Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

							Таблица 3.1
X	X,	Л'2				7	><
						7	7
							•«Г
0
1
2
3
А'
щее значение		функции hn-\{A—		х„). Слава, из соседнего
столбца той ж е строки, извлекаем					'Оптимальное значение
переменной		хп—\.	Следовательно,		на п—2 процессах бу
дет	израсходовано		А—хп—хп—\	ресурсов. И щ е м значе
ние	функции	h„—2{A — ,v„ — л ' „ _ 0 и					соответствующее
значение переменной л'„_о . Такой					«ход	назад» осуществ

ляется вплоть до определения Х\. Нетрудно заметить, что этим «ходом назад» мы д в и ж е м с я по той траектории, ко торая доставляет оптимум многошаговому /процессу ре шения.

Итак, оптимальные значения функции и переметных

найдены. Следовательно, з а д а ч а					решена.
§ 3.4. Случай непрерывности переменных
Рассмотрим обобщение метода для с л у ч а я								непрерыв
ности	переменных		Xj. Если	мы	н е будем		использовать
дискретизацию		переменных,		то,	очевидно,			необходима
иная	процедура	формирования			значений ht(X),				чем это
было	раньше .
Если в и д к а ж д о й функции						задан -		аналитиче
ски, то первый ш а г решения				не будет		с в я з а н		с	какими-
либо	вычислениями		д л я hi (X).		Второй	шаг	д о л ж е н сво

диться к определению		функции
h2(X) = min [Ъ(Х — х2) +			f2(x2)}.
Н е вдаваясь в	детали	методики определения		этой функ
ции, отметим,	что она	д о л ж н а	быть з а д а н а в	интервале

150

Третий шаг сводится к определению функции

h3(X)

min {Л2 (Х -

х 3 ) + /з(л-3 )},

т а к ж е

заданной на указанном интервале .

Функция

hn{X),

'полученная в

конце

многошагового

процесса, сразу дает оптимальную величину

з а т р а т

п р и

Х—А.

Теперь

следует

определить

структуру

з а т р а т

по

процессам и соответствующие значения переменных

х[ш

П р и аналитическом в и д е .функций процедура

р е ш е н и я

выглядит

несколько иначе, чем п р и табличном

задании .

В н а ч а л е определяется переменная

хп. С

этой

целью

об

р а щ а е м с я

к рекуррентному соотношению

hn(A)

min [hn-i(A

*„) +

/,,(х„)].

Т а к

как аналитический в и д функций

п,г _і(Х) и

fn(xn)

нам известен,

то,

п о д с т а в л я я

найденное

численное

зна

чение

hn(A),

мы

получаем уравнение с

одним

неизвест

ным хп. Р е ш и в это уравнение, находим

хп.

Д а л е е

о б р а щ а е м с я к следующему рекуррентному

со

отношению

/г„_і(А — х„) =

min {/г„_2(Л — хп — x„_i) +

fn-\(xn-i)}

•

З д е с ь в и д

функций

/г,,_2 и

/„ _ i

известен. Значение хп

мы определили раньше . Известно

т а к ж е

численное

зна

чение

функции

hn— \{А — х„), р а в н о е

hn(A)

—

f„(xn).

результате вновь получаем уравнение с

одним

неизвест

ным, решив которое, находим

x„_i.

Аналогично поступаем дальше, вплоть до определе ния Х\. З а м е т и м , что х1 можно найти иначе, путем д и ф ференцирования рекуррентного соотношения и п р и р а в нивания производной нулю. В частности, д л я определе ния хп необходимо решить уравнение

dhn_\{A — x^

dxn	<КА-х„)
П р а в д а , такой	подход, т а к ж е к а к и предыдущий,

применяется только в случае выпуклости всех функций

Д(х(-). В противном	случае	необходимо	осуществлять
дискретизацию переменных и		функции h и	f з а д а в а т ь в

табличной форме.

151

§ 3.5. Эффективность динамического		п р о г р а м м и р о в а н и я
Эффективность	динамического	п р о г р а м м и р о в а н и я

обусловлена принципом оптимальности Б е л л м а н а , кото рый гласит: оптимальная стратегия обладает тем свой ством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение їв начальный момент, последующие решения должны оостаївлять 'Оптимальную стратегию относитель но состояния, получающегося в результате первого ре шения.

Из	принципа оптимальности вытекает,		что	решение
на последующем		шаге р а с с м а т р и в а е т с я только относи
тельно	результата	решения, достигнутого	на	предыду

щем шаге. Результаты решений всех прочих предыдущих

шагов не имеют	значения.
Оценим эффективность метода д л я случая, рассмот
ренного ранее,	когда п = 20 и / п = 1 0 . М о ж н о подсчитать,

что число всех операций, связанных с вычислением всех

hp<),	составит	приблизительно 1250.				Если	предполо
жить, что одна		'операция		выполняется		со	скоростью
сек,	то в р е м я ,		необходимое для решения				задачи ме-
103
тодом	динамического			п р о г р а м м и р о в а н и я ,				составит
1,25 сек.	Отметим,		что время,		затрачиваемое		н а	решение
задачи,	находится		в прямой		пропорциональной			зависи

мости	от числа шагов		многошагового процесса. В част
ности,	для / г = 4 0	и т =	1 0 оно	составит всего 2,5 сек. От
сюда	ясно,' что	динамическое		п р о г р а м м и р о в а н и е пред

ставляет собой весьма эффективный метод решения эк стремальных з а д а ч .


К а к о в ы	ж е достоинства и границы		применимости ди
намического	п р о г р а м м и р о в а н и я ?	Р а н е е	были		перечисле
ны особенности реальных задач,		которые		делают		невоз
м о ж н ы м использование классического			математического
анализа для их решения . Рассмотренный				нами		метод
преодолевает ївсе препятствия, о		которых		мы	говорили.

Динамическое программирование позволяет решать зада

чи с функциями	любого	вида. В и д	функции	(вы
пуклость, вогнутость,	наличие	нескольких	экстремумов)
не вызывает затруднений.
Дополнительные условия в форме ограничений на пе
ременные не усложняют, а, напротив, у п р о щ а ю т				реше
ние задачи, т а к как	с о к р а щ а е т с я число		анализируемых
вариантов.

152

А п п а р а т динамического		программирования применим
к решению з а д а ч	аз случае	'непрерывного	изменения пе
ременных. П р а в д а ,	решение	оказывается	п р и б л и ж е н н ы м

вследствие дискретизации переменных и необходимости интерполяции функции м е ж д у двумя соседними дискрет ными значениями переменных. Однако в принципе мо

жет быть	достигнута л ю б а я	требуемая	точность	путем
дискретизации переменных со		все 'более	мелким	шагом..
К а к и м	требованиям д о л ж н а удовлетворять			задача,,

чтобы д л я ее решения можно было использовать метод,

динамического	п р о г р а м м и р о в а н и я ?	И з	вида	целевой
функции можно	сделать вывод, что	она	д о л ж н а	у д о в л е

творять требованию аддитивности, т. е. представимости

ее їв виде	суммы	функций, к а ж д а я из	которых в ы р а	ж а
ется через	одну	переменную . О д н а к о	это требование	не

является главным . Динамическое п р о г р а м м и р о в а н и е мо жет быть применимо т а к ж е и к функциям мультиплика тивного вида:

mini"! Д-(л',-).

І =І

Рекуррентное		соотношение д л я	заданной		задачи з а п и
сывается так:
hn(X) = min		( / ! n - i ( ^ - a » W l .
где
		л— 1
/і„_і(Х — Хп) =		ГЛІП П / / Л - ; ) .
		1=1
Н и ж е будет	показан пример задачи			мультипликативного-
вида.
Главное	требование к з а д а ч е		—	условие	выполнимо

сти принципа оптимальности, т. е. чтобы оптимальное ре шение на последующих ш а г а х зависело только от исход

ного состояния, от результата решения	н а п р е д ы д у щ е м
шаге, относительно которого ищется	решение з а д а ч и

дальше, а не от структуры решения на всех п р е д ы д у щ и х


шагах, начиная от начального . Иначе говоря,						пусть на
первые		/г процессов отпущено В ресурсов, тогда					опти
мальное		распределение	оставшихся		ресурсов	А—В	на
п—k	процессах не д о л ж н о			зависеть	от того, к а к	В ресур
сов	распределены м е ж д у		k	процессами, а будет		зависеть

153:

только от наличия оставшихся ресурсов. Это условие оп


ределяет т а к ж е и высокую эффективность	метода.
Следует заметить, что д л я выполнимости	этого требо
в а н и я весьма часто приходится многошаговый		процесс
решения осуществлять не с начального момента		протека

ния реального процесса, а с конца его. Н а п р и м е р , при рассмотрении з а д а ч и оптимального вывода ракеты на


орбиту	в	качестве отправной		точки,	с которой	развора
чивается		многошаговый	процесс, принимается			конечная
точка в ы в о д а ракеты на			орбиту.
Если з а д а ч а удовлетворяет				указанным выше		требова
ниям,	то	динамическое	программирование гарантирует
достижение абсолютного			минимума		( м а к с и м у м а ) .
В заключение следует			обратить внимание н а			достоин

ство метода динамического программирования, в ы з в а н ное возможностью неединственности оптимального реше ния, которое может 'быть свойственно реальному процес


су. В с а м о м деле, как	видно из табл . 3.1, в результате				по
следнего шага получается		серия оптимальных		решений
Л„. Вполне возможно,	что	некоторые из	этих	решений
равны и л и ж е весьма	близки п о величине затрат, хотя				их
структура, т. е. распределение ресурсов м е ж д у процесса
ми, разная . Н а л и ч и е равноценных оптимальных				решений
позволяет в ы б р а т ь среди них то, .которое			в большей сте
пени удовлетворяет некоторым другим требованиям					за
дачи, не нашедшим по тем		или иным причинам		отраже

ния в ее математической формулировке . Например, если оптимизация осуществлялась п о критерию экономично


сти, то в выбранном решении можно						учесть т а к и е требо
вания, к а к надежность,				удобство	эксплуатации .
§ 3.6. Многомерные задачи динамического
программирования
Р а с с м о т р е н н а я			нами	з а д а ч а относилась			к классу	од
номерных	задач,	т а к к а к требовалось				найти	распределе
ние одного вида		ресурсов. З а д а ч и , в				которых требуется
распределить несколько				видов	ресурсов,		относятся	к
классу	многомерных.		П р и использовании				изложенного
стандартного решения				применительно к			многомерным
з а д а ч а м возникают			значительные		вычислительные труд

ности вследствие резкого возрастания объема рассмат риваемых вариантов .

154

П р и в е д ем математическую формулировку для случая двумерной задачи:

min УіУ,

» = 1

і = і

З д е с ь

yt —

'количество ресурсов двух

видов, вы

деляемых д л я

і-го

процесса.

Отметим, что

рекуррентные

соотношения

Б е л л м а н а

д л я случая

одномерных з а д а ч полностью переносятся на

многомерные задачи . Д л я

нашей

з а д а ч и

они

будут

иметь

в и д

hn(X,

У) min

min [hn^(X-xn,

Y-yn)

fn{xn,yn)}.

Д а н н а я

з а д а ч а

снова

может

р а с с м а т р и в а т ь с я

к а к

я - шаговый процесс принятия решений, но теперь на

к а ж

дом ш а г е

необходимо в ы б и р а т ь значения

и xh

и yt.

Од

нако

при

применении изложенного

р а н е е стандартного

метода к решению многомерной з а д а ч и в о з н и к а ю т

зна

чительные вычислительные

трудности.

П р е д п о л о ж и м , что переменные

и у1

могут прини

мать

по

100 дискретных

значений.

Т а к

к а к

функцию

hk(X,

У)

необходимо запоминать

на

k-м

шаге д л я

всех

в о з м о ж н ы х 'комбинаций X и У, то возникает

необходи

мость в вычислении и 'запоминании

10 ООО значений функ

ции. Таким

о б р а з о м , объем вычислений возрастает

в 100

раз . Фактически увеличение объема вычислений будет

еще в ы ш е , т а к	к а к д л я определения к а ж д о г о из 10 000
значений hk(X,	У) с целью выбора оптимального необхо

димо п е р е б р а т ь в лучшем случае 100, а в худшем случае

10 000 комбинаций значений xk			и	ук.
Помимо увеличения о б ъ е м а			вычислений, есть			еще и
д р у г а я трудность, вызванная необходимостью					запомина
ния	громадного числа	значений	функции hk{X,		У)	в	па
мяти	вычислительной	машины .	Если учесть;		что	объем
оперативной п а м я т и существующих				вычислительных			ма-

155

шин не превосходит нескольких тысяч						ячеек, то д а ж е д л я
запоминания			одной таблицы		значений		hk(X,	Y)		может
потребоваться			обращение	к	внешней		п а м я т и машины .
Это существенно сокращает скорость вычислений.
	Е щ е в большей степени			возрастает		объем		вычислений
для трехмерных задач . Число функций							hk(X,	Y,	Z),	необ
ходимых		для	запоминания	на к а ж д о м			шаге,		составит
у ж е	1003	= 106 . Объем вычислений увеличивается								не	ме
нее	чем в	10 000 іраз. Если		двумерные		задачи		могут			быть

решены на больших вычислительных машинах, трехмер


ные т а к ж е иногда		могут быть решены за счет				укрупне
ния шага дискретизации, то четырехмерные					и в ы ш е за
дачи превосходят		возможности	современных			вычисли
тельных	машин . Д л я решения		таких з а д а ч		необходимо
искать возможность применения			других	математических
методов	или ж е	специальных	приемов,	позволяющих

каким-либо путем существенно сократить объем анали

зируемых		(вариантов.
§ 3.7.	Использование					множителей		Л а г р а н ж а
д л я понижения размерности
Н и ж е		мы		п о к а ж е м ,			что использование		множителей
Л а г р а н ж а		позволяет				понизить размерность			задачи .
Предположим,					что	переменные		Х[ непрерывны и что
функции		/,-(-V()		выпуклы . Тогда рассмотрим					следующую
задачу:
minify				fa,		yi)-xfy\;
	U = l					(=1	J
x i	+ x 2	+	••• +xn		=	A;
Уі>0.
К а к видно,			на	y-t	ограничения сверху не н а к л а д ы в а ю т с я .
Ц е л е в а я			функция			может быть		представлена т а к ж е ©
следующем			виде:
	п
Г Ш " 2		[/;(*/>		Уй	—	Ьу,].
	/=1

Несмотря на то что в условиях задачи имеются ог раничения только на один вид ресурсов, з а д а ч а все ж е остается двумерной, т а к к а к в целевой функции имеются

156

две переменных —		X; и t/j.	Д л я	того чтобы	'избавиться
от двумерности, в в о д а м новую функцию:
У;>0.
Тогда з а д а ч а	при	фиксированном		К будет	сводиться к
следующей:
п
У,х(=А,	х , > 0 .
/=1
Д а н н а я з а д а ч а		является	одномерной, и		ее решение

можно осуществить изложенным ранее методом. Рекур рентное соотношение будет иметь вид:

hk(X)

min

хк)

gk(xk)}.

Таким образом, д л я

решения

необходимо

знание

функций g;(x() и

hi(X

— х(-). Функции

определяются

следующим

образом .

З а д а е м с я

допустимым

значением

х(. из интервала

0, 1, 2,

X. Д л я

данного

х1

определя

ем минимальное

значение функции

f^xl%

у,)

—

%yt

при

всех допустимых

значениях

из

интервала

У. Если

число значений

хг

и yt

по

100, то потребуется

104 вычислений. Окончательно будут запоминаться толь

ко	100 значений функции g/x.)			(для	всего	и н т е р в а л а
переменных) .
	Таким образом,	при	заданном фиксированном значе
нии	% определяются	п	функций	gi(Xi),	после	чего опти


мизация осуществляется обычным	методом динамическо
го программирования д л я случая	одномерной		задачи .
Однако полученное решение еще не		будет	оконча
тельным, т а к к а к значения переменных		х-р yt будут оп

ределяться величиной выбранного коэффициента Я,. П о

этому	по окончании расчета необходимо проверить		ус-
ловие	п	Если это условие д л я рассчитанных	yt
	У1УІ=В-
	i = i

не выполняется, то следует выбрать новое значение А и

вновь повторить	решение. Корректировка коэффициента
Я, п р о д о л ж а е т с я	до тех пор, п о к а не будет выполнено

157

	п
условие	V / / . =	73. Полученное решение является опти
мальны-м.	ц і
мальны-м.
Количество вычислений, производимых таким спосо
бом, зависит от		числа	итераций с коэффициентом	X. Д л я
снижения	числа	таких	итераций используются	методы

интерполяции и экстраполяции с целью скорейшего опре деления оптимального X. П р а к т и к а показывает, что не однократное решение одномерной задачи гораздо эффек тивнее, чем непосредственное решение методом одномер

ного динамического		программирования			двумерной		з а
дачи.
§ 3.8. Задачи динамического программирования
Оптимальное распределение			электрической			нагрузки
между	агрегатами электростанции.			И з л о ж е н н ы й н и ж е
алгоритм может быть использован				д л я	оптимизации		ре
ж и м а	гидроэлектростанция или		тепловой электростан
ции. Будем рассматривать решение з а д а ч и при						з а д а н н о м
составе включенного		оборудования. Предполагаются					из

вестными расходные характеристики агрегатов Qj(P,-). Требуется найти такое распределение нагрузки м е ж д у агрегатами, которое минимизировало бы расход первич

ной	энергии.
Математически		з а д а ч а формулируется	так:
minVQ.(P( .);			(3.1)
І	РІ = Р 0 ;		(3-2)
V рт\п < р . <		Ртах,	(3.3)

Условие (3.2) отвечает требованию баланса мощно стей, а неравенства (3.3) о т р а ж а ю т ограничения по ус ловиям работы силового оборудования .

Рекуррентное соотношение имеет в а д

hk(P) = min {ft*_,(P - P„) + Qk{Pk)).

Первый шаг решения сводится к нахождению функ ции Ііі(Р), при этом hi(P) = Q i f P ) , т. е. для первого ша-

158

га	не требуется		каких-либо	вычислений,	а	необходимо
только запомнить			значения	функции hi (Р)	д л я всех			дис
кретных значений			Р.			h2(P)
	Н а втором шаге определяется функция						из	ре
куррентного соотношения
	lu_(P) =	min [h^P — P,) +		Q2(P)\-
	Иначе	говоря,	на втором	шаге находится		эквивалент
н а я	расходная характеристика первого и				второго		агре
гатов.
	Н а последнем		шаге из рекуррентного		соотношения

ha{P) = min {Л„_,(Я -Р„) + Qn(Pn)}

определяется эквивалентная расходная характеристика п агрегатов. Оптимальный расход первичной энергии на

ходится путем подстановки в		функцию hn(P)	значения
Р0. З а т е м «обратным	ходом»	находятся оптимальные
нагрузки всех агрегатов.
Д л я и л л ю с т р а ц и и	вычислительной схемы		одномерно

го динамического программирования рассмотрим сле дующий пример. Требуется найти экономичное р а с п р е д е

ление	электрической			нагрузки,			равной		ПО	Мет,		м е ж д у
турбоагрегатами			трех	типов,		расходные			характеристики
которых з а д а н ы			в табличном			виде (табл. 3.2).
											Таблица 3.2
Тип						Нагрузка,		Mem
Тип
агрегата		5	10	.5	20		25	30	35	40	45	50
		5
К-50			32,6	43,4	54,2		65	75,8	86,6	97,4	109	120,6
Т-50			32	43	54		65	76	87	98	109	120
Т-25		16,25	27,5	38,75	50		61,25

Предполагается, что теплофикационные агрегаты ра ботают в чисто конденсационном режиме . С целью упро щения расчетов расходные характеристики з а д а н ы в уг-

рубланной сетке электрических нагрузок.
В	постановке	задачи п о л а г а е м , что к а ж д ы й из агре
гатов	не может	работать с нагрузкой м е н ь ш е минималь

но допустимой и более максимально	допустимой, равной
ее минимальной мощности. Пусть	аналитическое	в ы р а
жение расходной характеристики	агрегата имеет	вид

159-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ