Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

л и н и я ми у к а з а н а существующая сеть, пунктирными —

допустимые к сооружению новые линии			электропередачи .
В принципе необходимо считаться с тем, что				к а к в
существующей сети, т а к и во вновь развиваемой				могут
быть линии разных	номинальных	напряжений .		Это в
действительности имеет место, т а к		к а к	повышение	про
пускной способности	и р а з в и т и е	сети	осуществляются
путем надстройки над	существующей		сетью сети	более

Р и с 2.16.

высокого номинального напряжения . Это приводит к из менению функций линий разного н а п р я ж е н и я в р а с с м а т риваемом районе, существующие системы линии стано вятся распределительными по их назначению, в то время как вновь сооруженные выполняют теперь функции си стемных и межсистемных.

Возможность появления линий нескольких номиналь ных напряжений в развиваемой сети обусловливает не обходимость учета в математичеокой модели задачи за

трат на т р а н с ф о р м а т о р н ы е	подстанции. В частности, ес
ли на трассе 1—4 окажется	целесообразным сооружение

линии с новым напряжением, то это потребует либо рекон струкции, либо расширения действующей подстанции в


узле 4 в связи	с появлением там дополнительного				на
п р я ж е н и я . П р и	этом	в математической	модели	д о л ж н ы
быть предусмотрены		такие варианты,	как з а м е н а		су
ществующего двухобмоточного трансформатора				трехоб-
моточным и установка		дополнительного	двухобмоточного

либо трехобмоточного трансформатора . Эти требования в принципе могут быть учтены в математической модели, однако в нашей з а д а ч е мы ограничиваемся отображением только линий электропередачи.

140

Р е ш е н ие сформулированной математической	модели
определяет искомую конфигурацию сети в том	смысле,
что допустимые к (сооружению новые линии, д л я	которых

потоки мощности о к а з ы в а ю т с я равными или близкими нулю, исключаются из сети. Оставшиеся линии форми

руют структуру	оптимальной	сети.	Численного примера
решения рассматриваемой з а д а ч и			д а в а т ь не будем,	т а к
к а к иллюстрация	применения	методов нелинейного		про

граммирования была приведена в двух п р е д ы д у щ и х за дачах .

Приведенными выше ограничениями двух типов не исчерпываются все дополнительные условия рассматри ваемой задачи . В реальной постановке приходится учи тывать р я д дополнительных требований, зависящих от

специфики моделируемой сети. Отметим			эти требования
с целью наиболее полной инженерной			характеристики
исследуемой	задачи .
К числу в а ж н е й ш и х		относятся ограничения по		уровню
н а п р я ж е н и я	в узлах	сети. Поскольку в	нашей	модели

используются нагрузки максимального режима, то огра ничения по н а п р я ж е н и ю в этой модели формулируются для максимального режима . П р и записи этих ограниче ний необходимо, помимо активной загрузки линий, учи

тывать т а к ж е и реактивную, поскольку	составляющая
потери н а п р я ж е н и я от реактивной мощности		п р е д с т а в л я
ет заметную величину в общем размере	потерь,		особен
но для линий более высокого напряжения -		Это	может
быть учтено приближенно с п о м о щ ь ю t g	ф,	характерного

для линий соответствующего класса напряжения . В ре


зультате		о б щ а я		математическая			запись этого	ограниче
ния	будет иметь			вид
Uf» <		U6.„ -		Д U, -		А £/р < t/™»,
где	^ б . п —		н а п р я ж е н и е балансирующего узла;
	AUa	—	потеря		н а п р я ж е н и я		от балансирующего уз
			л а до		t-ro,	обусловленная потоками			актив
			ных	мощностей;
	AUp	—	потеря		н а п р я ж е н и я		от балансирующего уз
			ла до і-го, обусловленная реактивными по
			токами;
£ / m a X ) Цт\п—			П р Є Д Є Л Ь Н О			Д О П у С Т И М Ы е М а К С И М Э Л Ь Н Ы е			И М И -
			нимальные			уровни	н а п р я ж е н и я в	і-м	узле.

141

Следует отметить, что при выборе параметров линий электропередачи по экономическим соображениям уров ни напряжения в питающих сетях н а п р я ж е н и е м 35 кв и выше, как правило, выдерживаются в допустимых пре делах . Этому благоприятствует т а к ж е возможность ре гулирования напряжения . Поэтому в таких сетях схем

ные	мероприятия,	как - то: сооружение дополнительных
цепей	и линий д л я	поддержания н а п р я ж е н и я в макси

мальном режиме, не осуществляются. В сетях сверхвы

соких	напряжений (500, 750		кв) т а к ж е	не предусматри
ваются	схемные	мероприятия, т а к к а к		н а п р я ж е н и е под
держивается с		помощью	компенсирующих устройств,

установленных в промежуточных и конечных пунктах ли нии. В распределительных сетях уровни н а п р я ж е н и я в узлах сети в максимальном режиме являются во многих случаях определяющими для выбора параметров ее (се

чений, номинального н а п р я ж е н и я ) ,	и в некоторых случа
ях могут быть оправданы схемные	мероприятия.

И н а ч е обстоит дело с учетом напряжений в устано вившихся послеаварийных режимах . Именно эти режи мы во многих случаях могут быть определяющими при выборе схемы и п а р а м е т р о в электрических сетей. Одна ко формулировка в математическом виде этих ограниче ний при выборе схемы электрической сети затрудни тельна. Поэтому учет их возможен после построения окончательной схемы и ее корректировки. Этот фактор весьма существен для сетей всех типов.

Д л я	основных сетей	объединенных	электроэнергети
ческих	систем в а ж н ы м	фактором, требующим учета,		яв
ляется	статическая и динамическая		устойчивость.	При

этом, ,как и в случае учета (напряжений, определяющими являются послеаварийные режимы . В ы б и р а я пропускную способность отдельных линий, необходимо исходить из

наиболее т я ж е л ы х режимов . Математическая			формули
ровка этих	требований	т а к ж е затруднительна,	т а к как
предельная	з а г р у з к а к а к	существующих, т а к и	допусти

мых к сооружению новых линий по устойчивости	зависит
от схемы сети, которая п о д л е ж и т определению.
И, наконец, весьма существенный фактор,	требую

щий учета при .решении .рассматриваемой задачи, — на

дежность	электроснабжения	потребителей.	В о з м о ж н ы
различные	в а р и а н т ы учета	этого требования.	Один из

них — это включение ущерба у потребителей, в ы з в а н ного аварийным перерывом электроснабжения, в целе-

142


вую функцию.			О д н а к о реализация такого подхода								з а
труднительна, т а к как, во-первых,						не всегда		удается			по
лучить достоверные сведения об экономическом									у щ е р б е ;
во-вторых,		не д л я всех потребителей					ущерб	от	переры
ва	может	быть	определен	в д е н е ж н о м			в ы р а ж е н и и ,				хотя
эти	потребители		требуют	весьма н а д е ж н о г о электроснаб
жения из-за морального ущерба,						и, в-третьих, д а ж е					при
наличии характеристик у щ е р б а у потребителей									решение
задачи требует			слишком	большой		вычислительной				р а б о
ты, нереальной			д л я существующих			Э Ц В М .
	Второй в а р и а н т подхода к решению — это задание-
для	отдельных		потребителей нормируемых п о к а з а т е л е й
надежности, н а п р и м е р в виде вероятностных								х а р а к т е р и
стик, зависящих			от схемы	и п а р а м е т р о в сети. Такой							под
ход	т а к ж е	требует большого			объема		расчетов,		т а к		к а к
нужно для к а ж д о г о пункта сети производить									с л о ж н ы й
расчет вероятностного показателя						надежности			и	сопо
ставлять его с			нормируемым .		Аналитическое				решение

этой задачи весьма сложно.

Наиболее практически реализуемый в а р и а н т учета надежности получим, если требование по ее учету с ф о р мулируем как условие двустороннего питания наиболее ответственных потребителей. Хотя математическая з а пись этого условия оказывается громоздкой, практиче ская реализация такого условия осуществляется просто с помощью специального алгоритма .

Необходимость учета всех перечисленных выше ф а к торов при построении схемы сети обусловливает невоз можность использования для решения такой расширенной задачи стандартных методов нелинейного программиро


вания. Д л я	ее решения более эффективными			о к а з ы в а ю т с я
комбинаторные		методы,	рассмотрение	которых	вы
ходит за	рамки данной		книги. Сказанное, однако,,
не исключает		полезности	использования	методов	не

линейного программирования д л я решения задачи в ее-

ограниченной постановке.	Полученные при этом		реше
ния, которые н а з ы в а ю т с я	локальными	оптимумами,	м о ж

но сопоставить друг с другом, предварительно скорректи ровав их с учетом дополнительных требований, с ц е л ь ю выбора наилучшего решения (абсолютного оптимума) .

143

Г л а в а З

Д И Н А М И Ч Е С К О Е П Р О Г Р А М М И Р О В А Н И Е


Динамическое программирование		в отличие	от	ли
нейного и нелинейного не выделяет	среди .всех з а д а ч ма
тематического программирования	таких, которые			обла
д а ю т определенной математической		записью,	а	дает

новый подход к решению экстремальных задач . И н а ч е го воря, термин «динамическое программирование» отно сится скорее к вычислительному методу, чем к особому типу з а д а ч математического программирования . Возник новение динамического программирования связано с ис следованием многошаговых процессов управления, про

текающих во времени. Однако	область	его применения
не ограничивается з а д а ч а м и , в	которых	фигурирует	вре
мя . Динамическое программирование оказывается			при
менимым т а к ж е и к з а д а ч а м	статического типа, проце
д у р а решения которых может	быть представлена		в ви
де многошагового процесса.
В данной главе будут рассмотрены		вычислительный

метод динамического программирования, области приме

нимости	этого метода и типы задач, которые могут быть
решены с его помощью .
§ 3 . 1 . Математическая постановка задачи
Рассмотрим		следующую задачу:
	п
min	V A M ;
	1=1
^ д - .	= Л;
i=I
* z > 0 .
Эта	з а д а ч а	может интерпретироваться к а к з а д а ч а

такого оптимального распределения заданного однород ного ресурса м е ж д у различными видами работ, процес-

144


сов (i =	l , 2,	п), чтобы суммарные			з а т р а т ы	были ми
нимальны . В экономике к такой				формулировке сводится
з а д а ч а	оптимального		распределения		заданного фонда
капитальных		в л о ж е н и й	імежду	различными		объектами .

П р и этом ставится требование либо минимизации после дующих эксплуатационных расходов, либо максимиза ции дохода-

Р и с . 3.1.

Н а первый взгляд кажется возможным использовать д л я решения приведенной математической модели аппа

рат	классического математического анализа, в частно
сти	метод неопределенных множителей		Л а г р а н ж а . Од
нако	в реальных ситуациях такой подход не всегда мо
ж е т	быть оправданным .	Это объясняется следующими
причинами:
1) обращение в нуль		производной	'Оптимизируемой

функции есть только необходимое, но недостаточное ус ловие минимума ( м а к с и м у м а ) . Например, д л я кривой, изображенной на рис. 3.1, производная равна н у л ю в

точках	Яі	и а% относительного	максимума,		Ъ\ и	Ь2	отно
сительного		минимума и в точке с перегиба			функции. По
нятно,	если функция не удовлетворяет условию					выпук
лости	(точка экстремума о д н а ) ,			то для нахождения аб
солютного		м и н и м у м а необходимо		исследовать все			точки
экстремумов, что для многомерных з а д а ч связано						с	боль
шими	трудностями;
2)	применение методов		математического			анализа

предполагает отсутствие ограничений задач в виде не равенств. В то ж е время в реальных з а д а ч а х чаще все го имеются именно такие ограничения, в частности ог раничения на сами переменные:

10 Л. П. П а д а л к о

145

Н а л и ч ие таких ограничении требует	проверки	решений
во всех граничных точках, что т а к ж е	связано с	больши

ми вычислительными трудностями для з а д а ч многомер ного типа;

3) аппарат классического математического а н а л и з а приспособлен к решению з а д а ч оптимизации с непрерыв

ным изменением независимых		переменных,		оптимизация
ж е по дискретным	переменным	находится	вне сферы его
досягаемости;
4) применение	классического анализа			предполагает

непрерывность функций и их первых производных. В ре альных условиях эти требования могут не выполняться.

Таким образом, применение математического анали за предъявляет весьма жесткие требования к виду целе вой функции и ограничениям задачи .


Нетрудно убедиться		т а к ж е в	том, что		методы	линей
ного	н нелинейного программирования			т а к ж е не		всегда
могут быть попользованы для решения				сформулирован
ной	задачи (например, їв случаях		дискретности перемен
ных,	отсутствия непрерывности		функции		п ее	первых
п р о и з в о д н ы х ) .
М о ж н о попытаться		использовать		прямой		перебор

всех вариантов решений. О д н а к о такой подход во мно гих случаях не может быть практически осуществим в


силу огромного числа вариантов . В самом							деле,		если
считать,	что к а ж д о е из				-V,- может принимать		т	значений
от 0 до А,		то число		всех	вариантов решений при			п р я м о м
переборе	составит			N — т" (п — число		переменных) .
П р и	п. — 20 и		/ я = 1 0		будем иметь N=\Q20-		Д а ж е		если
ориентироваться			на	Э Ц В М , способную		в одну		миллисе
кунду рассчитывать один вариант, то д л я перебора									всех
вариантов		потребуется			приблизительно	3-Ю3	лет.		Д л я

реальных задач число вариантов может быть намного больше. Требуется иной подход. Такой подход к реше нию дает метод динамического программирования, при чем динамическое п р о г р а м м и р о в а н и е т а к ж е основано на переборе вариантов, но не всех, а только некоторой, не большой их части, что позволяет 'решать задачи в прием лемые сроки.

§ 3.2. Рекуррентные соотношения

Особенностью вычислительной схемы метода динами ческого программирования является то, что одиовремен-

146

ная оптимизация п о всем переменным

Х \ ,

х%,

хп заме

няется

многошаговой

оптимизацией, причем в

п р е д е л а х

к а ж д о г о

ш а г а оптимизация осуществляется

по

одной

переменной. Сказанное вытекает из вида

рекуррентных

соотношений, которые мы сейчас приведем.

Пусть

л-„(0 < ; хп <; А)

—

количество

ресурсов,

назна

ченное

для

п-то процесса.

Тогда

количество

ресурсов

А — хп

будет

использовано

так, чтобы

минимизировать

затраты

на остающихся п—1 процессах. Обозначим

n—i

/!„_, (А — л-,,),

min

где

X-L

х2

... +

Хп-1

А —

хп.

С у м м а р н ы е з а т р а т ы

будут

р а в н ы

А„_, ( Л - * „ ) + /„(*„).

Ясно,

что

оптимальным

будет

такой

выбор

хп,

кото

рый минимизирует эту функцию. В результате м ы полу чаем рекуррентное соотношение

hn(A) = min {«„_, (А - хп) + /„(*„)}.

Отметим, что смысл слова «рекуррентность» означа ет зависимость последующего от предыдущего . Если бы


вид функции	hn-i(A	—	хп),	выраженной только		через
одну переменную хп,		был известен, то з а д а ч а			свелась		бы
к оптимизации	функции		hn	по одной переменной		хп.	В
этом, собственно, и		з а к л ю ч а е т с я у к а з а н н а я			ранее	осо

бенность динамического программирования, когда, распо

л а г а я и н ф о р м а ц и е й				о виде	функции	л „ _ і , мы из		рекур
рентного соотношения 'можем определить функцию									hn,
при	этом	оптимизация н а			к а ж д о м	шаге	осуществляется
по одной		переменной.
§3.3. Вычислительная схема
	Вычислительная			схема	динамического		программиро
вания сводится 'К получению последовательности								функ
ций	hk{X)	для	k=\,	2,	п. И д е я метода		сводится	к	то
му,	что, з н а я		hk—i, можно		легко т о	рекуррентному		соот
ношению определить				hu:
Ю*									147

h„(X) =	min { A A _ , (X	- xk) +	.
Смысл	в ы р а ж е н и я	таков:	гори заданном количестве

ресурсов, равном X, распределяемом м е ж д у k процес

сами, минимальные затраты

равны

hk(X).

Решение начинается с

k=l.

Т а к

к а к здесь

не требу

ется

распределение,

то

решение

определяется

однознач

но, а

именно:

h1(X)

f1(X).

Д а л е е в

соответствии

с рекуррентными

'соотношения

ми будем иметь:

1и(Х)

min

{hx{X

х2)

/ 2 ( А - 2

) } ;

h3(X)

min

{h2(X

х 3 )

/ З ( А - 3

) } ;

ВД

min [hk^(X-x,)

/,(хА ,)};

кп(Х)

min {пп^(Х-хп)

fn(xn)}.

Величина

hn(A)

определяет

оптимальные

затраты .

Рассмотрим

вычислительную

процедуру

более

об

стоятельно,

пояснив

одновременно,

как в пределах

к а ж

дого шага осуществляется оптимизация п о одной пере


менной.
	Пусть Х[ определяется множеством дискретных зна
чений 0, 1, 2, 3,					А.
	Первый			шаг.	Определяется множество значений функ
ции		h\(xi)=fi(xi)			д л я всех	точек Х\=0, 1, 2, 3,			А.	З а
поминаются эти значения функции.
	Второй			шаг.	Определяются из рекуррентного соотно
шения значения					функции h2	(X).	Это осуществляется			сле
д у ю щ и м			образом . Д л я к а ж д о г о значения					X из	интервала
О,	1, 2,		3,	А	определяется серия значений				h2(X)	при
всех		допустимых значениях				х2 из интервала 0,			1, 2,	3
А.	В	результате			получается следующая			последователь
ность:
	M X ) =				- 0) + Ш,	хй	= 0;
	/l2 (X)		=	/ l 1 ( X - l ) + / 2 ( l ) ,		х 8	= 1;

148

h2(X)

h±(X

—

2) +

/2 (2),

хй

h0_(X)

Лх (1) +

f2(X

1),

хг

X -

/і2 (Х) =

Лх (0) +

/ 2 (Х),

* а

X .

Сопоставляя все приведенные выше значения

h2(X),

выбираем

и запоминаем

наименьшее

из

них.

Все

ос

тальные

значения

л а м

больше

не 'понадобятся. З а м е т и м ,

что т р и

определении

1г2(Х)

мы вычисляем только значе

ния /2(^2), в то

в р е м я

« а к

значения 1г{(Х—х2)

у ж е были

определены на предыдущем шаге и хранятся

в п а м я т и

машины .

П р и д а в а я X (все допустимые

значения

от

1 до Л,

мы

указанным

в ы ш е методом

определяем

серию

оптималь

ных значений функции /і2(Х).

ходе этого процесса

оп

ределяются

т а к ж е

соответствующие

оптимальные

зна

чения х2

д л я к а ж д о г о

Третий

шаг.

Функция

h3(X)

получается

аналогично.

Н а последнем

шаге

имеем

следующее

рекуррентное

соотношение:

К{Х)

= min {n„_,(X -

хп) +

/„(*„)}.

Вычисления на последнем шаге существенно сокра

щаются,

т а к к а к значение

Х=А

з а д а н о в

условии з а д а

чи, и им

в а р ь и р о в а т ь

не надо .

Варьируя

различными

значениями

хп

от 0 до А,

мы выбираем то значение, д л я

которого

функция hn(A) приобретает

минимальное

зна

чение. Таким образом,

оптимальное значение

функции

найдено.

Результаты

расчета

н а

основе указанной

многошаго

вой процедуры могут 'быть представлены в в и д е табли

цы (см. табл . 3.1). Все цифры	этой таблицы, определен
ные в многошаговом процессе,	хранятся їв п а м я т и			вычи
слительной машины .
После н а х о ж д е н и я минимального		значения функции
следует в ы б р а т ь из т а б л и ц ы значения		переменных		хи	х2,
хп, доставляющих оптимум	задаче . Методику			их	вы
бора проиллюстрируем на т а б л . 3.1. Оптимальное				значе
ние х„ нам известно из последнего шага .			Следовательно,
на оставшихся процессах будет израсходовано А—хп					ре
сурсов. И щ е м в третьем столбце с конца			соответствую-

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ