книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций

d z

Поэтому задача скручивания может решаться путем исполь­ зования мембранной аналогии. Теоретически все, что требуется выполнить, это натянуть тонкую мембрану на рамку, геометриче­ ски подобную форме сечения призматического элемента, подле­ жащего рассмотрению, приложить давление и измерить наклоны поверхности и объем, смещенный мембраной. Однако в практике существует множество трудностей, которые следует преодолеть, прежде чем удовлетворительная мембранная аналогия может быть построена и испытана 10. Другим методом решения зада­ чи скручивания путем аналогии является использование электро­ литической емкости, в этой аналогии функция напряжения Ф представлена потенциалом в проводящей жидкости “ .

Основное уравнение (10.13) предполагает, что материал при­ зматического элемента, подвергающегося скручиванию, изотро­ пен, однороден и подчиняется закону Гука. Справедливость та­ кого допущения в анализе железобетонных элементов сомни­ тельна, особенно если в сечении имеются трещины. Однако оно может оказаться полезным в оценке режима при скручивании преднапряженных железобетонных элементов, хотя большин­ ство этих задач усложняется наличием значительных изгибаю-

171

щнх моментов и осевых сил. Конечно, теория Сент Венана о кру­ чении элементов не применима в анализе их работы при предель­ ных нагрузках.

10.4. Электронная аналогия для цилиндрических оболочек

Для анализа работы цилиндрических оболочек рекомендова­ лось несколько методов. Если отношение L)W превышает 4 (схе­ ма а, рис. 10.5), могут использоваться упрощенные уравнения, выведенные Шорером 12; более полная система уравнений, тре­ бующая большой вычислительной работы, была сформулирована Дженкинсом 13.

Мембранные силы Т, перерезывающие силы 5 и N, изгибаю­ щие моменты М, крутящие моменты Н, тангенциальная (каса-

а Размеры цилиндрической оболочки

172

тельная) составляющая Y и радиальная составляющая Z прило­ женной нагрузки g, действующей на малый элемент оболочки, показаны на схеме в рис. 10.3. Из условий равновесия, совмест­ ности взаимоотношений напряжение-деформация элемента Дженкинс вывел восемь уравнений, содержащих восемь зависи­ мых переменных и две независимые переменные, Ѳ и х. При вы­ ражении нагрузок гармоническими функциями, симметричными относительно х, и рассмотрении только первой гармонической функции восемь уравнений можно выразить через независимую

переменную Ѳ.

Унлби и Белломи 14 показали, что путем устранения всех за­ висимых переменных, за исключением одной — Т2і основное урав­ нение становится обыкновенным дифференциальным уравнением восьмого порядка типа

aiRed.T2 = a- ^ ^ Z — a*R X

D

Si = S2= S и Hi — Н2 = Н. Если также предположить, что шзначи-

Уилбп и Беллами показывают, как уравнение (10.18а) может быть решено электронным аналоговым счетчиком, в котором Ѳ оболочки представлено в аналогии времени, а восемь зависимых переменных оболочки представлены вольтажами.

Таким образом, восемь (электронных) интеграторов, объеди­ ненных в контур, используются для решения основного уравне­ ния. Конечно, полное решение должно удовлетворять уравне­ нию (10.18, а)-и заданным граничным условиям частной задачи оболочки. Следовательно, трудность возникает в определении на­ чальных условий для каждого интегратора. Уилби и Беллами преодолели эту трудность и выразили эти восемь уравнений сле­ дующим образом:

о

М2 = §(RN2 — а2 ED d O + M 2 „

о

о

УѴ2 = j(— Т2 + d'lRD со + a*RM2— 2R) d 0 + N2;,

о

о

b

173

R

D M2j d 0 + <]>„.,

где индекс i имеет отношение к начальным величинам прнО = 0

Рис. 10.6. Цепь аналогового счетчика, использованная Уилби и Беллами для решения уравнения цилиндрической оболочки.

174

Цепь для электронной аналогии показана на рис. 10.6. Любые произвольные установки начальных условий для интеграторов представят некоторую произвольную систему граничных усло­ вий в физической задаче. Поэтому для установки начальных ве­ личин в интеграторах следует применять метод проб и ошибок, последовательно включая счетную машину до тех пор, пока окон­ чательные условия ие будут представлять действительную систе­ му граничных условий в физической задаче. Таким образом, весь процесс заключается в последовательных коррекциях: вна­ чале производится операция интегрирования и согласовывается с основным уравнением, основывающимся на допускаемых пер­ воначальных условиях, при этом аналоговый счетчик не будет действительной аналогией до тех пор, пока граничные условия не будут верно воспроизведены окончательными (конечными) ус­ ловиями. Унлбн и Беллами изложили применение этого метода к решению ряда задач цилиндрических оболочек.

10.5. Электрические аналогии

Аналогии, рассмотренные в разделах 10.2, 10.3 и 10.4, явля­ ются по существу аналогиями непрерывной функции, т. е. выра­ жения для зависимых переменных справедливы для всех точек в системе координат и при вычерчивании графика дают плав­ ные кривые. Как известно, некоторые из наиболее сложных диф­ ференциальных уравнений, с которыми встречаются в задачах строительной механики, и которые трудно или невозможно ре­ шить, используя строгие математические методы, поддаются ре­ шению при использовании уравнений конечной разности. Основ­ ное дифференциальное уравнение и соответствующие граничные условия выражаются в форме конечной разности и результирую­ щая система совместных уравнений может решаться использо­ ванием числовой вычислительной машины или методом релакса­ ции. Выражения для зависимых переменных справедливы для дискретных точек в координатной системе. Эти численные систе­ мы имеют своих двойников в сетях электрического сопротивле­ ния, которые могут использоваться для решения уравнений ко­ нечной разности в задачах плиты или в решении системы урав­ нений для каркасных конструкций.

Аналогии для решения задач прогиба плит

Аналогии между уравнениями прогиба плиты и уравнения­ ми, используемыми в задачах двумерной упругости, уже упоми­ нались в разделе 10.2. В каждом случае основное дифферен­ циальное уравнение является в форме бигармонической функции:

у 2ф = К (ху).

Использование аналогии простой сети сопротивления для ре­ шения уравнений конечной разности в задачах этого типа было описано Палмером и Редшоу 15.

175

Вместо использования бигармонического уравнения в стан­ дартной форме, как частный дифференциал четвертого порядка, его заменяют выражениями конечной разности для двух совме­ стных частных дифференциальных уравнений второго порядка. Уравнения, используемые Палмером и Редшоу, приведены в таблице 10.3.

Образец сетка

Вся сеть состоит из трех сетей низкого, среднего и высокого потенциала, взаимосвязанных через большие сопротивления. Электрическая аналогия расшифровывается с помощью закона Кирхгофа: если V есть потенциал в точке сети среднего потен­ циала, можно показать, что

Vi + V2~\- Кз+ К}—4У0 + ^ = 0, (10.24)

где В зависит от отношения сопротивлений и напряжения в сети высокого потенциала. Поскольку В может быть конечным или нулем, то будет видно, что (10.24) аналогично (10.21) и (10.23). Редшоу и Раштон 16 описали применение этого метода для реше­ ния плит со свободными краями и плит, опертых на колонны.

176

Аналогии для решения задач статически неопределимых каркас­ ных конструкций

Анализ упругих статически неопределимых каркасных кон­ струкций ведет к системе совместных уравнений, которые должны непосредственно вычисляться или решаться приближенными ме­ тодами. В качестве неизвестных могут использоваться смещения плп силы. Аналогии цепей электрического сопротивления могут использоваться для решения задач с применением аналоговых

соотношений:

смещение = гибкость Хейла, вол ьтаж = сопротивление Xток.

Электрический анализатор для линейных конструкций был подробно описан Брэем,17 а электрическая аналогия для анали­ за предельных состояний рамных конструкций — Свенсоном.18

С С Ы Л К И

177

Г л а в а 11

Измерение деформаций

11.1. Введение

Точность и достоверность любого модельного исследования непосредственно связана с точностью и достоверностью измере­ ний. Измерения используются в основном для определения де­ формации и сил, но во многих случаях могут понадобиться так­ же измерения времени, температуры п влажности. Настоящая глава посвящена одному из аспектов измерения деформаций: измерению относительных деформаций.

Экспериментальное определение величин и распределение де­ формаций относится к сфере предмета, называемого экспери­ ментальным анализом напряжений, однако напряжение не мо­ жет измеряться непосредственно, и, возможно, более подходящим было бы название экспериментальный анализ деформаций. Не­ посредственное измерение деформаций используется во многих отраслях строительства и особенно в научно-исследовательской работе. Кроме того, различные формы датчиков, основанных на измерении деформаций, используются на промышленных пред­ приятиях в повседневной работе точно контролируемых процес­ сов, например в грузовых бункерах для автоматического взве­ шивания или регулирования скорости дозирования сырья. При­ боры и способы измерения деформаций, описываемые в этой главе, непосредственно относятся к измерению напряжений, свя­ занному с модельными исследованиями.

Глава расчленяется на разделы в соответствии с принципом действия различных типов тензометров, в которых коротко рас­ сматриваются их достоинства и недостатки. Последний раздел содержит уравнения, используемые для определения величин напряжений по измеренным деформациям. Специальные методы определения деформаций, которые необходимы для решения за­ дач модельного исследования, излагаются в главе 12.

11.2. Механические тензометры

Большинство механических тензометров действует по прин­ ципу рычага или зубчатой рейки с шестерней пли комбинирован­ ным способом. В этом разделе упоминаются только два типа

178

тензометров: Гугенбергера, который обеспечивает увеличение отсчетов благодаря двойной рычажной системе, и Димека, рабо­ тающего при помощи короткой оси, связанной с циферблатным тензометром (на основе зубчатой рейки с шестерней).

Тензометр Гугенбергера (рис. 11.1)

Существует несколько моделей, часть из них имеют фикси­ рованную длину базы измерений ’/2дюйма или 1 дюйм прибора, а некоторые имеют регулируемую длину базы измерения. Шкала

и

Рис. 11.1. Тензометр Гугенбергера.

дает возможность увеличения отсчетов порядка 1200. Недостат­ ком этого тензометра является то, что его приходится прикреп­ лять к модели механически, хотя для этого имеется или в спе­ циальных случаях может быть изготовлен набор зажимов или обойм. Для тензометров, используемых на стальных конструк­ циях, может применяться крепление, основанное на магнитном принципе.

Применение тензометра Гугенбергера ограничивается стати­ ческими измерениями, а при вибрационных испытаниях он до­ пускает ошибки. Приборы градуируются для непосредственного отсчета деформаций и, несмотря на их высокую чувствитель­ ность, они очень надежны, и поэтому часто используются при полномасштабных испытаниях в полевых условиях. В элементах конструкции, подверженных осевым и изгибающим деформаци­ ям, выгодно прикреплять тензометры друг против друга, как показано на рис. 11.1. Тензометры производятся швейцарской компанией Гугенбергер в Цюрихе.

Разборный тензометр Димека (рис. 11.2)

цемента и бетона для исследования бетонных конструкций, но он также пригоден для определения деформаций и в других ма­ териалах, включая пластмассы.

Имеются тензометры с длиной базы измерения от 2 до 80 дюймов, но приборы с наименьшими размерами базы наилучшим

179

образом подходят для работы с моделями. Прибор состоит из штанги инварной стали (инвар — сплав железа с никелем) с двумя коническими фокусировочными точками на концах, при­ чем одна из них жестко закреплена, а другая вращается на спе­ циальной ножевой опоре. Диски из нержавеющей стали при­ крепляются к поверхности конструкции дюрофиксом или други­ ми подходящими склеивающими материалами; эта операция осуществляется с помощью установочного бруска, обеспечиваю­ щего точное расположение дисков на поверхности.

Рис. 11.2. Съемный тензометр Днмека.

Поскольку тензометр съемный, его можно использовать для измерения деформаций в ряде точек. Это означает, что он обес­ печивает относительно недорогое средство получения данных для построения контуров деформаций в плоскостных конструк­ циях, поскольку каждая дополнительная позиция измерения де­ формации требует только два лишних фокусировочных диска; кроме того, диски могут сниматься к концу испытания и повтор­ но использоваться для другой цели.

На 2-дюймовом тензометре одно деление на циферблате со­ ответствует деформации 25ХІ0~б, и поскольку отсчеты легко брать до половины деления, напряжения, например, в перспексе могут измеряться до 10 фунтов/дюйм.2

При сравнительно гибких моделях определенное внимание следует уделять установке тензометра в позиции, если требуется произвести согласующиеся измерения. Сначала подвижная точка тензометра устанавливается в позицию и корпус инструмента подвигается до тех пор, пока не устанавливается жестко закреп­ ленная точка. Легким покачиванием тензометра можно отметить

180