книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций

рых измеряются избранные независимые параметры. Очевидно, что из любого набора переменных может быть получен ряд без­ размерных произведений, который образует систему. Считается, что система, созданная таким образом, является полной, если каждое произведение в системе независимо, и все остальные без­ размерные произведения являются степенями от произведений в системе.

2.5. Пи-теорема Букингема

Любое уравнение, характеризующее физические величины, должно быть размерно-однородным, т. е. физические размеры каждого члена в уравнении должны совпадать. Можно показать, что если уравнение разме}зно-однородное, то оно может быть сведено в уравнение полной системы безразмерных произведений переменных. Это положение известно как пи-теорема Букинге­ ма и является фундаментальной основой размерного анализа. Поскольку количество безразмерных произведений в полной си­ стеме всегда меньше, чем количество переменных, из которых система образована, то это эквивалентно уменьшению количест­ ва переменных, которые участвуют в любом уравнении.

Количественные различия между числом переменных в задаче и числом безразмерных произведений в системе могут быть опре­ делены из размерностей переменных.

Исходя из этого положения размерный анализ любой задачи прост. Первоначально перечисляются переменные, о которых предполагается, что они входят в задачу, и определяются их раз­ мерности. Из этих размерностей находится количество безраз­ мерных произведений в полной системе. Определяется полная система безразмерных произведений, после чего из пи-теоремы Букингема можно установить, что некоторая функция безраз­ мерных произведений должна равняться нулю.

Для определения законов подобия не обязательно знать эту функцию, так как единственным необходимым условием является то, при котором численное значение каждого из безразмерных произведений было бы одинаковым как для модели, так и для прототипа (при условии, что все переменные, влияющие на конст­ руктивные явления, будут учтены).

2.6.Переменные в конструктивном режиме

Вобщем случае размерному анализу следует подвергать каждую частную задачу с учетом всех переменных, влияющих на решение этой задачи. Выбор же переменных, влияющих на режим работы любой конструкции, является наиболее трудной частью процесса размерного анализа.

Поскольку задачей данной главы является получение законов конструктивного подобия в наиболее общей форме, то здесь де­

20

лается попытка рассмотреть все факторы, которые могут встре­ титься при любом нормальном анализе. Несмотря на то, что тре­ буется учесть наиболее общее количество переменных, возможно, что для решения специфических задач потребуется привлечение дополнительных переменных, для которых необходимы дополни­ тельные условия подобия. Допустим сначала, что динамические явления не имеют места, хотя, как будет показано далее, они мо­ гут быть легко включены, как часть анализа. Допускается, что электрические явления отсутствуют и независимые параметры для электрического заряда как таковые не нужны. Независимые

9р — ускорение свободного падения.

10— коэффициент линейного расширения материала

конструкции.

11t — температура конструкции.

12— любая приложенная к конструкции сила.

14L — типичный размер конструкции.

15— коэффициент Пуассона для материала конструк­

ции.

16— начальная деформация в любой точке (х, у, z) конструкции.

17— начальное напряжение в любой точке (х, у, z)

конструкции.

Примечание. Каждая пз переменных и, а, Е, г, и, и0 и о0 мо­ жет быть векторной и в этом случае она должна выражаться в каждом из трех направлений ,ѵ, у и г.

В дополнение к этим переменным необходимо некоторое ко­ личество систем коэффициентов, для того чтобы определить:

а) размер конструкции относительно к заданной длине L кон­ струкции (/'1, Го, ...)]

21

b) величину приложенных сил относительно к заданной силе

\' Г2’ ■■• )’

c)величину приложенных давлений относительно к заданно­ му давлению р (г", г", . ..);

d)направление приложенных сил (г", г”, ...);

e)направление приложенных давлений (г"’, г"', . . .).

Эти коэффициенты безразмерны и должны автоматически включаться в полную систему безразмерных произведений пере­ менных. Действительное количество коэффициентов известно для каждой частной задачи (но для ясности они будут опущены в пе­ речне переменных на этой стадии).

Кроме этих известных коэффициентов, имеется 17 перемен­ ных, размерности которых приведены в нижеследующей таблице.

Если допустить, что эти переменные являются единственными, влияющими на конструктивный режим, то функция f (er, е, Е, и, х, У, z, р, а, g, Р, р, L, t, и, «о, ао) =0, где f есть некоторая неизвест­ ная функция, т. е. имеется неизвестное функциональное соотно­ шение между семнадцатью переменными, которые влияют на ре­ шение задачи. Применение пн-теоремы Букингема сведет это количество переменных к ряду высшего порядка ненулевой мат­ рицы, которая может быть образована из вышеприведенной та­ блицы. Можно составить матрицу четвертого порядка, и тогда количество безразмерных произведений в полной системе будет

(17-4) = 13.

Любые тринадцать независимых безразмерных произведений могут быть взяты для образования полной системы, и если они составлены, то любые другие безразмерные произведения будут просто произведениями степеней безразмерных независимых сис­ тем. Они могут быть определены весьма просто, учитывая, что каждое из значений переменных должно появиться по крайней мере в одном из безразмерных произведений. Примерная систе­ ма произведений приведена ниже:

Тогда пи-теорема Букингема дает соотношение:

ср(е, о, x/L, y/L, z/L, at, u/L, щ/L, а0/Е, о/Е, ELP/P, pL2/P, pgL/E) = 0,

где ср есть некоторая неизвестная функция.

22

Для большей точности в дополнение к безразмерным произве­ дениям, представленным в системе, имеются безразмерные про­ изведения, заданные различными коэффициентами, описанными ранее, и окончательно уравнение примет вид:

F(s, и, x/L, ij/L, z/L, at, u/L, u0/L, o0/E, a/E, ELrJP,pL1!P, PgL/E, Г~і, /*2, Гj> П ’ Д ’ •••> П * П »•••)

2.7. Требования подобия

Поскольку каждое выражение в функции — это безразмерное произведение, то его численные значения не меняются с измене­ нием единиц измерения. Следовательно, если мы рассматриваем две конструкции — модель и прототип, то очевидно, что модель должна быть построена и нагружена таким образом, чтобы чис­ ленные значения для каждого из безразмерных произведений в системе были равными для обеих конструкций, откуда вытекают законы подобия, которые можно записать следующим образом:

1) относительные деформации в модели и в прототипе долж­ ны быть равными

коэффициент масштаба длины sL должен быть одинаковым во всех направлениях

онного (поступательного) масштаба равен коэффициенту масшта­ ба длины

Материалы модели и прототипа могут быть различными. Посколь­ ку Е есть тангенс угла наклона к кривой напряжение-деформация,

23

9) EpiyPp = ЕтЕЦРт, т. е. Рр/Рт = Ер/Ет (Lp/Lm)2 = s/i;

коэффициенты силы в модели и прототипе зависят как от коэф­ фициента масштаба длины, так и от коэффициента масштаба на­ пряжения:

Это условие такое же, как и (9), только вместо Ер и Ет под­ ставлено Рр и рт, т. е. соотношение приложенных давлений между прототипом и моделью задается коэффициентом масштаба напряжения. Это подтверждается тем, что размерность модуля Юнга идентична размерности давления.

Соотношение плотности материалов прототипа и модели зада­ ется величинами коэффициентов масштаба длины и напряжения.

В дополнение к вышеописанным условиям подобия существу­ ют требования относительно равенства зависимостей, определя­ ющих величину и направление действия приложенной нагрузки. Вышеприведенные условия обеспечивают подобие нагрузки про­ тотипа и модели.

Эти условия подобия подробно рассматриваются в главах 4 и 5 применительно к прямым и косвенным моделям.

2.8. Первый способ

Во введении (2.1) к этой главе было сказано, что законы по­ добия могут быть получены как из размерного анализа, так и из законов строительной механики. Ниже приводится вывод не­ скольких законов подобия, осуществляемый первым из назван­ ных способов.

Коэффициент масштаба длины

Предположим, что построена модель, геометрически подобная конструкции прототипа. Это условие необходимо для обеспечения полного подобия режима, и оно гарантирует идентичность форм модели и прототипа. Точки, занимающие одинаковое положение на модели и прототипе, называются гомологическими, а любое количество таких точек образует гомологические части.

24

Масштаб длины sL определит разницу в размерах гомологи­ ческих частей, т. е. Lp = sLLm. Соотношения же площадей и объ­ емов соответствующих сечений модели и прототипа определяют­ ся степенями коэффициента масштаба длины:

^ р

Vv р = aL r т -

Эти условия являются условиями (3), полученными из раз­ мерного анализа. Поскольку деформации есть просто смещения, то они также должны определяться коэффициентом масштаба длины

Up = SLUm

Коэффициент масштаба относительной деформации

Если коэффициент масштаба деформации есть s=, то деформа­ ции в прототипе и модели соотносятся как s = s csm.

Поскольку на бесконечно малом участке прототипа и модели деформация и может быть получена, то мы можем записать

и подобно гт=

T. e. коэффициент масштаба относительных деформаций должен быть равен единице. Использование метода размерных анализов основано на принципе, что относительные деформации безразмер­ ны и, следовательно, должны иметь одинаковые численные зна­ чения как для прототипа, так и для модели.

Подобное же обоснование может быть применено к любым без­ размерным количественным величинам, таким, как вращения и коэффициент Пуассона.

Коэффициент масштаба напряжения

Если коэффициент масштаба напряжения есть Sj, то соотно­ шение между напряжениями в прототипе и модели выражается

ар = W

При рассмотрении величины коэффициента масштаба относи­ тельной деформации метод заключался в рассмотрении некоторой количественной величины в модели и прототипе, которая могла быть получена с помощью этого коэффициента, а также (совер­ шенно независимо) коэффициента масштаба длины. Подобный ме­

25

“m = P,n “Г Am=

=Sf SL-

(V)Плотность. Плотность = Вес/Объем:

_. b_ Prn

Любая количественная характеристика модели может быть отнесена к соответствующей количественной характеристике про­

26

Г л а в а 3

Конструктивные формы и конструктивные решения

3.1. Введение

Проектные решения строительных конструкций зависят от большого числа факторов, включая условия влияния выбора строительного участка и оснований, качества материалов конст­ рукций, эстетических сооружений, величин и видов нагрузок, а также методов проектирования. Некоторые факторы могут быть непосредственно измерены, часть может прогнозироваться на статической основе, а отдельные должны подвергнуться интуи­ тивному или субъективному осмысливанию.

Дискуссия об общих проблемах проектирования конструкции и важности предварительного конструктивного решения не вхо­ дит в задачу этой книги. Однако уместно напомнить, хотя и очень коротко, об одном из аспектов общего проектирования, а именно: о влиянии вида пли формы конструкции на процесс проектиро­ вания.

Форма имеет особое значение для конструктивного бетона, который пригоден для применения в бесконечной градации гео­ метрических конфигураций. Простота или трудность, с которыми может прогнозироваться аналитическим или экспериментальным путем работа конструкций, во многом зависит от формы. Поэто­ му удобно классифицировать конструктивные задачи с точки зрения сложности конструктивных форм. В следующих разделах будут рассмотрены три основные формы конструкций:

одномерные, пли каркасные, конструкции; двумерные, или плоскостные, конструкции; трехмерные, пли пространственные, конструкции.

Классификация конструктивных задач будет зависеть от рас­ сматриваемого режима. Например, общий режим (рассматривая результирующие моменты и силы) преднапряженной железобе­ тонной рамы будет одномерной задачей, тогда как местный ре­ жим (рассматривая распределение напряжений, скажем, в конеч­ ном узле) будет трехмерной задачей. Другой пример смешанной задачи получится при рассмотрении тонкостенного элемента, который в целом работает как компонент каркасной конструк­ ции, однако локально действует как плоскостная конструкция. Подобные же доводы можно применить в отношении определен­

28

ных пространственных конструкций, построенных пз треугольных жестких элементов, за исключением случая, в котором режим ра­ боты одного элемента будет одномерной задачей, тогда как об­ щий режим является задачей эквивалентной плоскостной или пространственной конструкции. Большинство конструктивных исследований ограничено обычно из соображений целесообраз­ ности рассмотрением лишь одного или двух аспектов конструк­ тивного режима: так, например, при выполнении простого испы­ тания на растяжение не обязательно исследовать режим молеку­ лярных сил материала для того, чтобы выяснить его общую прочность.

3.2. Каркасные конструкции

Образцами каркасных конструкций являются балки, фермы, рамы, решетчатые каркасы, ребра арочных сводов и ванты. В этих конструкциях один размер компонента может быть зна-

Рис. 3.1. Примеры каркасных конструкций.

чителы-ю большим по сравнению с остальными размерами. Ком­ поненты могут быть как прямолинейными, так и криволинейны­ ми (рис. 3.1).

29