

постоянные.

Выразим общее решение через решение

В (i,

s).

Из условия

В (s, s)

= О,

В'

(s, s) =

1

получаем

сх

cos

as

+

c2as

=

О,

Отсюда

—acjsin as + ac2

cos as =

1.

с, =

sin as,

c2

=

—cos as

и решение В

(t,

s)

равно

B(t,

s) =

-^-sina(t

— s).

Решение

уравнения

( I I I . 15)

дается

выражением

.

K ( f ) =

- i - J s i n a ( / — s)X(s)ds.

(III.16)

о

Предположим, что массив статистических данных

образован

с постоянным шагом

по времени равным At, тогда, исходя из

формулы механических квадратур, для момента времени tx =

At

имеем

у(М)=±с[Л)Х(М);

( I

коэффициент с[1)

известен и выражается по формуле механических

квадратур через решение В (t,

s).

Из формулы ( I I I . 17) определим

значение X

(At).

Для

момента

времени

t2

=

2At

имеем

у (At) =

-

i - [с[2)'х

(At)

- f

42)

X (2

At)],

откуда

получаем

значение

X

(2А{).

Продолжая указанную процедуру, для остальных моментов

времени

определим

массив данных

R* == (X (^),

X (t2), . . .

. . ., X

(tm)). Задача

сводится к определению моментов распре­

деления

процесса

X

(t).

• В данном случае

проще задать аналитическую структуру мо­

ментов распределения процесса X (f) и по ней найти аналитиче­

скую структуру процесса Y (t). Действительно, если

заданы

мо­

менты тх (t),

Кх

t2),

тогда

в

силу формулы

( I I I . 16)

t

my(t)

=

-^-

J sin a(^ —

s)mx(s)ds,

о

Ky ViA)

=

"ST J Js i n

a & — s i ) s i n a

('» — s a)

x

0

0

X Kx

[min (sx ,

s3 ),

m i n (sx ,

s2 )] dsx ds2.

Выход данного звена

является

входом во второе линейное

звено W.->:

А ,

(О L F 2 ( 0

= У At)-

W 1

w 2

ЦВМ

У1

Уг

At(t) =

(Aik(t),

л,0 (0);

Ац {t) — известные

функции;

I

^ . - ( 0 1

LYt

(t) = I

LiQYi

(t)

d'Y,

(()

dli

i

=

1, 2; при

£ = 1

k =

n, при

i =

2 k = m.

Измеряемыми координатами

системы

управления являются

^

i

(0,

У2 (0 .

^ € Т.

Допустим,

что внешнее

воздействие

Х х (t)

является

либо

стационарным процессом,

либо

процессом,

имею­

£/(0

=

Е « * И Ф * ( * ) .

где функции

срА (t)

и число

г определяются

разложением

( I I I . 2 2 ) ;

ыА — случайные

величины,

имеющие нормальный закон

распре­

деления, при этом Muk=yk,

т. е. для

каждого

фиксированного

числа k случайная

величина

uk является несмещенной оценкой

параметра

у к .

Отсюда

следует,

что

MY

(t) — MU (t).

Имеем

17(0

=

и it)

-

ми

(t) =

S

О*Ф*

(0.

где иА = uf t —

MwA

=

0.

Выберем систему величин

wA

ортогональной;

для определения

Z (t0) = Н (t0),

Z ( t l k )

=

Н ( t t k )

~ Н(^

(,_!)).

Тогда величины z ( t ; ) , z

(tj) (i =j= j)

независимы.

Образуем линейные

оценки

вида

vk =

tgikZ(tlk),

(Ш.24)

где

gik —

постоянные,

выбор

которых

определяется

дальше.

Вычислим

корреляционную

функцию

процесса

A (f) LU (t).

M A (tj) LU (tj A (ta)

LU (t 2 )

=

t

Mxfob

(tlt t 2

) ,

где

k=i

U) =

| ]

ЛДЦЛДЦ

(111.25)

i , / = 0

1

2

.

—

известные

функции.

Зададим

аналитическую

структуру

момента

Mz2

(t)

в виде

I 2

Mz

dt1

dt.

Н (ft-i) L/=i

где

dj (j =

1,

s) — неизвестные

параметры.

Тогда

Mvl =

£ gik

л .

(111.26)

г=1

У^1

г г г

г

о о

fc=l

(Ш.27)

где момент

Mvl

определяется

условием

( I I I . 2 6 ) ,

функции

•ф* (^i> ^а) —

условием { I I I . 2 5 ) .

Найдем

минимум функционала (III.-27)

относительно

пара­

метров glk,

dj, обозначим его через Vm.

Vm < е,

где

е >

Если минимальное значение

функционала

торой

процесс

W (t)

считается

эквивалентным

процессу

Y

(t)

в смысле данного определения, тогда эквивалентный процесс W

(t)

равен

1 Н 0 =

2 " А Ф * ( а

(111.28)

где

uk — yk —

k=i

система

случайных

величин,

ортонормйрованная

удовлетворяющая условию (1.11), при этом Muk = yk

есть

из­

вестная величина; М

[uk — Muk]2

=

Mvl;

значение момента

Mv\

определяется условием

( I I I . 2 6 ) .

В качестве параметров g[k,

dj

берутся

значения, дающие

ми­

нимум

функционалу

(И 1.27).

Заметим, что

представление"

(III . 28)

является

каноническим

разложением процесса W (I).

Аналогично, если требуется определить только моменты ту

(t),

М

[Y

(t) — my(t)]s,

минимизируем

функционал

V *

=

Т

I

2 Мх&Ь

( * , * ) - M X 2

(О

dt

(111.29)

относительно параметров

glk,

dj.

Функционалы

Vъ

V2

являются алгебраическими

полиномами

по параметрам glk,

dj.

Величина функционала зависит от чисел г,

р,

s.

Если значения

функционалов

таковы,

что

либо

V x >

е,

либо

У2 >

е

. то это означает,

что для достижения

требуемой

точности

в определении моментов распределения ту

(t), Ку

(tlt

t2)

следует

увеличить хотя

бы одно

из чисел

р,

г, s.

ции

процесса

X (t). Отсюда

следует,

что

в качестве процесса,

эквивалентного

выходу

Y (t),

в этом случае следует взять про­

цесс

W (t), построенный

при

условии,

что

входное воздействие

системы имеет

следующие

особенности.

1.

Без помощи датчика случайных чисел можно определить

моменты тц [t),

Ку [t1}

t2).

В этом основное отличие данного ме­

тода,

от метода Монте-Карло.

2

Наряду с определением моментов

tny

(t), Ку

{tlt

t2)

можно

получить одновременно

оценку точности,

с которой

производится

определение указанных

моментов. Обычно

[16, 23]

для

оценки

нительно

производить

ряд расчетов

на ЦВМ.

3. Метод не накладывает никаких ограничений на матрицу A (t)

уравнения

( I I I . 2 ) .

В

частности, не

требуется

стационарности

уравнения

( I I I . 2 ) .

В этом смысле стационарные и почти стацио­

нарные системы [23]

входят

в уравнение (Ш.2)

как

частный

случай.

4. Используются

только

моменты

распределения

входного

5.

Точность,

с которой определяется значение функционалов

Vlt V2,

зависит

от чисел р, г, s и аналитической структуры мо­

мента

Mz2 [t).

6.

Метод близок к методам статистики случайных процессов.

Однако

вместо

реализации процесса Y (t) и статистик, построен­

где Х г (г!) (/

=

1,

г) —

входные

воздействия, являющиеся

слу­

чайными

процессами,

X (t)

=

(Хх

(t),

. . .,

Хг (t)) — /--мерный

вход системы;

fk

—

некоторые

нелинейные

функции

указанных

аргументов;

Y (t)

—

(Yx

(t),

. . .,

Yn

(t)) —

n-мерный

выход

си­

стемы,

t£T.

если

начальные данные

Yk

(0) (k — 1, л) отличны от нуля,

тогда

заменой переменных zk

(t)

= Yk

(I) — Yk

(0)

перейдем к

нуле­

вым

начальным данным.

Систему

(III . 30)

в

этом случае

будем

моментов распределения входной

координаты

X (/)

т О л . Д 0 = Л4Х; .(0-

.

^ o * i , / ( ' i , ' a ) =

A I [ X t ( f 1 ) - m o i ( / 1

) ] X

(Ш.31)

x [ x y ( g - m

0 / ( g ]

/ = ТГ7),

причем X (t) —

измеряемая координата системы управления, пред­

априорные значения моментов распределения выхода У (f).

Для

этого

используем метод анализа точности нелинейных систем

В. И.

Чернецкого [31], метод Б. Г. Доступова,

метод Монте-

Карло,

метод линеаризации нелинейностей В. С.

Пугачева

[23]

пользуя

результаты1 п. 6, определим моменты распределения тх[,

Kxixj (tlt

t%) — Kxixj

t%)-

Если координаты X,- (t)

есть процессы с независимыми прира­

щениями либо мартингалы, тогда,

используя результаты п. 8,

определим моменты распределения тх[ (t),

KxiXj

h) =

= KxiXi (min (tx, *,), m i n (*l t J z ) ) .

f

входящими

в аналитическую структуру

моментов

распределе­

ния тх1 (/),

KXiXj (ti, to). Предположим,

что для

всевозможных

пользуя методы анализа точности нелинейных систем

[31], сле­

дует

определить моменты распределения выходно'й

координаты

Y (t),

аналогичные тем, которые используются при проектирова­

нии

автоматических систем управления.

3. Среднее время, необходимое для решения задачи определе­

ния моментов распределения выходной координаты

Y (t) с по­

мощью методов анализа точности нелинейных систем

[16], выше