книги из ГПНТБ / Прис Б.В. Моделирование железобетонных конструкций
.pdf6.3. Упругопластический режим пластмасс
Большинство пластмасс, которые пригодны для изготовления моделей, являются однородными и изотропными, но их отноше ние напряжение-деформация значительно зависит от длительно сти нагрузки, температуры и скорости деформирования.
Пластмассы могут рассматриваться как материалы, обла дающие линейными упругопластическими свойствами. Что это означает в физическом смысле, показано на графиках рисунка
Рас. 6.1. Характеристики линейного упругопластического режима пластмасс.
6.1. Если образец пластмассы подвержен напряжению ст, кото рое выдерживается на - протяжении времени Г, после чего напряжение снимается (нижняя кривая графика а), то соответ ствующее изменение деформации обладает свойством, характе ризуемым нижней кривой графика Ь. С приложением нагрузки в пластмассе развивается мгновенная упругая деформация ео.
При постоянном напряжении деформация продолжает увели
чиваться со временем. Скорость увеличения деформации ^ ■ за висит от интенсивности напряжения. В модельных исследова
.100
ниях максимальная интенсивность напряжения контролируется степенью замедления деформирования.
Если интенсивность напряжения выше предела пластичности (некоторые пластики проявляют уменьшение прочности со време
нем при длительно действующих нагрузках), |
то величина |
^ ■ |
|
будет положительной, и деформация будет увеличиваться с |
воз |
||
растающей скоростью до разрушения образца. |
Если |
пластмассо |
|
вая модель должна имитировать упругий режим, то |
нельзя |
при |
|
ближать напряжение к пределу пластичности материала.
При постоянном напряжении а обшая деформация е в образце может рассматриваться, как состоящая из двух частей: мгновен ной упругой деформации е0 и пластичной деформации гс. Обе части зависят от интенсивности напряжения, но ес также яв ляется и функцией времени приложения нагрузки. Природа ес рассматривается в разделе об упругопластических моделях.
Когда напряжение а снимается, происходит моментальное уменьшение деформации, достигающее приблизительно е0, после чего происходит более медленное уменьшение деформации со вре
менем. |
|
напряжения |
2а соответствующие дефор |
|||
При интенсивности |
||||||
мации будут удвоены, |
а мгновенная упругая деформация соста |
|||||
вит 2е0 и деформация пластичностей |
в заданное |
время — 2гс. |
||||
Если бы напряжение составило Зз, |
то |
соответствующие дефор |
||||
мации были бы утроены. Следовательно, |
отношение |
напряжение- |
||||
деформация |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
2а |
За |
|
|
|
|
Т |
’ ~2Ё ’ |
"3Г |
|
|
постоянно |
при одинаковом |
времени. |
Очевидно, при |
условии, что |
||
измерения |
|
|
|
|
|
напряжение |
производятся в одинаковое время, отношение деф^рыа,шя |
||||||
постоянно. Следовательно, |
модуль |
упругости Ет= — — относи- |
||||
|
|
|
|
|
|
£т |
тельно времени Т является мгновенно постоянным.
6.4. Измерение модуля Ет
Величина модуля Ет в зависимости от длительности действия нагрузки может быть получена путем испытаний образца пласт массы на изгиб.
На схеме а рис. 6.2 показано испытание балки с консолями. Когда равные нагрузки W прилагаются к концам балки, то на опоре возникает отрицательный изгибающий момент WL. Если сечение балки прямоугольно, шириной Ь и высотой d, то момент
сопротивления сечения балки будет —g-, и при линейном распре делении деформаций напряжения на верхней и нижней поверх-
101
ностях балки равны а = ■. Установленные на балке в этих
местах тензодатчики покажут равные деформации (растяжение вверху и сжатие внизу). Если используются тензометры электри ческого сопротивления, то они могут быть объединены в полный мостик с двумя активными датчиками, что позволяет автомати чески компенсировать температурные явления.
Рис. 6.2. Определение Етиз испытаний балки па чистый изгиб.
Под воздействием постоянной нагрузки W деформации могут измеряться с приращением времени Т = 1, 2,. 3 и т. д. от при ложения нагрузки. Нагрузка снимается, а балка выдерживается в течение необходимого времени для того, чтобы не осталось никаких деформаций (оно будет того же порядка, что и нагру зочное время). Затем процедура повторяется с использованием
102
равных нагрузок 2W. Так поступают и при дальнейшем прира
щении нагрузки. |
|
|
|
кривыми, |
как показано |
||
Результаты испытаний вычерчиваются |
|||||||
на схеме b рисунка 6.2 . Для |
напряжения |
а |
регистрируются |
де |
|||
формации в период |
времени |
Т = 1, 2, 3. |
Это повторяется |
для |
|||
напряжений 2а, За |
и т. д. |
Для любого |
времени |
Т результаты |
|||
будут находиться |
на прямой |
линии (при |
условии, |
что материал |
|||
не перенапряжен). |
Наклон этой линии дает |
мгновенный модуль |
|||||
деформации для материала при заданном времени. После чего можно вычертить кривую изменения модуля деформации Ет во времени, как показано на схеме с.
6.5. Измерение коэффициента Пуассона и т
Установка, показанная на схеме а рисунка 6 .2, также удобна для прямого измерения коэффициента Пуассона пластмассы. Тензодатчики прикрепляются под прямыми углами по отношению к продольным датчикам и используются для записи поперечных деформаций. Величина коэффициента ит затем определяется от ношением поперечной деформации к продольной деформации. Обычно коэффициент Пуассона не в такой степени чувствителен к изменениям времени, как модуль деформации.
Косвенный метод иг заключается в измерении модуля сдвига Gt при испытании конструкции на кручение и определении коэф фициента Пуассона из отношения
_ |
^ т 1 |
ÜT ~ |
2 G T |
Такое испытание более сложно по сравнению с испытанием на изгиб, но может быть использовано для проверки результатов, когда требуется определение особенно точных величин упругих постоянных. Метод проведения испытаний на кручение описан Литтлом3.
6.6. Измерение жесткости D t при изгибе
При упругом режиме работы конструкций плит и оболочек отношение момент-кривизна содержат величину D, называемую жесткостью элемента при изгибе и определяемую по формуле
п = ___ F d 3
12(1 — и)°- ’
где d есть толщина плиты или оболочки.
Величина D для листа пластмассы может определяться од ним из нижеследующих методов. В каждом случае образец пласт массы, используемый при испытании, должен выбираться из той же партии, что и пластмасса, используемая для модели.
ЮЗ
I. К |
в а д р а т н а я плит а , |
н а г р у ж е н н а я в уг лу |
(рис. |
6.3, а) |
|
Плита опирается в трех |
точках и нагружается в четвертой |
|
для того, чтобы образовать «скрученную плиту» или эффект «сед ла». При направлении осей координат по диагоналям плиты из гибающие моменты на единицу ее ширины относительно этих направлений будут
Мх = - М у = - ^
и крутящий момент
Мху = 0.
Эти величины постоянны для всех частей поверхности плиты, за исключением непосредственно прилегающих к точечным нагруз кам Р. Отношение момент-кривизна для плиты есть
М,. = — D |
д2 <о д~<о |
Ж |
где и- •поперечный прогиб плиты в х, у. В этом случае
д2м д2ш 1
чт*
где R есть главный радиус кривизны. Поэтому
|
Р_ |
Р (1 —ц) |
и |
D = |
P R |
|||
|
2 |
|
R |
|
2(1-«) • |
|||
R может определяться из: |
|
|
в |
направлениях х или у, |
||||
1) |
деформации е на |
поверхности |
||||||
используя взаимоотношение |
D |
d |
|
|
||||
R = |
|
|
d |
|||||
2) |
наклона концов |
|
Ѳ |
используя |
n |
|||
|
|
R |
= -g- или |
|||||
3) относительного прогиба Д, используя R — ^д.
Одним из недостатков этого метода является то, что для опре деления D необходимо знать и.
II. Р а в н о м е р н о |
н а г р у ж е н н а я з а ще мл е н , н а я |
к р у г л а я п л и т а |
(рис. 6.3) |
Круглая плита защемляется по периметру и подвергается равномерно распределенной нагрузке интенсивностью q (она мо жет прилагаться пневматическим или жидкостным давлением). Прогиб Д в центре плиты определяется
откуда
64 Д
104
Недостаток этого метода заключается в трудности обеспече ния соответствующего закрепления в защемленном краю плиты. Однако для расчета не требуется знания величины D.
Оба метода основываются на предположении, что при про гибе плиты находятся в линейном упругом режиме, и в них не возникают значительные мембранные напряжения, т. е. среднее сечение плит под нагрузкой останется недеформированным. Мож-
а
|
(Ъ) |
Л ' |
|
|
|
|
|
Равномерна нагруженная круглая |
|
|
|||
|
защемленная плита |
|
|
|
||
Рис. 6.3. Определение жёсткости D |
при испытании плиты |
|
||||
|
на |
изгиб. |
|
|
|
|
но допустить, |
что этот режим достигается |
при |
условии, |
что А |
||
не больше, чем половина толщины плит. |
пластмассы, величина |
|||||
Поскольку |
плиты изготавливаются |
из |
||||
D будет зависимой от времени. Следовательно, |
необходимо |
зада |
||||
вать величину |
|
|
|
|
|
|
|
Dt = |
----- E T d 3 - |
|
|
|
|
|
|
12(1 — и?) |
|
|
|
|
относительно времени.
105
Dt может определяться путем испытаний плит разной фор мы с различными нагрузочными и граничными условиями при условии, что соответствующие упругие значения известны.
6.7. Модели, используемые для исследования упругопластического режима
Упругопластический режим при моделировании может быть представлен системами пружин и амортизаторов, которые нала живаются так, чтобы обеспечить различные отношения напряже- ние-деформация-время.
Упругий |
Пластический |
прджййный элемент |
амортизирующий элемент |
б = Ле
(а ) |
(Ъ) |
|
Рис. 6.4. Пружинные элементы для упругопластическнх моделей. |
||
Пружинные элементы, которые |
подчиняются |
зависимости |
а = k s, представляют часть упругой деформации от |
деформации |
|
материала, причем k является жесткостью пружины (рис. 6.4, а). Амортизационный элемент, который соответствует формуле
dB
представляет часть деформации временной зависимости от напря жения в материале, причем р. является упругопластическим со противлением амортизатора. Схематическое изображение аморти затора и соответствующие ему взаимозависимости напряжениевремя и деформация-время приведены на рисунке 6.4, в.
Некоторые простые устройства из пружинных амортизацион ных элементов показаны на рис. 6.5.
Последовательное (групповое) соединение, или «ядро Максве ла» (схема а), при положении постоянного напряжения а приво дит к развитию мгновенной упругой деформации
1
Еі = т ° ,
106
сопровождаемой впоследствии постоянным увеличением деформа ции
Общая деформация состоит:
de |
1 da |
+ 4 -, |
si + Ч или ~jf — ~тчт |
||
что является дифференциальным уравнением, определяющим ре
жим напряжение-деформация-время. Написав D = ^г, это мож
но выразить как
Т |
Т |
|
Т |
|
а Последовательное |
b Параллельное |
с Комбинированное |
|
|
соединение |
соединение |
соединение |
|
|
-ядро МаксВелла |
-ядро Кельвина |
-общее упруго-пласти |
||
|
|
ческое ядро |
|
|
Рис. 6.5. Некоторые простые |
устройства из пружин и амортизаторов, |
дающие |
||
различные зависимости деформация-время при постоянном напряжении. |
||||
Параллельное соединение, или «ядро |
Кельвина», представлен |
|||
ное на схеме Ь, наглядно представляет |
режим |
деформация-время |
||
при постоянном напряжении. Пружина |
и амортизатор крепятся |
|||
к жестким связям, которые удерживаются |
параллельно |
друг |
||
другу. Если приложенное напряжение а рассматривается как сила, которая состоит из двух частей, — силы воспринимаемой
107
пружиной, и силы а2, воспринимаемой амортизатором, то будет очевидно, что
О= 31 “Ь а2
И S = Sjl = £„.
Используя соотношение напряжение-деформация,
|
|
1 |
d£o |
1 |
|
|
ч ~ |
k |
d T |
~ (X ° 2’ |
|
или |
|
о = |
(jj. D -j- k) е. |
|
|
Какая бы ни |
была |
комбинация |
пружин |
и амортизаторов, |
|
всегда можно написать |
|
|
|
|
|
{amDm+ ат-\ |
+ |
... |
) а = (b„D" + |
Dn~' + ... ) е, |
|
что справедливо для изменений а, а также и s в отношении вре мени.
Это выражение может быть записано более коротко, как
где Р и Q являются дифференциальными операторами с коэффи циентами ат, Ьп и т. д. Er может рассматриваться как упруго пластический модуль. Если Р и Q являются линейными диффе ренциальными операторами, то упругопластический режим бу дет соответственно тоже линейным.
Величины am, bn, ... не обязательно должны быть постоян ными: они могли бы, например, быть функциями времени, темпе ратуры, или даже возраста. Возраст, учитываемый в этих иссле дованиях, влияет на изменение физических свойств от старения (например, увеличение модуля упругости бетона со старением).
Эти модели являются средством наглядной иллюстрации вза имосвязей напряжения, деформации и времени. Конечно, они не являются крайне необходимыми при решении частных задач пу тем строгих математических методов.
6.8. Применение математических методов
Имеется два возможных подхода.
I. Метод преобразования Лапласа
Предположим, что а = сТ (с есть постоянная, и кривая на пряжение-время будет такой, как показано на рис. 6.6) и требу ется найти £ (Т). Допустим, что коэффициенты ат, Ь„ . .. явля ются постоянными.
108
В начале координат Т — 0; условия таковы, |
что о |
н е |
(и их |
||||
производные по времени) |
равны нулю. Это равносильно |
тому, |
|||||
что при Т — 0 тело находится в состоянии покоя. |
|
|
|
||||
После чего можно использовать преобразование Лапласа: |
|||||||
|
|
«(/) = .] е |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
и {ampm-I- а,п~ 1р !П |
|
+ |
.. .) а а = (Ьпрп + Л_, |
рп~' + |
. . .) а г, |
||
поскольку / и все ее |
производные равны нулю |
при |
Т = 0. |
|
|||
1 |
|
6 |
|
|
|||
Рис. 6.6. Линейный график напряже- нне-время, используемый в методе, основанном на преобразовании Лап ласа.
Решения данного типа могут оказаться громоздкими, но по лучение окончательных результатов может быть ускорено путем использования таблиц стандартных преобразований.
II. Правило метода наложения
Как и для обычного упругого режима, принцип наложения может использоваться для упругопластического при условии, что определяющие дифференциальные уравнения линейны и не происходит изменений в граничных условиях в результате де формаций.
На рис. 6.7 показано, как деформации от напряжения оь приложенного при Т = 0 (схема а), могут складываться с де-
Рис. 6.7. Принцип наложения.
109