книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций

Противоречивость условий (9.13) и (9.14) объясняется тем, что при изучении динамических явлений непозволительно исполь­ зование вспомогательного гравитационного поля, так как это вытекает из принципиального различия между силами гравита­ ции и силами инерции. Силы гравитации могут имитироваться в модели без правильного распределения массы внутри тела мо­ дели, т. е. при эффективном увеличении нагрузки модели внеш­ ними средствами (грузами или пружинами) или используя вспо­ могательное гравитационное поле.

вия 9.13.

Поскольку требование для имитации плотности является тре­ бованием, которое в настоящее время не может быть выполнено ни одним из существующих модельных материалов, то имитация сил инерции трудна и может осуществляться только в форме

Рис. 9.7. Нагрузка дина-

мическим давлением.

Время

наибольшего приближения путем подвешивания грузов из много­ численных точек внутри конструкции (см. раздел 9.2).

Динамические воздействия на массивные конструкции бывают двух категорий:

1.Одиночные ударные нагрузки, которые могут повторяться

визмеримых интервалах времени, или которые могут выдержи­ ваться в максимальном значении в продолжение измеримого времени.

2.Продолжительные ударные нагрузки со случайным перио­ дом и амплитудой при сейсмических явлениях.

160

Внастоящее время имеется мало сведений о динамических испытаниях моделей строительных конструкций нагрузками вто­ рой категории, хотя в лаборатории8 ISMES и проводились испы­ тания с электромагнитными вибраторами, имитирующими быст­ рые сейсмические удары.

ВМасачузетском Технологическом институте6' 7 была разра­

ботана техника создания динамических явлений 1 категории. Для приложения точечных нагрузок была найдена система, спо­ собная прилагать нагрузки до 8500 фунтов за время 0,001 сек.

Характерный график нагрузка-время показан на рис. 9.6. Для плит был разработан способ приложения равномерно

распределенных нагрузок до 250 фунт/дюйм2, которые можно по­ лучить за 0,003 секунды и при необходимости выдерживать в те­ чение многих секунд. Типичный график нагрузка-время показан на рис. 9.7.

Аппараты и контрольные системы, необходимые для выпол­ нения испытаний моделей динамическими нагрузками, доступны только специализированным лабораториям.

G Зак. 329

Г л а в а 10

Математические эксперименты: аналогии и аналоговые счетные машины

10.1. Введение

Две различные физические системы считаются аналогичными, если их характеристики выражаются в идентичных математиче­ ских формах. Ряд задач, с которыми встречаются в строительном проектировании, может решаться проще и быстрее путем постро­ ения механических или электрических аналогий с последующим проведением на них определенных операций. Связующим звеном между системами является их принципиальное математическое подобие как в форме основных уравнений, так и в форме задан­ ных граничных условий. Если модель сооружения используется для установления режима работы конструкции прототипа путем измерения количественных подобных величин в модели и прото­ типе, то в этом случае аналогия используется для осуществления математических экспериментов с различными количественными величинами и соответствует действию аналоговой вычислитель­ ной машины.

Предпосылки для решения конструктивных задач путем рас­ смотрения их аналогий в других физических системах могут быть суммированы следующим образом:

1. Количественные величины одной аналоговой системы мо­ гут измеряться и записываться проще, удобнее, экономичнее, бы­ стрей, точней или надежнее, чем другой аналоговой системы. Например, измерение напряжений, токов и полного сопротивле­ ния в ответвлении электрической цепи будет проще и надежней, чем измерение смещений, сил и гибкостей элементов в конструк­

ции.

2. Вид приборного оборудования, размеры и аппаратура ла­ бораторий, профессионализм и обученность персонала могут быть особенно подходящими для измерений в какой-нибудь од­ ной физической системе.

3.Имитация граничных условий и обработка данных испыта­ ний легче достижимы в аналогии.

4.Модификации, добавления и повторения легче проводятся

внекоторых аналогиях.

5.В некоторых случаях аналогии дают более яркую картину

влияния изменения определенных параметров или контрастнее

162

выявляют ошибки, возникающие от неверных допущений в фор­ мулировках основных задач.

Иногда конструктивные аналогии могут использоваться для решения задач, возникающих в других физических системах. При случае одна конструктивная система может использоваться в ка­ честве аналогии для другой конструктивной системы.

Важно иметь в виду, что аналоговые вычислительные маши­ ны могут только выполнять операции на языке определенных математических выражений для частных задач; определение ко­ личественных величин для одной физической системы из замеров, взятых в другой физической системе, будет в такой же мере точным, как степень точности, с которой характеристики каждой системы представлены основными математическими выражения­ ми. В этом смысле аналоговая математическая модель не явля­ ется такой стройной счетной машиной, как прямая физическая модель, которая способна давать результаты без необходимости для оператора точного знания, как эти результаты получаются. Аналоговые вычислительные машины используются обычно толь­ ко для решения задач линейного упругого режима.

Невозможно полностью осветить многочисленные аналогии, применяемые в качестве вспомогательного средства при решении задач строительной механики1. Нижеследующие' разделы посвя­ щены краткому изложению некоторых специфических аналогий, которые особенно полезны для конструктивного бетона.

10.2. Аналогия плиты

Об аналогии, существующей между прогибами и искривлени­ ями тонких плит при изгибе и функцией напряжения и напряже­ ниями в задачах двумерной упругости, упоминалось еще в 1905 г. Тимпом2. Примеры использования аналогии плиты в качестве экспериментального инструмента при определении термоупрупіх напряжений в конструкциях не так давно были описаны Зинке­

вичем3 и Россом4.

В нижеследующем изложении предполагается, что все мате­ риалы однородны, изотропны и подчиняются закону Гука.

Би-гармоническое уравнение

Это уравнение фигурирует во многих инженерных задачах и имеет вид

Для математического решения задач изгиба плит5, плоского напряжения и плоской деформации '(включая температурные яв­ ления)6 и медленного движения вязкой жидкости в двух изме­ рениях7 требуется данное уравнение проинтегрировать и из за­ данных граничных условий определить постоянные интегриро­ вания.

164

Требуемые значения Яі и Х2 могут быть подобраны так, чтобы они удовлетворяли выражениям (10.2, а) и (10.2, с), но посколь­ ку В всегда является величиной положительной, то для удовлет­ ворения соотношения (10.2, Ь) потребовалось бы, чтобы о — ко­ эффициент Пуассона для плиты, был отрицательным, чего быть не может.

Таким образом, полной аналогии в общем случае не будет получено, разве только при незначительном влиянии коэффици­ ента Пуассона. Если Е и щ— постоянные, то В п и в основном уравнении отсутствуют и можно воспользоваться бп-гармониче- ским выражением, приведенным в нижней части таблицы 10.1.

Пример 10.1. Задача заключается в определении термических напряжений, возникающих от разности температур между вну­ тренней поверхностью и наружными гранями в толстостенном трубопроводе, имеющем квадратное сечение с круглым каналом. Упругая задача и аналоговая плита показаны соответственно на схемах а и b рисунка 10.1.

Рассмотрим грань 1—2. Граничные условия для упругой за­

т. е. защемленная по периметру плита.

Рассмотрим внутреннюю поверхность. Граничные условия в упругой задаче представлены в аналоговой плите, жестко заще­

Вдобавок, сечение плиты между внутренней поверхностью и наружными гранями должно быть подвергнуто равномерно расп­ ределенной нагрузке интенсивностью

Кривизны аналоговой плиты будут представлять в виде коэф­ фициентов масштаба Яі и Я2 термические напряжения в упругой задаче. Напряжение Ьу вдоль линии 3—4 на схеме с обозначено

166

малыми треугольниками; вся линия представляет распределе­ ние напряжения, получаемое альтернативным решением. Рис. 10.2

b Аналоговая плита

а Упругая задача

0 ,5 \

Растяжение

£

6УТйі

Сжатие

ору

с Термические напряжения при устоичиВом состоянии S трубопроводе кВадратнаго сечения

Рис 10.1. П р и м е р 10.1. Решение задачи определения термических напряжений в аналоговой плите.

показывает снимок контуров Мойра для аналогии квадратного трубопровода, на которой были определены кривизны в направ­ лении у вдоль линии 3—4.

167

10.3. Аналогия мембраны

Наиболее важным применением этой аналогии является ре­ шение задач скручивания: определение напряжений при скручи­ вании и жесткости на скручивание в конструктивных элементах.

Теория скручивания Сент Венана

Этой теорией исследуется линейный упругий режим сечений неправильной формы в призматических элементах, подвержеп-

где С — постоянная.

168

где G — модуль упругости при сдвиге, а 0 есть угол поворота сече­ ния при скручивании на единицу осевой длины.

Крутящий момент Mt, действующий на сечение, определяется интегрированием моментов составляющих сил

'л.ѵ dxdy ■у и — i yz dxdy ■X

по площади поперечного сечения, откуда

Свойства аналоговой мембраны

В 1903 году Прэндтелл рассмотрел подобие дифференциаль­ ного уравнения (10.12) для режима при скручивании призмати­ ческого стержня и дифференциального уравнения для формы тонкой растянутой мембраны, деформированной боковым давле­

нием.

На рис. 10.4 показаны форма и два сечения тонкой мембраны, деформированной давлением р. Предполагается, что мембрана

1Z

Рис. 10.4. Аналоговая мембрана к задаче кручения Сент Венана.

169

неспособна противодействовать перерезывающим силам, дейст­ вующим нормально к ее поверхности, весом мембраны можно пренебречь, и она воспринимает постоянную двумерную растя­ гивающую силу N на единицу площади по всей поверхности. Да­ лее предполагается, что сила N настолько велика, что она не ме­ няется с приложением давления р. Грани мембраны лежат в плоскости X, у, а боковой прогиб поверхности представлен вели­ чиной Z. Следовательно, давление р выдерживается благодаря кривизне поверхности, и, рассматривая малый элемент dxdy, легко доказать, что

Это подобие в z и Ф существует также и в граничных условиях

грани сечения элемента при скручивании.

Так как функция напряжения Ф = ).г, где /. есть коэффициент пересчета, можно непосредственно выразить взаимосвязь между

170