книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

З д е сь /г+ 1 — дополнительный, фиктивный пункт потре­ бления.

Предварительные потенциалы определяются в резуль­ тате решения этой системы. Основой метода решения ее является простой способ решения систем уравнений вида:

« 1 1 , «12. •••> «1л !

«21, «22, «2л1

50

столбцов. Не приводя вывода этого метода, перейдем к рассмотрению метода решения системы (1.35).

тельных элементов, соответствующих исходному базисно­

П о л о ж и т е л ь н ы е элементы вычеркиваемых линий ну­ меруются в порядке вычеркивания соответствующих ли­ ний. Процесс вычеркивания линий длится либо до ис­ черпания всех элементов матрицы, либо до получения такой подматрицы из неотмеченных элементов, в к а ж д о й линии которой содержатся два положительных элемента .

В первом случае, когда все положительные элемен­ ты отмечены, н а х о ж д е н и е потенциалов начинается с вы­

нение (1.36), полагаем потенциал соответствующей стро­

один за другим отмеченные элементы матрицы в порядке убывания их номеров и используя уравнения системы (1.35), определяем все предварительные потенциалы.

Во втором случае неотмеченные положительные эле­ менты составляют одну или несколько замкнутых цепей вида

Xiljl> XiZjl> X12J2< ••• > Xit—ljt—l> XiXjl—X-

Пользуясь уравнениями системы (1.35), соответствую­ щими элементам цепи, можно один за другим выразить

ветствующим рекуррентным соотношениям — остальные потенциалы.

После определения предварительных потенциалов про­ веряется выполнимость следующих условии:

4 ' =сц — (hFj — Щ)>Ь

и , > 0 .

Эти условия отвечают признаку оптимальности. Если условия не соблюдаются, то осуществляется переход ко второму этапу.

Второй этап

Расчет на втором этапе начинается с выявления наи­ меньшего отрицательного числа с*0 /•:

c ? 0 / o = min 4- .

З а т е м осуществляется перераспределение поставок путем заполнения клетки с отрицательным числом. Н и ж е будет показано, как это осуществляется, но прежде для лучшего уяснения сущности метода поясним его на при­ мере транспортной задачи . Пусть условие транспортной задачи записано в табл . 1.8.

Таблица 1.8

В этой таблице показано исходное допустимое базис­ ное решение (цифры в правых нижних углах клеток) . Попытаемся осуществить перераспределение. Это можно

52

Перераспределение поставок осуществляется в резуль­ тате просмотра четырех клеток. Путь просмотра образо ­ вал цепь, которая показана на рис. 1.3. Свободная ранее клетка, в которую мы поместили поставку, отмечена пря­

моугольником, а остальные — к р у ж к а м и . В вершинах этой цепи у к а з а л и величину з а т р а т с1} с соответствую­ щим знаком (увеличение или снижение поставки) . Ал­ гебраически просуммируем числа, находящиеся в вер­ шинах цепи ( + 3 — 2 + 1 — 4 = — 2 ) .

Нетрудно убедиться в том, что сумма показывает, на­ сколько изменится значение целевой функции при уве­ личении поставки по маршруту 2—1 на 1. В данном слу­

53

Аналогичное уравнение составляется и для столбца 2:

Я32Д32 + Я22А22 = 0.

Последнее уравнение составляется для строки 2:

да все остальные поставки определяются из системы од­ нозначно.

Полученные значения коэффициентов А,у показывают, насколько изменится поставка в соответствующей клетке таблицы при записи поставки в клетку с наименьшим от­ рицательным элементом с*,- , равной 1. В результате такого перераспределения в отрицательных клетках по­ ставки уменьшаются, а в положительных — увеличива­

ненную величину поставки в остальных клетках, необхо­ димо найти изменение, поставок в этих клетках по выра­ жению

55

где Yi/ — размер поставки в клетку Ц.

С л о ж и в затем предыдущие поставки с изменениями, получим новый план решения. На этом расчеты по вто­ рому этапу заканчиваются . З а т е м новое решение прове­ ряется на оптимальность. В случае иеоптнмалыюсти из­ ложенным выше алгоритмом осуществляется переход к новому решению.

§ 1.10. Задачи линейного программирования

Оптимизация развития энергетической системы. З а д а ­ ча оптимизации развития энергосистемы может рассмат­ риваться в статической и динамической постановках. В первом случае требуется, исходя из известной сущест­ вующей структуры энергосистемы и заданного уровня нагрузки на конец расчетного периода, определить опти­ мальный вариант размещения новых и развития сущест­ вующих электростанций и сооружения линий электропе­

скольку последняя не лишена реального значения и ме­ тод решения ее обобщается для динамической задачи.

Введем некоторые упрощения в нашу задачу: отсут­ ствие ГЭС и тепловых нагрузок в системе, однородность режима энергопотребления всех узлов, неучет необходи­ мости наличия резерва мощности в системе. Эти требо­ вания в принципе могут быть учтены в постановке зада ­ чи, однако последняя окажется слишком громоздкой. Поэтому с целью большей наглядности иллюстрации принципиального подхода к решению эти факторы не учитываем.

56

Весьма сложным и ответственным моментом в постро­ ении математической модели задачи является правиль ­ ное определение стоимостных характеристик элементов энергосистемы в зависимости от их параметров . Трудно­ сти применения линейной математической модели обу ­ словливаются тем, что эти зависимости фактически ока­ зываются нелинейными. Например, зависимость стои­ мости потерянной энергии в линии электропередачи от передаваемой активной мощности Р определяется в ы р а ­ жением

Р — передаваемая мощность.

Зависимость з а т р а т (приведенных) на сооружение и

рис. 1.4. Точки разрыва непрерывности первых производ­ ных соответствуют переходу от одного стандартного се­ чения проводов к другому.

Весьма сложной оказывается зависимость приведен­ ных з а т р а т на сооружение и эксплуатацию тепловой электростанции от ее мощности. К а к известно, удельная стоимость тепловой электростанции понижается по мере

57

увеличения ее установленной мощности и единичных мощностей агрегатов. Эта зависимость является нелиней­ ной (рис. 1.5). Однако, если ее заменить линейной, она примет следующий вид:

где ko и с — коэффициенты линейного уравнения.

Тогда годовые приведенные затраты будут в ы р а ж а т ь с я уравнением

3 = (ря + РЖ - сР)Р + ЬцтРТ,

где р0 — коэффициент, учитывающий амортизационные отчисления, затраты на текущий ремонт и об­ служивание в долях от стоимости станции;

Ь— удельный расход топлива на выработку элект­ роэнергии;

цт — стоимость единицы топлива; Т — число часов использования установленной

мощности электростанции.

58

Обозначив р = р„ + ро, перепишем выражение так:

момент. Чем выше установленная мощность электростан­ ции, тем выше и единичные мощности агрегатов, а с уве­ личением последних экономические характеристики улуч­ шаются, в том числе удельный расход топлива. При этом величина последнего зависит от интенсивности использо­ вания мощности станции, с увеличением которой удель­ ный расход понижается (в общем случае до некоторой предельно минимальной величины).

Удельный расход должен быть средней величиной за весь период годовой эксплуатации станции, определяе­ мой из соотношения

и _ t=l

Зависимость приведенных затрат на тепловую элект­ ростанцию от ее установленной мощности при заданном числе часов ее использования будет иметь вид, показан­ ный на рис. 1.6.

Д л я того чтобы рассматриваемую нами задачу при­ вести к линейной, .необходимо заменить приведенные вы­ ше нелинейные зависимости линейными. Если бы мы предварительно знали ориентировочные величины опти­ мальных мощностей электростанций и максимальных пе­ редаваемых мощностей по линиям, то можно было бы с

Применение линейной модели д л я решения рассмат­ риваемой задачи оказывается возможным при использо­ вании итерационного метода расчета. Суть этого мето­ да сводится к следующему. На первой итерации решает-

59