книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций

Используя правило Мюллера-Бреслау и закон Бетти, требу­ ется вычислить изгибающий момент, в левой опоре настоящей

стрелки; (б) закон Бетти (рис. 4.6).

Прилагаем группу 1 нагрузок.

Работа, проделанная группой 1 нагрузок, двигающихся по на­ правлению смещений, вызванных группой 2,

Я Х О + Р х О + М Х а — Р Х Ь Ѵ— РХбя -

Прилагаем группу 2 нагрузок.

Работа, проделанная группой 2 нагрузок, двигающихся по на­ правлению смещений, вызванных группой 1,

Н' X о + V X о -I- М’ X о -f О X б'.

Приравнивая выражения для проделанной работы, имеем

М Х 1°850 Х~Я —Р Х 0,04—Р X 0,08 = 0,

откуда М = 13,76 Р кГ ■см против часовой стрелки.

Сущность разрезов и смещений

Хотя основная цель рассмотрения правила Мюллера-Бреслау в этой главе связана с его использованием в методике косвен­ ного моделирования, оно также является полезным, когда тре­ буется получить линии влияния не экспериментальным, а рас­ четным путем. В частности, используя правило Мюллера-Бреслау, можно быстро получить средство проверки правильности форм линии влияния, например из-за «разреза» должна быть пре­ рывность в форме линий влияния поперечной силы или момента в точке смещения (некоторые учебники изображают линии влия­ ния с закругленными профилями в этих местах — это ошибочно).

50

При использовании теоретического или модельного анализа необходимо учесть следующие замечания.

Тип разреза зависит от .определенной количественной харак­ теристики, которую требуется найти: для осевых сил разрез должен допускать относительное движение вдоль продольной оси элемента конструкции, для поперечных сил разрез должен допустить относительные движения перпендикулярно к продоль­ ной оси элемента конструкции, для изгибающих моментов — от­ носительные вращения вокруг точки (шарнира), т. е. разрез устраняет одну связь в соответствии с величиной, для которой требуется найти линии влияния.

Вызванное смещение в перерезываемом сечении должно быть таким, чтобы оно воздействовало только на работу, производи­ мую рассматриваемой количественной величиной. Так, например, если требуется определение линии влияния изгибающего мо­ мента в сечении, то устраняется связь, препятствующая изгибу, посредством вставки шарнира, и получившаяся основная конст­ рукция смещается приложением равных и противоположных пар к концам элемента, соединенным в шарнире, т. е. не должно быть относительных осевых или поперечных смещений, которые бы влияли на суммарную работу, производимую осевыми или перерезывающими усилиями, действующими в сечении. Условие отсутствия относительных смещений является условием перво­ степенной важности; в действительности могут возникнуть пере­ мещения при условии, что работа, проделанная равными и противоположными осевыми (или поперечными) силами, алге­ браически равняется нулю. Приведенное положение детально проработано на примере 4.2.

Пример 4.2. Используем правило Мюллера-Бреслау для опре­ деления линии влияния изгибающего момента в четверти проле­ та призматической балки с защемленными концами (рис. 4.7).

Схема а изображает исходную конструкцию.

Схема b изображает основную конструкцию с врезанным шарниром в сечении С на lU пролета.

Схема с изображает правильный метод деформирования ос­ новной конструкции для получения линии влияния Мс (принимая, что изгибающие моменты положительны).

Из схемы d по условию равновесия сила SL должна быть чи­

сленно равной S'R. Таким образом, хотя обе поперечные силы дви­ жутся при действительном смещении s, суммарная произведен­ ная работа равна нулю, поскольку

Sl X (4 - s) + S * X ( - s) = 0.

Допуская S'L = S'a = S' и приравнивая прогибы двух консолей, встречающихся в точке С,

51

откуда

сПравильный метод деформирования основной конструкции с общим вращательным смещением а в С.

п Исходная конструкция, для которой

иприменима линия влияния е.

Рис. 4.7 иллюстрирует пример 4.2, говорящий о важности относительных сме­ щений при использовании правила Мюллера-Бреслау для получения линий влияния. Схема с показывает правильный метод деформирования основной кон­ струкции при получении линий влияния для М с исходной конструкции, изобра­ женной на схеме а. Схема е показывает неправильный метод деформирования основной конструкции. Эта линия влияния характеризует исходную конструк­

цию, изображаемую на схеме g.

По правилу Мюллера-Бреслау

Мс = ± Р .

52

Если прогиб б основной конструкции должен характеризовать вместе с формой линии влияния ее размер, тогда Р = 1и а = 1. Сле­ довательно,

личину изгибающего момента в точке С действительной конструк­ ции под воздействием единичной нагрузки. После определения величин N1' и S' прогиб основной конструкции (и, следовательно, линии влияния) в любых ее сечениях легко определим.

Если требуется найти линию влияния для /Ис, вызванного единичной парой сил, пересекающей пролет, необходимо найти из­ менение величины поворота в деформированной основной кон­ струкции (поскольку вращение является составляющей смещения, влияющего на работу, выполненную единичной парой). Например, если пара М, действующая по часовой стрелке, приложена в точ­ ке С, тогда

Схема е изображает деформированную форму основной кон­ струкции с предотвращенным поперечным прогибом шарнира. Лег­ ко заметить, что

Поскольку SL и Sf( не равны и противоположны, они не обес­ печивают самоуравновешивающейся системы поперечных условий; в действительности, требуется внешняя, направленная вниз сила

Щ— для предотвращения прогиба в точке С. Следовательно, это

как бы другая основная конструкция, п ее деформированная фор­ ма является линией влияния действительной конструкции, изо­ браженной на схеме g, которая имеет дополнительную опору в С.

Способ наведения различных смещений и методы измерения деформаций описаны в разделе 4.7. На рис. 4.8 проиллюстриро­ ваны три возможных типа смещения, используемых для плоскост­ ных конструкций, которые применяются для определения линий влияния внутренних реактивных сил. Для внешних реактивных сил типы смещения зависят от вида опоры. Рис. 4.9 показывает три возможных смещения при защемленной опоре. В этом слу­ чае опора не может деформироваться и все деформации должны

53

Элемент с защемленной опорой, иллюс­ трирующий внешние реактивные силы.

54

иметь место в основной конструкции. Если опоры обеспечивают упругую связь, они могут влиять на суммарную работу конструк­ ции при смещении. Например, величина А для данной сдвигаю­ щей силы при определении линии влияния реакции опоры кон­ сольной стойки будет различной для конструкции, показанных на схемах а и b (рис. 4.10). Схема с изображает деформацию основ-

Рис. 4.10. Разные смещения для жестких и упругих опор.

ной конструкции при определении линии влияния изгибающего момента в сечении А, возле жесткого соединения балки с колон­ ной. Легко заметить, что деформации были бы различными, если бы смещения производились в точке В или С. В некоторых слу­ чаях необходимо допускать упругие нагрузки, например при определении линий влияния для балок на упругих основаниях, где реактивная нагрузка зависит от деформированной формы и должна учитываться при рассмотрении суммарной работы при смещении основной конструкции. Одно из главных преимуществ

55

анализа косвенных моделей заключается в том, что эти явления могут быть приняты в расчет автоматически при условии, что требования подобия удовлетворяются.

4.4.Линии влияния деформаций

Вразделе 4.3 описывалось применение правила МюллераБреслау при определении линий влияния реактивных сил в кар­ касных конструкциях. Деформации измерялись на основной кон­ струкции. В методе определения линий влияния деформаций, который описывается в данном разделе, деформации замеряются на исходной конструкции (модели).

Рассмотрим простую конструкцию, показанную на рис. 4.11, а, и предположим, что требуется найти линию влияния вертикаль­ ного прогиба и линию влияния вращения точки 1 под воздейст­ вием единичной нагрузки, поперечной пролету. Приложим еди­ ничную нагрузку Р в произвольной позиции 2 на пролете: дефор-

Деформация исходной конструк­ ции от единичной нагрузки, при­ ложенной в произвольной точке 2.

Линия влияния вертикального про­ гиба в точке 1.

вой стрелке в точке 1.

Рис. 4.11. Линии влияния деформаций.

мированная форма исходной конструкции показана на схеме Ь. Устраним нагрузку Р и приложим единичную вертикальную нагрузку V в точке 1 в принятом положительном направлении прогиба в точке 1, как показано на схеме с. Из теоремы взаим­ ности перемещений

а 12 = f l 21>

56

и, следовательно, деформированная форма исходной конструк­ ции, показанной на схеме с, есть линия влияния вертикального прогиба в точке 1\ и она будет характеризовать величину проги­ ба непосредственно, если Ѵ—\. Если V не равна единице, то ор­ дината деформированной формы в произвольной позиции 2 будет

б= а12Р

идля определения масштаба линии влияния потребуется найти величину V. Следовательно, если б и V измеряются на модели,

то в этом случае требуемое значение прогиба в точке 1, вызван­ ное единичной нагрузкой в точке 2, будет равно

Схема d изображает линию влияния вращения в точке 1, когда единичная нагрузка движется вдоль пролета. В этом случае

(4.13)

М

Таким образом, в отличие от способа, используемого с примене­ нием правила Мюллера-Бреслау, необходимо измерить величину смещающего усилия так же, как и получаемую при этом дефор­ мацию.

Принимаемое обозначение

Если модель деформируется в принятом положительном на­ правлении требуемой деформации, ордината линии влияния бу­ дет положительной, если она имеет такое же значение, как у приложенной нагрузки. Следует заметить, что это противополож­ но принимаемому обозначению, используемому в линиях влияния сил.

4.5. Взаимосвязь количественных характеристик модели и прототипа

Требования подобия

Для любой линейной каркасной конструкции прогиб б в лю­ бой точке от воздействия системы нагрузок, обозначаемой Р, бу­ дет зависеть от осевой жесткости, жесткости на изгиб, на срез, на кручение элементов конструкции и от ее формы. Различные количественные характеристики могут быть представлены следу­ ющим образом:

57

Этот результат был уже выведен в разделе 2.7 методами раз­ мерного анализа. Главная задача вышеприведенного вывода со­ стоит в том, чтобы показать упрощения, которые возможны в тре­ бованиях подобия при предположении, что отсутствуют опреде­ ленные силовые воздействия или они имеют незначительное вли­ яние на величины прогибов. Выражение (4.17) обеспечивает все необходимые данные.

58

Предположим, что осевые деформации преобладают, тогда из формулы (4.17)

SESA

и нет необходимости, чтобы

из формулы (4.16)

где sp есть коэффициент масштаба для нагрузок. Теперь позво­ лительно использовать два коэффициента масштаба длины: один для общих размеров, другой для размеров поперечных сечений элементов. Более того, нет необходимости, чтобы формы сечений модели и прототипа были подобными, требование заключается в том, чтобы было соблюдено постоянным во всех точках отно­ шение

ЕрАр

Таким образом, при сечениях прототипа непрямоугольной формы, с переменной шириной, модель может быть вырезана из листа постоянной толщины и высота сечения подобрана так, чтобы обес­ печить большие значения требуемого Ат.

Если доминируют деформации изгиба, то

SESI

И в этом случае нет необходимости, чтобы соблюдалось равенство

ит = и , а требуется, чтобы отношение f было постоянным во

всех точках. Если модель вырезана из листа постоянной толщи­ ны, то высота сечения подбирается так, чтобы обеспечить боль­ шее значение требуемого /,„.

Если осевые деформации и деформации при изгибе одного по рядка, тогда

59