Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

из этой точки является г, двигаясь вдоль которого				мы
приходим к точке X2.	Из точки X2,	двигаясь дальше,		мы
получим оптимальное	решение ^ 3 .
Таким образом, если в течение градиентного			процесса
мы оказались на границе области		допустимых	решений,
то з а д а ч а заключается	в нахождении такого направления
движения г, чтобы соблюдались ограничения. И д е я				ме

тода проектируемых градиентов состоит в том, что в та ких случаях градиент проектируется на границу допу стимой области, и движение осуществляется не вдоль градиента, а по его проекции. Это приводит к тому, что траектория движения все время остается на границе до пустимой области.

П о к а ж е м , как определить допустимое направление г. Очевидно, оно должно удовлетворять следующим соот ношениям:

Xk-,\	= х к — А г > 0 ;
9 Д Х * - л / - ) < 0 .
Очевидно, эти соотношения мы д о л ж н ы записывать
только	для тех ограничений, которые з а п р е щ а ю т движе

ние по линии градиента. Если на границе области допу

стимых решений		ХклЛ	= О, то можем записать
Хк — /,г	= 0.
Так к а к	К>0,	то	г д о л ж н о	удовлетворять условию
г > 0 .
К р о м е того, учитывая, что				вектор г		д о л ж е н находить
ся в плоскости,		касательной		к	области	ограничивающих
условий в точке		Х'\	мы можем		записать:

Уг, Ш > - = 0 .

Здесь і —	индекс тех ограничений і	— 1,2,	которые
	з а п р е щ а ю т движение по	линии	градиента.
Вектор	г, вдоль которого производится движение по
поверхности ограничений, д о л ж е н отвечать			направлению
наискорейшего уменьшения функции f{X).			Это значит,

ПО

что проекция вектораградиента целевой функции на на

правление		г д о л ж н а		иметь максимальное значение. Та
ким	образом,		з а д а ч а	определения	направления	м о ж е т
быть	сформулирована			к а к задача	максимизации	функ
ции
V	, .	та
2d'		дх,
при следующих			ограничениях
2J-		Д Х ,

г, > 0 ( / = 1 , 2 , . . . , и);

У, rl	= о .
Последнее условие означает, что нас интересует толь
ко направление, т. е. вектор,			по абсолютной		величине
равный единице.
После нахождения вектора г вдоль него делается шаг
или несколько шагов, пока не нарушается				условие
т
2 № ) ] 2 < б \
где б —	з а д а н н а я	положительная величина,			определяю
	щ а я окрестность ограничений.
З а т е м	вновь	находится	проекция	вектора - гради

ента на ограничивающую область, и движение осущест вляется по новому направлению .

Изложенный способ н а х о ж д е н и я допустимого	н а п р а в
ления очень трудоемок, та к как на к а ж д о м шагу	требу

ется решать задачу линейного программирования, а при

наличии последнего условия в	этой	задаче	—	з а д а ч у
нелинейного программирования .	Поэтому		рассмотрим
другой вид проекционного градиентного метода.
На рис. 2.10 показано, что градиент целевой				функ
ции направлен в сторону от области		допустимых		реше -

ний, разделенной плоскостью N. Вектор, соответствую щий проекции градиента, обозначен через г. Этот вектор определяется в ы р а ж е н и е м

/• = grad / 4- о- grad q.

giadf

Р н с. 2.10.

g?adf

/?* Ъ ^ С ^ /

^-^""^	Q7adqz	\	Р и с . 2.11.
3	1	ff7ad<jtt	Р и с . 2.11.

Коэффициент а определяется из условия, что векторы гнс] взаимно перпендикулярны, т. е.

(г grad а) = 0,

откуда	получаем
	grad /-grad у
	/grad	#
Если	ж е число	ограничивающих	поверхностей в	ка
кой-либо точке оказывается больше			одной, то 'выбор	на
правления движения осложняется . Н а рис. 2.11 д а н а				гео

метрическая интерпретация этого случая дл я двух огра

ничивающих	поверхностей.	Н а п р а в л е н и я	векторов
grad <7i и grad	q% указывают,	по какую сторону	от плос-

112


костей N[ и N2				расположена	область		допустимых		реше
ний. Д в и ж е н и е				по направлению grad / невозможно .						Из
рисунка видно,				что невозможно		т а к ж е д в и ж е н и е			по	на
правлению		вектора-проекции			г2,	та к как при этом			прони
зывается плоскость N\, но допустимо движение									по	на
правлению		вектора-проекции			г у Н а х о ж д е н и е вектора -
проекции,		допускающего движение,					осуществляется			по
условию
	(г, grad <7,.) >		0.
	Если среди			всех векторов-проекций г1				нет ни	одно
го, для которого				справедливо	это неравенство, т о н и одна
из	проекций		гг	не является	допустимым			направлением .
В	этом случае			движение из	точки		производится в со

ответствии с направлением проекции М вектора - гради

ента функции	/ на пересечение гиперплоскостей,		прохо
д я щ и х через	эту точку	перпендикулярно к градиентам
функции. В ы р а ж е н и е дл я вектора М, л е ж а щ е г о			в пере
сечении гиперплоскостей, ищем п о формуле
	т
М = grad / + V ai grad		qv

i—\

Вектор M перпендикулярен ко всем векторам grad qt. Это условие позволяет написать систему из т линейных уравнений для определения о,-:

(М grad ft) = (grad / -grad ft) + V a,.(grad 9,--grad ft) = 0;

III

(M grad qm) = (grad / • grad qm) + V o.(grad qt • grad qm) = 0.

Р е ш и в эту систему уравнений, находим коэффициен ты о,-, с помощью которых затем определяем вектор М.

П р и перемещении из точки, находящейся на поверх ности ограничений, на шаг конечной длины в направле нии г или М следующая точка может оказаться вне об ласти допустимых решений . В этом случае необходимо возвратиться из новой точки на поверхность ограниче-

8 Л. П. Падалко

113

ний, что	осуществляется	движением	по направлению
Egrad qt.	Н а п р а в л е н и е	этого вектора	соответствует пер

пендикуляру, опущенному из новой точки на поверхность ограничений. Д в и ж е н и е по вектору проекции-градиента существенно упрощается, если ограничивающими поверх ностями являются гиперплоскости. Н о в а я точка при этом не выходит за пределы допустимых решений .

Р и с . 2.12.


В заключение отметим, что		все изложенные		выше
градиентные методы	позволяют	находить	абсолютный
оптимум только в з а д а ч а х однозкстремального типа,				т. е.
в з а д а ч а х выпуклого	программирования . В		з а д а ч а х не

выпуклого программирования может быть не один эк

стремум. Р е з у		л ь т а т решения	при	этом во многом зави
сит	от выбора	той исходной	точки	(Аи Л 2 ,	Л 3 ) ,	с кото
рой	начинается спуск градиентным			методом.	Н а	рис. 2.12

показана схема получения различных решений в такого рода з а д а ч а х в зависимости от выбора начального приближения .

114

§ 2.5. Задачи нелинейного программирования

Оптимальное	размещение компенсирующих устройств
в электрических	сетях энергосистем. З а д а ч а формулиру
ется с л е д у ю щ и м	о б р а з о м : з а д а н ы конфигурация и пара

метры электрической сети, месторасположение и нагруз ки существующих источников и потребительских транс форматорных подстанций; требуется с целью повышения экономичности эксплуатации электрической сети опреде лить экономическую целесообразность и оптимальный ва риант размещения дополнительных компенсирующих устройств в сети.

Критерием оптимальности является условие миниму ма приведенных з а т р а т (В.1). Капитальные з а т р а т ы включают з а т р а т ы на установку компенсирующих уст

ройств

( К У ) .

В эксплуатационш _ г

расходы

входят

по

тери

электрической энергии в

сети,

вызванные протека

нием

реактивных

мощностей,

а т а к ж е ежегодные затра

ты, связанные

с эксплуатацией

компенсирующих

уст

ройств.

Д л я

компенсирующих

устройств

имеем

следующую

структуру з а т р а т :

[(Рн

РамЖуд +

ЯТР] X,. =

ptXt,

где

р„ —

нормативный

коэффициент

эффективности

к а п и т а л ь н ы х

вложений;

Рам —

коэффициент

амортизационных

отчислений;

^/уд

—

удельные капитальные з а т р а т ы

на установ

ку единицы мощности

КУ;

—

удельные потери

активной

мощности в

КУ;

Т — число часов включения;

(3 —

стоимость электроэнергии;

xt—

мощность компенсирующего

устройства.

В качестве компенсирующих устройств предусматри

ваем

статические

конденсаторы.

Д л я линий электропередачи з а т р а т ы имеют вид

-jjl— хц — ипхц>

где Ьц — коэффициент пропорциональности; Гц — активное сопротивление Ї/-Й ветви;

% — поток реактивной мощности по ветви Ц.

115

С ф о р м у л и р у ем нашу задачу при следующих допуще

ниях:
1) напряжение во всей сети принимается	одинако
вым и равным номинальному;
2) предполагается однородность графиков	реактив

ных нагрузок потребителей, т. е. совмещение во времени максимумов отдельных потребителей и равенство чисел

часов использования максимальной нагрузки.
В результате постановка				з а д а ч и выглядит	так:
min I	V, P l	X ( +	\| v 6,7д-21
( i = i			» = ) / = і	)
( і = 1 , 2,	п	—	предварительно намеченные		пункты раз
мещения	К У ) .
Ограничения			задачи:
1) требование баланса				потоков мощностей в узлах
сети

яп

V V	V v. . = О-
i = l	<"=1

2) ограничение п о располагаемым мощностям у су ществующих источников питания

где k — индекс существующего источника реактивной мощности;

3) требование по приемлемому качеству напряжения в узлах сети

Up" <		U; = U6.y		-	Д£/, - AUP	< С/™«
где	Ue.y	— н а п р я ж е н и е балансирующего узла;
	Ас/ а	•— потеря			н а п р я ж е н и я от балансирующего уз
			ла до	i-ro, обусловленная			потоками		актив
			ных мощностей;
	Д£/р	—	потеря		напряжения от балансирующего уз
			л а до	і-го, обусловленная			потоками		реак
			тивных		мощностей.
Т а к к а к			мы п р е д п о л а г а е м			заданным		распределение
активных		мощностей			в сети, то, следовательно, величина
Д£Л,	определяется			заранее . Величина			AUp	может быть
в ы р а ж е н а		аналитически в виде				функции от реактивных

116

нагрузок, приложенных в узлах сети, с помощью коэф фициентов потокораспределения.

Наличие третьего условия связано с тем, что в зави симости от того или иного распределения реактивных мощностей и мощности компенсирующих устройств оп ределяется величина н а п р я ж е н и я в узлах сети, т. е. на пряжение любого у з л а сети является функцией от нагру зок источников реактивных мощностей.

30 Мдар

50 Мв ар

Р и с . 2.13.

Рассмотрим численное решение нашей з а д а ч и приме нительно к схеме, показанной на рис. 2.13. Предваритель но наметим возможные 'места размещения 'компенсирую щих устройств во всех узлах нагрузки.

Ц е л е в а я функция имеет следующий вид:

min {pxXi		- f р2 лг2 + р3х3 + р 4 х 4 +			р5х-0 +	Ьцх^ +
Ограничения				з а д а ч и :
1)	условия		баланса мощностей		в узлах	сети:
xn — x12		= Q1		— -x1;
ХХ2	Хо3	'	Q2	Xoi
Х23	~Т" Х43	— Q3		Х3'
ХЫ	-^43	~	Qi	Xi\
ХП5	— хЬ4	-		Qb—x5.

117

Условия баланса составлены в предположении, что точка иотокораздела до и после включения К У находит

ся в узле	3;
2) ограничения по располагаемым мощностям суще
ствующих источников			питания:
Qfm<xn		< Q ; " a x ;
Q , I N 1 I N < A - H 5 < Q ? , 1 A X .
Исходные данные д л я задачи:
р н = 0 , 1 2 ;	Рам = 0 ,1; &уд — 5			руб/квар; л	= 0,002	квт/квар;
т = 4000	ч;	Р = 0 , 0 1	руб/квт-ч.
Сопротивления проводов:
А С - 1 8 5 — г 0 = 0 , 1 7			ом/км;	АС-150 — г 0 = 0 , 2 1		ом/км;
АС -120 — г0		= 0,27	ом/км.
Значения		располагаемых		мощностей	сверху:	Q["a x =
= 9 0 Мвар,		Q"ja x =100 Мвар, а снизу			с целью	упроще
ния принимаем равными нулю.
Удельные приведенные з а т р а т ы , с в я з а н н ы е с						установ

кой единицы мощности компенсирующих устройств, для всех узлов одинаковы и равны

•р, =	(0,12 + 0,1)5 + 0,002 -4000 -0,01 = 1,33 руб/квар =
= 1330	руб/Мвар.

Д а л е е определяем коэффициенты Ьц д л я всех линий:

ЬЦ	=	22	руб/Мвар2;	6 1 3 =	17,4	руб/Мвар2;
Ь.23	=	17,8 руб/Мвар2;		bi3	= 14,3	руб/Мвар2;
b5i	=	27	руб/Мвар2;	Ьи5=	19,3	руб/Мвар2.

Подставив численные значения всех коэффициентов, получим следующую задачу:

min (1330(^ + х2	+ А-3	+	х 4 + х5 ) + . 2 2 ^ , + 1 7 ' 4 л І 2 +
+ 17,8xf3 + 14,343 +	27х\| 4	+	1 9 , 3 4 5 } ; •

118

1) _л-ц — х 1 2					— 30 — хх;
2) х 1 2 — х 2 3					= 40 — х 2 ;
3) х 2 3			+ х 4 3		= 25 — х 3 ;
4) х 5 4			— х 4 3		= 50 — х 4 ;
5) хп			5 — х 5 4		= 30 — х 5 ;
6)	х и		< 9 0 ;
7)	л ' „ 5 <			100.
После приведения ограничений 6 и 7 к											канонической
ф о р м е		имеем:
хи		+х6=			90;
* П 5		+	* 7	=	100.
В ы р а ж а я				затем одну			часть	переменных			(базисных)
через другую часть (свободных), получим:
хг	= 30 — Хц + х 1 2 ;
х 2	= 40 — х 1 2					+ х 2 3 ;
х 3	= 25			х 2 3		х 4 3 ;
х 4	= 50 — х 5 4					+ х 4 3 ;
х 5	= 30 — хц 5 + х 5 4 ;
х в	=		90 — х п			;
х 7	=		100 —		Х	ц 5 .
Ц е л е в а я				функция после замены					в	ней базисных пере
менных 'свободными принимает								в и д
F	= 1330(175 — хц — хц 5 ) +							22х2 ,	+	17,4х2 2 + 1 7 , 8 х \| 3 +
+ 14,3х2 3 +				2 7 х 2 4 + 1 9 , 3 х 2			1 5 .

Рассмотрим решение этой з а д а ч и методом, описан ным в § 2.3. С этой целью п р е ж д е всего проверим усло-

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ