книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций

Г л а в а 4

Косвенные модели

4.1. Введение

Косвенные модели используются для определения линий и

номерных конструкциях, но они могут применяться к плоскост­ ным и к пространственным — трехмерным конструкциям, однако в этих случаях точность результатов ограничивается недостат­ ками экспериментальной техники. Теория косвенных моделей не сложна и испытательные процессы относительно просты.

Поскольку целью использования косвенных моделей являет­ ся получение характеристик влияния средствами силовых воз­ действий, то не обязательно, чтобы нагрузка на модель имела прямое соотношение с нагрузкой прототипа. Если требуется по­ лучение характеристики влияния обобщенных сил (осевых, по­ перечных, моментов или моментов кручения) в определенных сечениях, то процесс состоит в «разрезе» модели в одном из этих сечений, после чего следует вызвать расчетное смещение и тео­ ретически истолковать результаты в соответствии с принципом Мюллера-Бреслау (поэтому косвенные модели иногда называ­ ются моделями смещения).

Если нужны характеристики влияния обобщенных деформа­ ций (прогибов или кручения), то модель деформируется расчет­ ным усилием и результаты обрабатываются с помощью теоремы взаимности.

Таким образом, при определении характеристик влияния сил «разрез» и смещение в сечении модели требуют специального прибора, измеряющего лишь деформации. При определении ко­ эффициентов влияния деформаций процессы исследования более просты, но величина силы, вызывающей деформацию, должна тоже измеряться.

Косвенные модели используются только для статических или квазистатпческих задач.

41

4.2. Линейный конструктивный режим

Большинство наиболее распространенных строительных кон­ струкций под нагрузкой остаются жесткими, деформации бывают малыми и ощутимо не влияют на действия нагрузок.

При линейном конструктивном режиме изменения деформа­ ций должны быть прямо пропорциональны нагрузкам. Необхо­ димо, чтобы материалы конструкции работали упруго. Это тре­ бование, само по себе недостаточно, поэтому необходимо вы­ полнение еще трех условий.

1.Отношение напряжение-деформация должно быть линей­ ным (применим Закон Гука).

2.Обеспечивается эффект устойчивости (деформации не влияют на действие нагрузок).

3.Деформации малы (конструкция настолько жестка, что под нагрузкой не происходит значительных изменений в ее гео­ метрии).

Для успешного применения методов косвенного моделирова­ ния необходимо соблюдать эти три условия при выборе подхо­ дящих материалов для модели, техники испытаний и анализе результатов. Тем не менее иногда можно нарушить одно их этих требований. Это отступление от правил допустимо при условии, что степень влияния отклонений от основных требований к изме­ ряемой величине может быть оценена или могут быть внесены необходимые поправки. Последствия, вызванные несовпадени­

ем со строгим линейным конструктивным режимом, будут изла­ гаться в одном из следующих разделов.

Принцип наложения

Принцип наложения сил или смещений применим для линей­ ных конструкций (конструкций, работающих по линейному упру­ гому режиму). Это можно проиллюстрировать следующим обра­ зом.

Рассмотрим изменения прогиба любой линейной конструкции в точке 1 под воздействием нагрузок в точках 2 и 3.

где бх есть изменение прогиба в точке 1, вызванное изменением нагрузки Р2 в точке 2, а12 называется коэффициентом влияния (или коэффициентом гибкости) и представляет изменение прогиба в точке 1 от изменения единичной нагрузки в точке 2.

Подобным же образом изменение прогиба в точке 1, вызван­ ное изменением нагрузки Р3 в точке 3, равняется

бі = disР3.

42

Следовательно, при Р2 и Р3

Öl = а1%Р2Н" &13Р3-

Коэффициенты сіі2 и аіа относятся к интенсивно возраста­ ющим нагруз'кам в точках 2 и 3. Пусть а\2 и а[3 будут коэф­ фициентами для интенсивно уменьшающихся нагрузок в точках 2

и 3.

Выносим Р2-

öi — (uj2— и , о) Р2+ аізРз-

Выносим Р3:

öl = («12— о) я 2+ (аіз — а\з) Р3.

Если конструкция упругая, (йі2—а,,') = О

и (а13— а'13) = О,

следовательно,

есть проекция действительного прогиба точки на линию действия силы, приложенной в точке, т. е. прогиба, влияющего на работу, проделанную силой.

Из рис. 4.1 видно, что если деформации заставляют точку А на конструкции передвинуться в положение А', то требуемой составляющей является не АА', а б, измеренная по линии дейст­ вия Р. Если обобщенная сила есть пара или крутящий момент, то вращение в направлении в плоскости пары или крутящего момента является составляющей смещения.

Монотонные системы сил

На рис. 4.2 показано соотношение нагрузка-прогиб для точ­ ки 1 на линейной конструкции, подверженной нагрузке монотон-

43

ной системой сил, в которой все силы увеличиваются равномер­ но с одинаковой интенсивностью.

6і — СІцР1“Г а1іР24“ Й43Я34- Ö14Я4,

Рис. 4.2. Монотонная система сил.

Для монотонной системы сил отношения нагрузок Я2/Яі и т. д. являются постоянными, и все нагрузки могут быть пред­ ставлены единичной нагрузкой-параметром, в данном случае Р\.

Немонотонные системы сил

Если силы, прилагаемые к конструкции, не возрастают с постоянным взаимным соотношением, а в какой-либо произволь­ ной форме, то отношение нагрузка-прогиб для точки не будет носить характера прямой линии, а будет представлять собой сложный график, который показан на рис. 4.3.

в

Рис. 4.3. Возможные варианты графиков от­ ношения нагрузка-прогиб для немонотонной системы сил.

Однако независимо от графика нагрузки суммарная работа, проделанная системой сил, будет

(4.4)

44

Теорема взаимности

Схема а (рис. 4.4) изображает линейную конструкцию, нагру­ женную в точках 1 я 2.

Рис. 4.4. Теорема взаимности: Ді2 = « 2і-

Суммарная проделанная работа

Это выражение справедливо независимо от последовательности нагрузок.

Приложим сначала силу Рь а затем Р2. Графики нагрузки-про­ гиба для точек 1 я 2 показаны на схемах б и с соответственно (рис. 4.4). Произведенная работа при такой последовательности на­ грузок представлена площадями схем, а именно:

45

Приравнивая выражения (4.5) и (4.6) для суммарной работы, по­ лучим

что является одной из форм хорошо известной теоремы взаим­ ности (закона Бетти).

Она может быть выражена в несколько другой форме сле­ дующим образом: «Если две группы обобщенных сил действуют на линейную упругую конструкцию, то сумма работы, проделан­ ной обобщенными силами первой группы, двигающимися по на­ правлению соответствующих обобщенных смещений, вызванных второй группой, равняется сумме работы, проделанной обобщен­ ными силами второй группы, двигающимися по направлению обобщенных смещений, вызванных первой группой».

Или, более сжато:

Эта обобщенная форма теоремы взаимности иногда называ­ ется законом Бетти. Как упоминалось ранее, используемое сме­ щение является тем компонентом, который влияет на работу, проделанную силой. Смещение считается положительным, если оно совпадает со значением силы.

4.3. Правило Мюллера-Бреслау. Линии влияния сил

Это правило является основой метода косвенного моделиро­ вания, используемого для определения характеристик влияния обобщенных сил. Оно может быть сформулировано следующим образом:

«Для любой линейной упругой конструкции, если устраняется связь, соответствующая любой обобщенной силе (внутренней или внешней реактивной силе, или моменту) и вводится соответству­ ющее обобщенное смещение (поступательное или вращатель­ ное движение), то изогнутая форма конструкции служит линией влияния рассматриваемой обобщенной силы».

Если конструкция статически определима, то для справедли­ вости этого правила она не должна быть гибкой.

Правило Мюллера-Бреслау может выводиться из правила фактической работы или же непосредственно из теоремы взаим­ ности (закона Бетти).

46

Предположим, что требуется найти линию влияния горизон­ тального распора в шарнирах двухшарнирной арки (рис. 4.5). Связь, соответствующая силе реакции Н, снимается посредством контролируемого разреза арки в точке 1; можно представить, что левый шарнир поддерживается на роликах, позволяющих только горизонтальные перемещения (необходимо заметить, что беспорядочное «разрезывание» непозволнмо, должна устранять­ ся только связь, соответствующая рассматриваемой силе). Полу­ ченная конструкция называется основной конструкцией и отли­ чается от исходной путем устранения одной связи. Все последу­ ющие действия производятся на основной конструкции. При этом

Исходная конструкция.

Основная конструкция.

Деформация основной конструкции, вызванная смещением Д в точке /. Заштрихованная площадь является линией влияния Н.

Деформация основной конструкции, вызванная нагрузкой Р в точке 2, соз­ дающей прогиб А в 1.

Рис. 4.5. Правило Мюллера-Бреслау: из схемы с — линия влияния для горнзон- 5

тального распора в шарнире Н = - ^ Р .Прогиб б считается положительным, если

он смещается в направлении, противоположном значению приложенной на­ грузки.

следует помнить, что, по определению, коэффициент влияния относится к изменению прогиба в обозначенной точке под воз­ действием изменения единичной нагрузки в другой обозначенной точке. Затем к основной конструкции прилагаются две отдельные группы нагрузок. Внимание уделяется смещениям в точке 1 и вдоль произвольно выбранного направления в точке 2.

47

1.Основная конструкция деформирована введением смещения

вточке 1 вдоль линии действия силы реакции, и конструкция принимает форму, обозначенную штриховой линией. Заштрихо­ ванная площадь между штриховой и обычной линией является линией влияния горизонтального распора в шарнирной опоре. Смещение в точке 2 есть б, или, выражаясь в форме коэффици­ ентов влияния,

б= а21Н и А = апН

2. Определив форму линии влияния, необходимо найти ее мас­ штаб и подходящее обозначение. Представим, что нагрузка Н сня­ та и конструкция деформируется нагрузкой Р, действующей в точке 2, что вызывает смещение А в точке 1, или, выражаясь

вформе коэффициентов влияния,

А= ап Р.

Определение условного знака смещения основано на следующем. Если основная конструкция деформируется заданным смещением, действующим в принятом положительном значении силы, для ко­ торой требуется найти линии влияния, то ординаты линяй влияния будут положительными, если они являются перемещениями,

48

нии влияния (схема с). Если схемы c u d совместить по правилу наложения, то мы вернемся к исходной конструкции с нагруз­ кой Р в точке 2. Поскольку линия влияния должна быть приме­ нима ко всем возможным положениям и направлениям приложен­ ных нагрузок, то имеют значения только изменения в форме основной конструкции, вызванные заданным смещением А. Если приложенная нагрузка есть пара М, то

ния М, вызванное смещением А (Ѳ считается положительным, ес­ ли оно противоположно значению М).

Вместо непосредственного измерения вдоль линии действия приложенной нагрузки составляющей прогиба б иногда удобнее изме-

Рлс. 4.6. Решение примера 4.1 с использованием за­ кона Бетти.

рить составляющие б вдоль осей координат. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример 4.1.

Испытания модели арки из перспекса пролетом в 30 см с за­ щемленными опорами дали следующие результаты.

Вращение левой опоры против часовой стрелки: 0,5°. Движение точки 2 на арке: 0,08 см влево и 0,04 см вверх.

49