книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций

чинами прототипа и модели выражается формулой (4.29), а именно:

Преимущество расчета а^р в выражениях (4.35) очевидно: все количественные величины в квадратных скобках известны, от и Ас легко измеримы при испытании модели (они не меняются во времени), а величина Кс может определяться путем тарнровоч-

выводов величина Ет исключается в окончательных выражениях коэффициентов влияния. Методы применения компенсаторов пластичности в косвенных моделях и детали деформатора мо­ мента, упоминаемые ниже, были описаны Норрисом.3

Деформатор момента

Этот прибор используется при определении линий влияния изгибающих моментов в сечениях призматических элементов каркасных конструкций. Прибор деформирует исходную модель конструкции, а не основную конструкцию, и применение его осно­ вано па методе определения линий влияния деформаций. Прави­ ло Мюллера-Бреслау в этом случае не используется и не тре­ буется разрезать модель для получения смещения.

Принцип деформатора момента изложен на примере консоли, изображенной на схеме а рисунка 4.16. Предположим, что тре­ буется найти линию влияния изгибающего момента в сечении 1 и что модель изготовлена из пластмассы, имеющей линейные упругопластические свойства. Нагрузка V, приложенная в точке 2 и ли в любой другой произвольной точке), вызывает прогиб о7 в

70

точке 1, прогиб bL в точке на малом удалении S влево от точ­ ки 1 и прогиб оЛ в точке на расстоянии S вправо от точки 1. Увеличенная и детализированная картина изогнутой формы конструкции в районе точки 1 показана влево от схемы а. Если радиус кривизны конструкции в точке 1 от нагрузки V в точке

е Деформатор момента

Рис. 4.16. Принцип деформатора момента, используемого для определения ли­ нии влияния изгибающих моментов в каркасных конструкциях.

2 обозначен Ry и предполагается, что элемент изогнут по дуге окружности на малом промежутке 2S, тогда из теоремы пересе­ чения хорд

S X S = S X (2-Rp — о)

1 23

(такой же результат получается, если вторая производная проги­ ба выражается в форме конечной разности, используя шаговый интервал S). Эта кривизна вызывается нагрузкой V. Поэтому

71

две системы, мы получим изогнутую форму, показанную на схе­ ме d, которая служит линией влияния кривизны, а следователь­ но, и изгибающего момента в точке I от единичной нагрузки в любой произвольной точке 2 на пролете (за исключением области внутри отрезка 2S около точки 1).

Используя нормальное соотношение момент-кривизна для упругого призматического элемента, получим, что изгибающий момент в точке 1 от единичной нагрузки, расположенной в точ­ ке 2, будет

где I есть дополнительный момент площади элемента, Er — мгновенный модуль упругости и 1//?х — кривизна в точке 1 от единичной нагрузки, приложенной в точке 2.

Подставим вместо 1/7?! выражение из (4.36), получим

Равная и противоположно направленная система сил, показан­ ная на диаграмме d (которая статически эквивалентна равным и

(в которой вызывается смещение Дт) и верхним компенсирующим брусом, сделанным из такого же пластмассового материала, ко­ торый использовался для модели (и в котором вызвано смеще­ ние Дс). Окружающая рама считается жесткой. Компенсирующий брус служит тому же назначению, что и описанный выше ком­ пенсатор пластичности. Если V есть реактивная сила, вызыва­ ющая смещения, то мы можем использовать выражения ("4.32) и (4.33), а именно:

72

где Кт и Кс— постоянные коэффициенты, зависящие от гео­ метрических форм конструкции и бруса — компенсатора плас­ тичности. Откуда

меряются на деформированной форме модели.

Внутри отрезка 2S будут дополнительно деформации от мест­ ных изгибающих явлений. Видоизмененное выражение для Мх

риваемого сечения (рис. 4.16, е).

Определение поверхностей влияния для изгибающих момен­ тов в плитах рассматривается в разделе 4.8.

Измерения деформаций

Для измерения малых прогибов нужно использовать точные и чувствительные инструменты: для горизонтально смонтиро­ ванных моделей достаточно микроскопа-микрометра на массив­ ной подставке, а для вертикально смонтированных моделей мо­ жет быть применен казетометр. Недостатком этих инструментов является то, что они измеряют прогибы только в единичных точ­ ках. В идеальном случае необходимо иметь ряд таких инструмен­ тов для измерения прогибов в ответственных точках на модели конструкции. Для относительно жестких конструкций при много­ точечных измерениях прогибов может быть использован набор циферблатных датчиков.

Измерение прогибов, углов поворота сечений и деформаций в моделях из пластических материалов упоминается также в раз­ деле 6.16.

4.8. Косвенные модели для плоских конструкций

Косвенные модели находят наиболее эффективное примене­ ние при определении поверхностей или полей влияния для плос­ ких конструкций, и в частности для плит и пластин необычной формы со сложными условиями опирания и видами нагрузок. Несмотря на наличие многочисленных экспериментальных мето­ дов в этой области, все еще существует потребность дальнейшего улучшения и развития косвенного моделирования.

73

Методы анализа при испытании косвенных моделей основаны на положении, что конструкция прототипа подчиняется линейно­ му упругому режиму и соответствует трем условиям, перечислен­ ным в разделе 4.2. Однако иногда может оказаться необходи­ мым нарушить условие малых прогибов в тех случаях, когда требуется провести испытания па косвенной модели методом плюс — минус смещений.

Существуют два основных метода: косвенные модели, осно­ ванные на правиле Мюллера-Бреслау для нахождения общих сил и реакций, и модели, основанные на теореме взаимности для определения коэффициентов влияния деформаций и местных изгибающих моментов.

Модели, основанные на правиле Мюллера-Бреслау'

Эти модели обеспечивают получение общих расчетных реак­ тивных сил или моментов в сечении плиты, но не позволяют уста­ новить их распределение, исключая случаи, когда система рас­ пределений их была заранее принята для типа смещений, вызы­ ваемых в конструкции.

Как отмечалось в главе 3, плоские конструкции рассматри­ ваются как двухмерные, что усложняет их экспериментальнотеоретический расчет по сравнению с каркасными.

Сущность расчета приведена на примере простой конструк­ ции плиты, показанной на рис. 4.17. Грани 1—2 и 3—4 неоперты, а грани 2—3 и 1—4 защемлены. Требуется найти поверхности влияния поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов в сечении 5—6 от единичной нагрузки Р, приложенной в любой произвольной точке х, у на плите. Процесс разрезывания и де­ формирования модели в основном такой же, как и для каркас­

где Q предполагается равномерно распределенной по всему се­ чению. Между краями плиты, смежными с сечением 5—6, не должно быть относительного вращения, или суммарная работа, выполняемая изгибающими или крутящими моментами в защем­ ленных гранях в результате смещения, равна нулю.

Поверхность влияния изгибающего момента определяется пу­ тем устранения связи изгиба и смещения основной конструк­ ции, как показано на схеме с. Ордината прогиба 3 представляет

74

общий изгибающий момент в сечении 5—6 от нагрузки в точке х, у. Если а есть общее относительное вращение сечения в 5—6, то

М = — Р,

а

где М предполагается равномерно распределенным по всему се­ чению.

Поверхность влияния изгибающего момента в сечении 5—6.

Поверхность влияния крутящего момента в сечении 5—6.

Рис. 4.17. Иллюстрация методов использования правила Мюллера-Бреслау для получения поверхностей влияния равнодействующих усилий в плоскост­ ных конструкциях.

75

Поверхность влияния крутящего момента определяется путем устранения связи кручения и смещением основной конструкции, как показано на схеме d. Ордината прогиба 3 представляет об­ щий крутящий момент на сечении 5—6 от нагрузки в точке х, у. Если ß есть общее относительное кручение в сечении 5—6, то

1 — О 1 J

1J

где предполагается, что Т вызвано линейным изменением пере­ резывающих сил в гранях. Вдоль оси х-ов не должно быть относи­ тельного вращения, или суммарная работа, выполненная изгиба­ ющими моментами в гранях в результате смещений кручения, равна нулю.

Ограниченность применения этого метода очевидна: распре­ деление различных реактивных сил в сечении 5—6 было принято по образцу смещения, вызванного в основной конструкции. Для примера представим, что нагрузка Р приложена где-то вдоль линии 5—6. В соответствии с формой поверхности на схеме с изгибающий момент равномерно распределен независимо от по­ ложения нагрузки по линии. В действительности это не так. Если поперечный размер плиты 2Ь мал по сравнению с пролетом 2а, то плита становится балкой, и равномерное распределение изги­ бающего момента является приемлемым допущением.

Поэтому, несмотря на то, что правило Мюллера-Бреслау мо­ жет быть использовано для нахождения общих реактивных сил, это еще не обеспечивает определения распределения сил по се­ чению. Для того чтобы показать значимость этого положения, представим себе, что смещения кручения, изображаемые на схе­ ме d, могли бы принять нелинейную форму, как показано штри­ ховой линией, и это существенно изменило бы картину распре­ деления крутящего момента в сечении.

Нужно заметить, что подобный тип испытания на косвенных моделях сопряжен с практическими трудностями, если разрезы предстоит производить вдоль искривленных линий и предусмо­ тренные смещения нелинейно изменяются вдоль этих линий.

Теоретические эксперименты не ограничены указанными трудностями, и аналитический расчет, основанный на правиле Мюллера-Бреслау, предназначается для получения решений за­ дач взаимодействия в плите.4

Модели плоских конструкций, которые были испытаны в соот­ ветствии с правилом Мюллера-Бреслау, описывались Герстлем.5

Модели, базирующиеся на теореме взаимности

Теорема взаимности применима для всех типов плоскостных конструкций с линейным упругим режимом. Поле влияния про­ гиба в точке X, у на поверхности от нагрузки, приложенной в произвольном месте с, у получается путем приложения единич­

76

ной нагрузки в точке х, у в принятом положительном направлении рассматриваемого прогиба. Это очевидно, если коэффициенты влияния выражены в форме прямоугольных координат, а именно:

и bcv) представляет поверхность влияния для о .

Использование обратных связей (4.40) в определении поверх­ ностей влияния для плит аналитическими методами было описа­ но Тимошенко.0Функции типа а ѵѵ, иногда называются функ­ циями Грина.

Поле влияния для вращения аЛ.ѵ в х, у от нагрузки, прило­ женной в произвольной позиции ѵф получается путем приложе­ ния единичной пары в х, у в принятом положительном направ­ лении изучаем'ого вращения. Это возможно из-за соотношений

а.ѵѵ= аху, «ч

Легко заметить, что выражения (4.41) и (4.42) в основном аналогичны выражениям, выведенным для каркасных конструк­ ций в разделе 4.4. В модельных исследованиях в дополнении к измерениям изогнутой формы 02-/7 необходимо измерять величину смещающего усилия.

При использовании пластмассовых моделей для преодоления трудностей, связанных с изменением модуля упругости во вре­ мени, может быть использован компенсатор пластичности, подоб­ ный применяемому для каркасных конструкций. Если собствен­ ный вес модели значителен, то (до приложения к ней смещающей нагрузки) желательно оставить модель в испытательной уста­ новке на 24 часа. В этом случае пластические деформации от собственного веса разовьются раньше деформаций от приложен­ ных нагрузок.

77

Поверхности влияния изгибающего момента в точках на плите

При условии, что известно отношение момент-кривизна для поверхности, можно определить поля влияния изгибающих мо­ ментов в отдельных точках (в отличие от общего изгибающего

Рис. 4.18. Метод определения поверхностей влияния изгибающих моментов в плитах.

момента в сечении, получаемого по правилу Мюллера-Бреслау) путем использования двумерного деформатора момента и изме­ рения изогнутой формы плиты. Использование модифицирован­ ной техники Мойра для измерения прогибов в плите было описа­ но Куске.7Принцип этого метода проиллюстрирован на рис. 4.18.

Предположим, требуется найти поверхность влияния изгиба­ ющего момента в точке 1 (х, у) в отношении направления х,

78

вызываемого единичной нагрузкой, приложенной в произвольной

ге окружности вдоль этих осей на малых расстояниях 25, тогда из теоремы пересекающихся хорд (как в случае для деформатора момента) будет

или это можно выразить в такой форме:

<4-43)

где и есть коэффициент Пуассона материала плиты.

Схема b изображает изогнутую форму плиты под воздействи­

ленных на расстояние 5 вправо и влево от точки 1 по направле­ нию X. Подобно схема d изображает изгиб плиты, вызванный двумя направленными вверх нагрузками о Ѵ/2, приложенными в точках,

схеме е. Ордината смещения о в любой произвольной позиции 2 представляет изгибающий момент в точке 1 от нагрузки в точ­ ке 2\ таким образом, изогнутая форма, изображенная в схеме е, является поверхностью влияния для Мх в точке 1. Используя взаимоотношение момент-кривизна для плиты, запишем

Мх = D

Ry J

(Мх есть изгибающий момент на единицу ширины и D есть жесткость плиты на единицу ширины), но из (4.43)

79