Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

п —rn

" п

"її

/ і = 2

H - d ^ - 2 ] r f f A z f t -

(2.17)

Л = 2

С помощью в ы р а ж е н и я

(2.17),

исключив

Z\ из

систе

мы (2.14), получим

новую систему:

п—т

х ,

= d% + d l Xi +

V A

(9 =

3, ... .

/І -

яг).

(2.18)

Л = 2

К а к видно, .переход

от системы

(2.14)

(2.18)

анало

гичен

соответствующему преобразованию

симплексного

метода.

Д а л е е через

новые

свободные

переменные

в ы р а ж а е т

ся функция

f(X):

п—т

/ 2 ( * ! , А",, . . .

Хп) =

(4,

С^Хг +

С о Д . )

1=2

+ (4, + ^ + 2Jcl A )^ + .. . + ( 2 с„о + с»> +

« = 2

/1=2

п— т

+2c w z,)z f t .

i = 2

Д а л е е процедура преобразований п р о д о л ж а е т с я ана

логично, если, конечно, условие К у н а — Т а к к е р а	! > 0
	дгл
не выполнено хотя бы дл я одной переменной.	К а к толь

ко дл я всех свободных переменных будут выполнены ус ловия (2.15), задачу молено считать решенной.

Рассмотрим теперь случай, когда в процессе решения

окажется, что —-— ооращается в нуль раньше, чем ка- dzx

кая - либо базисная переменная . Введем новую, не ог раниченную по знаку переменную

и, = •	1	д?
и, = •		'
	2	дгх

100

которую назовем добавочной. Эта переменная связана со свободными переменными соотношением

				п—т
	" і =	<о +		У\|	cVizn =	J -	. - \| L .	(2.19)
	Теперь в качестве свободных переменных принимаем
U\,	2г,	2„_,„.			Переменную		2, ПЄрЄВОДНМ В баЗИС. Но -
вая	базисная			переменная		Z\	в ы р а ж а е т с я в виде	функции
свободных			переменных из равенства (2.19):
		с',п	'		1		_
		1 0	'		" і •—	C	Z A — ^10 +
				— « 1 —		^ j	^lft*A - "їо
		С 1 1		6 1 1
			п—т
+ d \ { i h + ^ d \ h					z h .			(2.20)

Л= 2

Сп о м о щ ь ю равенства (2.20) исключается из форму

лы (2.19) переменная zit в результате чего получается новая система:

		п—т
х , = d24o + d2qi " і + S			= 1, 2 , . . . , m, m + 1).
И,	наконец,	функция	f в ы р а ж а е т с я	через новые сво
бодные переменные.
В	результате	такого	преобразования	число базисных

неизвестных увеличилось на единицу за счет введения

переменной 2 ] . В свободные переменные			В Х О Д Я Т «і, 22 ,
Z n - m ,	а в базисные — хи х%	Х т , 2 г .
От	полученного базисного	решения	осуществляется

аналогичный переход к следующему базисному решению, если условия Куна—Танжера не выполняются. Отметим,

что для переменной		«і условие	К у н а — Т а к к е р а имеет вид
А = о .
Если	4= 0,	то значение	f можно уменьшать за

счет допустимых вариаций переменной щ, т а к как щ не ограничена по знаку. Если добавочная переменная ока-

101


ж е т ся отличной			от нуля, то ее следует		исключить из вы
р а ж е н и я	для	/	и из равенств для базисных			переменных
и їв дальнейшем			не 'принимать во (внимание.
Существует дополнительное правило: переход к сле
дующему решению нужно осуществлять п р е ж д е							всего	за
счет изменения добавочных				переменных.
И з л о ж и м		теперь о б щ у ю		схему перехода		от	/г-го	к
k+l-ыу	решению. Пусть на			некотором	шаге		целевая
функция	представлена так:

Среди всех п—т переменных г\ могут находиться 5 добавочных переменных «;- и п—т—s переменных, огра ниченных по знаку . В базис входят m + s переменных, линейно в ы р а ж а ю щ и х с я через свободные переменные по ф о р м у л а м :

п—т

хя = d% + 2 Л Л (<7 = 1, 2 , . . . , m + s).

Л=1
Условия К у н а — Т а к к е р а для решения,		полученного па
й-м шаге, следующие:
. > 0 — для всех	ограниченных по	зна-
її			(2.21)
ку 2*;			(2.21)
= 0 — для всех	добавочных и-.
dUj
Если условия (2.21)	не выполняются,	следует	перехо
дить к новому решению с меньшим значением			/. Если
среди переменных, н а р у ш а ю щ и х условия		(2.21),	находит
ся добавочная переменная, то, согласно		дополнительно

му правилу, переход к базисному решению следует осу ществлять за счет этой переменной.

П р и переходе к следующему базисному решению мо

гут быть два	случая:
1) в результате изменения переменной		2 * с целью
уменьшения	функции f какая - либо базисная	переменная

раньше обращается в нуль, чем производная

102

2) производная	раньше о б р а щ а е т с я	в нуль, чем
какая - либо из базисных переменных.
В первом случае следует соответствующие		базисную и

независимую переменные поменять местами, с д е л а т ь пре образования в системе и приступить к с л е д у ю щ е м у шагу.

Во втором случае вводится новая добавочная пере менная и определяется новая система базисных перемен ных в результате добавления к п р е ж н е й системе неза висимой переменной 2*, на место которой ставится до бавочная переменная Uj.

В обоих случаях в результате каждого шага преоб разований целевая функция в ы р а ж а е т с я через новые не зависимые переменные. Оптимальное решение достигает

ся	после конечного числа		шагов. Критерием	оптимально
сти	является	соблюдение	условий К у н а — Т а к к е р а .
	Несмотря	на сложность и трудоемкость		расчетов при

ручном счете, изложенный алгоритм просто реализуется в стандартной п р о г р а м м е для Э Ц В М .

§ 2.4. Градиентные методы

Понятие о градиенте функции. Градиентные методы опираются на понятие градиента функции, поэтому, преж де чем излагать вычислительную схему градиентного ме тода, дадим истолкование градиента функции.

Пусть имеется непрерывная функция п переменных f(x-i, Х2, хп) с непрерывными первыми частными про изводными. Градиентом функции называется я-мерный вектор, элементами которого являются первые частные производные:

grad / f a , х 2 , . . . , хп) = (р-,		-?L,...,
\дхг	дх2	дхп I

Частные производные характеризуют скорость возра стания функции в направлении координатных осей. Абсо лютная величина градиента равняется геометрической сумме векторов, направленных вдоль соответствующих координатных осей и равных по величине частным про изводным:

103

Гр ади ент показывает направление наискорейшего возрастания функции в соответствующей точке. В лю бом другом направлении из этой точки скорость меньше. Чтобы пояснить это, попытаемся определить производ ную функции в ином направлении . Пусть направление задается вектором г. Предположим, что |/"| = 1. Тогда производная функции f по направлению г будет равна

	п
dfjXj, х 2 , . . . , х„) = ^	dfjxlt л - 2 , . . . , х„) г
dr	dxt

Выражение , стоящее под знаком суммы, может быть представлено в виде скалярного произведения двух век торов:

df{Xi,	хй	х„)		= grad/r (x1 ,	л -	2 , х п	) г .
	dr

Учитывая,		что с к а л я р н о е произведение					двух		векторов
равно произведению их модулей на косинус угла										межд у
ними, перепишем в ы р а ж е н и е так:
df(xx,	х 2 , . . . , А-„)			grad /(хх ,	л-2		хп)	г	cos а.
	dr

М а к с и м а л ь н о е значение для —^-						будет о р и			c o s a = l ,
				дг						/ и г.
т. е. при совпадении				направлений	векторов			grad
А при \| г\ — 1 будем			иметь

m a x df(Xl,	х,	хп)	= g r a d / ( X i ; ^	_
	dr
что и требовалось		показать .
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й градиентный метод.
сматривается	с л е д у ю щ а я		з а д а ч а :

Пусть рас

min f {х\, х2,... , хп);

g,{xlt х2, ... , л г „ ) < 0 (у = 1, 2,... , т);

* / > 0 .

Решение данной задачи можно рассматривать как на хождение такой траектории движения вектора Х= {х\,

104

х2, хп) от некоторого допустимого исходного решения. Х°, чтобы мы /получили оптимальное решение. Естествен но траекторию движения 'рассматривать вдоль линии ан

тиградиента,		т а к как	'при	этом скорость	уменьшения
функции	f(xh	х2,	хп)	получается	максимальной .
К. Эрроу	и Л .	Гурвиц	[37] показали, что градиентный ме

тод нахождения траектории движения описывается сле дующей системой дифференциальных уравнений:

— - =	— (i = l , 2 , . . . , я).
(it	дХ;

Здесь t — некоторый параметр, например время.

Г Р и с . 2.6.

Решение этого уравнения дает оптимальную т р а е к т о рию движения X(t) от некоторого начального вектора Xа к оптимальному без учета ограничений задачи . Особен

ностью искомой траектории	ш л я е т с я то, что она	перпен
дикулярна в к а ж д о й точке	Хк « поверхности	уровня .

Это означает, что направление траектории, исходящей из-

какой-либо точки Хк, совпадает с .направлением векто -
ра-антиградиента	в этой ж е точке.
Это видно из	рис. 2.6. Д л я того чтобы составить д и ф

ференциальное уравнение с учетом ограничений, з а п и ш е м

функцию	Л а г р а н ж а :
		т
F(X,	X) = f(X) +	yiXigj(X).

Н а х о ж д е н и е искомого решения при этом сводится к определению седловой точки, которая для выпуклой за-

105

д а ч и	будет совпадать с глобальным оптимумом. И м е я	в
виду,	что по X осуществляется минимизация, а \по к	—

максимизация, 'получим следующую систему дифферен циальных уравнений:

сіх,

если

л",- =

„

— -

дх:

дх,

•в

остальных

случаях;

если

dkj

dk,

— ' -

—

остальных случаях,

Если

исходить

из

начального

допустимого

решения,

то X(t)

—

решение

этой

системы

дифференциальных

уравнений — обладает тем свойством, что

lim

(/) = Х о п т .

/••со

Д а н н ы й

метод, основанный па решении системы диф

ференциальных уравнений,

не

дает

удобного

алгоритма

д л я Э Ц В М .

Более эффективным

является градиентный

метод с конечным шагом, при котором п р и б л и ж е н и е к оптимуму осуществляют не по траектории, а по кусочнолинейной кривой.

Градиентный метод с конечным шагом. Поиск оптиму ма начинается с некоторого исходного допустимого реше ния Х°. Если градиент в этой точке отличен от нуля, то это означает, что исходное решение можно улучшить. Алгоритм метода сводится к нахождению последователь

ности допустимых	решений	Хк, таких, чтобы выполня
л о с ь неравенство	Д Х * + 1 ) <	f{Xk).
Очередное решение определяется из уравнения
Х г =Х° — Xgrad/(X°),		(2.22)
в результате чего	получаем

106


П р и расчете следующего решения				по	уравнению
(2.22) возникает вопрос			о том, -какую следует		выбирать
величину		коэффициента	К, который определяет			размер
ш а г а от (предыдущего к			последующему	решению. Р а с
смотрим два варианта вычислительной схемы						решения
уравнения		(2.22).
В первом случае задается -постоянная величина па
раметра	Я, и длина шага		изменения переменной			опреде
ляется	в ы р а ж е н и е м

Р и с . 2.7.

Такой метод расчета ш а г а обладает тем					достоинст
вом, что по мере приближения, к оптимуму значения						про
изводных уменьшаются, и, следовательно,				автоматически
уменьшается длина		шага .
После н а х о ж д е н и я очередного			решения	Хк+1	= Хк +
-\-АХ&	производится	определение	градиента в точке			Xk+l
и аналогично осуществляется поиск следующего						реше
ния.	Геометрическая	иллюстрация х а р а к т е р а			движения

к оптимуму в методе градиента показана на рис. 2.7.

Критерием -окончания решения является выполни мость условия

107

п
	(2.23)
/=і
где б — малое положительное число.
В а ж н ы м моментом в реализации этого метода	являет
ся выбор подходящей величины коэффициента	Х- Если

его выбрать слишком малым, то движение к оптимуму бу

дет очень долгим из-за	необходимости расчета	градиента
во многих точках. С другой стороны, при слишком			боль
шом значении X может	возникнуть незатухающий		про
цесс поиска в районе оптимума. П р е д л а г а е т с я		в ряде вы
числительных схем по	мере п р и б л и ж е н и я к	оптимуму
снижать величину коэффициента X.
Во втором варианте	реализации градиентного метода

поиск следующего решения осуществляется так: величи


на коэффициента X выбирается такой,	которая	миними
зировала бы целевую функцию по линии градиента,			рас
считанного в исходной точке. И н ы м и	словами,	выбира
ется значение X, минимизирующее	функцию f[Xk		—

— X grad f(Xk)]. Д л я этого требуется решить уравнение

дХ

Но решение этого уравнения может оказаться очень трудоемким . С а м ы й простой способ состоит в вычисле

нии функции f[Xk—			X grad		f(Xk)]	дл я коэффициента					X,
приобретающего			значения		АХ, 2АХ,		ЗАХ,		....	Здесь
АХ — интервал, на который разбивается X. Окончательно
выбирается		то значение X, дл я которого					функция			f[Xk	—
— X grad f(Xk)]		приобретает			минимальное			значение. Д л я
данного X вычисляются				Хк+1	и величина			целевой		функ
ции. Если в новой точке				Хк+І	решение		неоптимально, то
аналогично		продолжается расчет д а л ь ш е :						Хк+2	= Xk+l		—
— Xgvad
В а ж н о е значение пр и реализации этого метода										имеет
выбор	величины интервала				АХ. И з л о ж е н н ы й				алгоритм
поиска	оптимума		называется			методом			наискорейшего
спуска.	Его	геометрическая			интерпретация				дана		на

рис. 2.8.

Проекционный градиентный метод. Процедура поиска оптимального решения градиентным методом у с л о ж н я ется, если полученное в процессе расчета допустимое ре-

108

шение л е ж и т на границе множества допустимых реше ний. В этом случае не существует % такого, чтобы сле дующее решение оказалось допустимым. Если мы будем двигаться по линии градиента, то некоторые из нера венств и условий неотрицательности переменных будут нарушаться . Выясним, в каком направлении следует дви


гаться, чтобы ограничения не нарушались,								а	целевая
функция	уменьшалась .
Н а рис.		2.9	показаны в ы п у к л а я область допустимых
решений	и	линии		уровней нелинейной функции					цели.
Предположим,			что	градиентный		процесс	начинается			с
допустимого		решения Х°. Геометрическая					интерпретация
дается для задачи максимизации . Пусть							в	результате
движения по линии градиента мы пришли							в точку X'.			И з
этой точки двигаться д а л ь ш е					в	направлении		градиента
нельзя,	т а к	как м ы выйдем за пределы допустимой								об
ласти . Наиболее подходящим					допустимым		направлением

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ