книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

са задач:

выпуклые

и невыпуклые.

Предметом

нашего

изучения

будут з а д а ч и

выпуклого

программирования .

Д л я

задач

такого

типа

разработаны

эффективные

мето­

ды

решения,

некоторые из которых

будут рассмотрены

ниже. Д л я

з

а д а ч

невыпуклого программирования

не су­

том

их

специфических

особенностей

р а з р а б а т ы в а ю т с я

специальные

методы.

П р е ж д е чем

переходить

к

изложению

методов

нели­

нейного

выпуклого программирования, отметим

особен­

ности

задач

указанных

выше

двух

типов. С

этой це­

лью

сделаем

пояснения

о

свойствах

выпуклости

функ­

ций и области допустимых решений.

§ 2 . 1 . Свойства

выпуклости

Функция f(x)

является

выпуклой

в з а д а н н о м

интер­

вале

а^.х<Ь,

если д л я любых

двух точек Х \ и х2

из

дан ­

ного интервала

справедливо

соотношение

f{KXl

+ (1 -

Х)х2) <

ЩХі)

+

(1 - Щ х 2 )

(2.1)

при

0 < К 1 .

Х\—х2

Следовательно, выпуклая функция на отрезке

не может принимать

больших

значений,

чем

линейная

интерполяция

значений

f(xi)

и f(x2).

Н а

рис. В.1

пока­

зан

пример выпуклой

функции

одного переменного.

При -

веденное определение

выпуклости справедливо т а к ж е и

для функции

с несколькими переменными

f(xu

х2,

x„)=f(X).

В

этом случае к а ж д а я точка X

представляет

собой «-мерный вектор с координатами Х\,

х2,

•••,хп.

Если функция не удовлетворяет условию

(2.1), то

она

является невыпуклой. В . частности, функция

f(x) будет

называться

вогнутой,

если функция —f(x)

является

вы­

пуклой.

а

6

стемой линейных или нелинейных неравенств.

Область

допустимых решений называется выпуклой,

если с к а ж ­

дыми двумя точками X и У из этой области все точки

вида

XX + (1 — X)Y

п р и н а д л е ж а т области допустимых решений. На

рис. 2.1,

а и б показаны примеры выпуклых

областей. Где бы мы

в выпуклой области ни взяли две точки X и Y, отрезок,

соединяющий их, т а к ж е будет находиться в

данной вы­

пуклой области. Н а

рис. 2.2

показан

пример

невыпуклой

области.

Если выпуклая

целевая

функция

з а д а н а

в

выпуклой

чей выпуклого программирования . Если

ж е хотя бы це­

л е в а я функция и л и область допустимых

решений

невы­

пуклы, то мы имеем дело с задачей невыпуклого

про­

граммирования .

З а д а ч и выпуклого программирования

называют

так-

ж е одноэкстремальными,

потому

что у

них

существует

одна экстремальная точка,

д о с т а в л я ю щ а я

абсолютный

(глобальный)

минимум

или

максимум

задаче .

З а д а ч и

невыпуклого

программирования

называют

многоэкстре­

мальными,

потому что у них может

быть

не одна

экстре­

мальная

точка. Методы

выпуклого

программирования,

солютного оптимума . Точное решение задачи

при этом

не гарантируется.

§ 2.2. Теорема Куна—Таккера

В а ж н о е

место

в теории выпуклого программирования

занимает теорема

К у н а — Т а к к е р а . Эта теорема

представ ­

ляет

собой

обобщение метода множителей

Л а г р а н ж а

для

экстремальных задач, с о д е р ж а щ и х в качестве огра­

тельного м е т о д а решения з а д а ч .

Пусть рассматривается

с л е д у ю щ а я з а д а ч а :

min

/ { * ! ,

х2,...,

хп);

(2.2)

qt(xlt

х2,...,

хп)

< 0 (/ =

1, 2, ... , т ) ;

(2.3)

* , > ( ) .

(2.4)

Теорема

К у н а — Т а к к е р а

опирается на понятие седло -

вой точки,

которой

д а д и м определение. С этой целью з а ­

пишем

функцию Л а г р а н ж а

для рассматриваемой

з а д а ч и :

m

F(X,

l) =

f(X) +

2iXiqj(X).

Пара векторов

X

=

хъ

х2,...,

хп и

X — Хг,

Х2,...,

Хт

называется седловой

точкой

функции

F(X,

X)

в

области

х1 >- 0,

Xj >• 0

для

всех

і и

/, если

выполняется

следующее

соотношение:

F(X,

X) <

F(X,

X) <

F{X,

Kj.

(2.5)

Это

соотношение

может

быть

записано

т а к ж е

иначе:

F(X,

X) =

min

max

F(X,X).

(2.6)

A'

0

АГ О

Условие

(2.6)

требует

минимизации

функции

Л а ­

г р а н ж а

ПО ОДНОЙ Группе ПеремеИНЫХ

(Х = Х\, Xz,

хп)

и

максимизации по другой группе переменных

(Х=Х\,

Х%,

Хт). Искомое

решение и

определяет

седловую

точку.

М о ж н о д а т ь геометрическую интерпретацию

седловой

точке. С этой целью обратимся к рис. 2.3. Вдоль

оси

х\

целевая

функция

выпуклая,

а

вдоль

оси

х% —

вогнутая.

В точке

Х = 0(хі = 0, Х 2 = 0 )

целевая

функция

достигает

минимума по Х\ и максимума

по х% Н а рис.

2.4

д а н а

другая

геометрическая

интерпретация

седловой

точки.

Здесь показаны линии постоянного уровня целевой

функ­

ции в окрестности седловой точки. Из этой

геометриче­

ской интерпретации понятен смысл условия (2.6),

в

со­

ответствии с которым осуществляется минимизация

функ­

ции по X и максимизация

по X.

И т а к, з а д а ч а

нахождения

седловой

точки_

функции

f(xu

х2,

хп)

сводится

к нахождению точки X,

X,

удов­

летворяющей

соотношению (2.6).

Теорема Куна.—Таккера формулируется

следующим

образом: вектор

Х=

(хи

х2,

х„)

тогда

и

только

тогда

представляет_решение

задачи

(2.2)

—(2.4),

когда

сущест­

вует

вектор

% такой,

что F(X,

X)<F(X,

%)^F(X,

Я) для

всех

х'і > 0,

kj

>

0.

Д а н н у ю теорему мы

приводим

без доказательства, от­

сылая читателя к специальной литературе [14].

Таким образом, из

теоремы

К у н а — Т а к к е р а

вытека­

ет, что решение задачи

(2.2) — (2.4)

сводится к

нахож ­

дению седловой точки для функции

Л а г р а н ж а .

Учитывая, что условия К у н а — Т а к к е р а (2.5),

(2.6) от­

таком

виде:

m

l

f

_

i

L

+

V

l

A

>

0 ;

(2.7)

dF

х, = 0, л - , . >0;

(2.8)

дх,

dF

=

<7/<0;

.

(2.9)

дК,-

q,h

= 0 ,

\

> 0 .

(2.10)

Эти условия м о ж н о интерпретировать следующим об­

разом. Ввиду того что седловая точка

является

миними­

зирующей

по

отношению

к

к а ж д о й переменной

xh

она

не может

совпадать

с точкой, у

.,

dF

^ п

так

как

которой

-—

< 0 ,

иначе

функция

могла

бы уменьшаться

dxt

х,.

с увеличением

dF

Таким

образом,

в седловой

точке

^ 0 . В

то

ж е вре-

dxt

xt

мя, если в седловой

точке

> 0 ,

то

переменная

допустимых

решений, т а к

ж е как и в линейном програм ­

мировании,

представляет

выпуклый многогранник.

Н а рис. 2.5 п о к а з а н этот многогранник

для линейных

условий задачи, рассмотренной в § 1.1. Пусть

целевая

функция имеет общий вид (xi—а)2+(Х2—Ь)2=с.

З а д а ч а

состоит

в том,

чтобы найти

ту

точку многогранника, в

которой

целевая функция

приобретает

минимальное

(максимальное)

значение. К а к

видно из рис. 2.5,

имеют­

ся три

возможности решения

(для случая

минимизации

целевой функции) . Искомые оптимальные

точки

обозна­

чены через х*. Таким образом,

если в линейном програм ­

так и внутри области допустимых

решений.

З а п и ш е м условие

К у н а — Т а к к е р а

для

квадратичной

задачи . С этой целью составим функцию

Л а г р а н ж а :

п

п

п

т

п

F(x, х) = 2 Р Л +

2 2

W )

+ 2

М 2

anxi ~ bi)-

,•=1

t = l

j=l

i=]

1=1

С д е л а е м следующие

обозначения:

Тогда

будем

иметь

д л я

vL и у}

следующие

значения:

п

т

vt

= P i

+

221cifxj

+

'VXiaii;

п

у і =

2

а ч х і — b f

Условия

К у н а — Т а к к е р а

будут

иметь

вид:

п

ні

а)

pi + 2yicijXj

+

yiKiaijvi;

п

б) Ъ а ч х 1 — ь і = Ур

в) * , > 0 ,

> 0 , и г > 0 , А , ; . > 0 ;

г)

ад

+

4 ^ /

=

0.

Условия «а»—«в» образуют линейную систему у р а в ­

нений и неравенств. Условие «г» требует, чтобы из

к а ж ­

дых двух ограниченных

по знаку переменных xt

и

v-t (i/j

и Х;)

ПО крайней

мере

одна равнялась нулю. Всего пе­

ременных

в

линейной

системе 2 (т + п).

Следовательно,

все те решения

системы

«а»—«в»,

которые

образуют

множество

в о з м о ж н ы х

решений уравнения «г», характе ­

ризуются

тем, что

они

имеют число переменных, отлич­

ных от нуля, равное т + п. Остальные

переменные

д о л ж ­

ме равенств равно т + п, то, следовательно,

допустимые

решения н у ж н о выбирать среди базисных,

удовлетво­

7 Л. П. Падалко

97

Vа,.,.л7 = &,. (i =

l,

2 , . . . ,

ш);

X;

>

0.

Отметим, что здесь

п>т.

Пусть нам удалось

решить систему уравнений относи­

тельно т

переменных, -скажем, Х\, х2,

хт:

п—т

х ч

=

d

i +

2

(Я

= 1

2 ,

. . . ,

т ) ,

(2.14)

ft=i

где

zh

=

Л ' т

+ Л .

Будем назьгвать, как и в линейном

п р о г р а м м и р о в а ­

нии, переменные, стоящие в левой части,

базисными

или

зависимыми,

а

переменные

в правой

части

—

независи­

мыми, свободными.

И з теории линейного

программирова ­

ния известно,

что если

п—т

переменных

в

правой

части

приравнять нулю, то полученное решение

называется

ба­

зисным,

для которого xq=dq

и 2 f t = 0 . Базисное

решение,

полученное

из равенства

(2.14),

является исходным

д л я

решения

з а д а ч и

и з л а г а е м ы м

ниже методом-

В ы р а ж е н и е

(2.14) позволяет

представить /

как

функ­

цию свободных переменных. К в а д р а т и ч н а я

форма

примет

следующий

вид:

Кх\<

x-i-i ••• > хп)

=

fi(zlt

z2 ,

... , z „ _ m )

=

c0 0 -f-

n—m

n—m n—m

n—m

n—m

+ 2 2 c0 A + 2 2 c"iziz"

= (coo + S c o A ) + 2 (с л° +

1=1

/,=1

i = l

J = l

/,=1

+

УІ

cmzi)zh

=

(coo +

c o A

+

••• +

c0, „_,„?„_„,)

1 +

+

(Сю

+

С Ц Я І

+

. . . +

C|,

п-тїп-тУг

+

(C2 0

+

C2 1 2,

+

. . .

-f-

+

c2,

n—m

Zn—m)

Zo - j -

••• -f~ (Cn—m,

0

~T"

Cn—m, 1z

l

+

•••

+

-f" Cn—m,

n—m Zn—m)

Zn—m,

где

с й

=

сЛ . для Л,

i = 0,

1, 2,

/г—/?г.

Н е т р у д но убедиться,

что в ы р а ж е н и е

в скобках при zh

есть не что иное, к а к ^ —

• — — . В частности, дл я

исходной

2

дг„

1

точки

(z f t =0,

А = 1 , 2,

я — т ) —

•

= с;о .

Значе -

ниє /і в исходной точке р а в н о

с'т.

Условия

К у н а — Т а к к е р а

имеют

следующий

вид:

d f l

- > 0 ;

(2.15)

дгк

0.

(2.16)

менять местами, т. е. Z\ перевести в

р а з р я д базисных

на

место Х\,

а А'і — в р а з р я д переменных на место

Z\. Таким

образом,

базисными переменными

теперь

будут

Z\,

х2, х3, -.,

хт. Переменные хи 2 Ь г2 ,

г„-т

будут рав ­

ны нулю. Пр и этом переменная z{

выразится

через

но­

вые независимые переменные из равенства

(2.14):

Т-

99