Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Таблица 1-2

			Свободные переменные
Базисные	Свободные
переменные	члены	х,	xs
		х,	xs
4 + 1	P i —		aIs—^ais'xlj

Xk+l

а д — X a / l a-lj

als—lals*ij

а1к—Л"lkal і

Xk+m
F	Ik—Ішу

	Т а к им образом, при использовании симплексных т а б
лиц	нет необходимости к а ж д ы й раз	проделывать	с л о ж
ные	алгебраические преобразования .	Стандартный	алго

ритм перехода от одной таблицы к другой позволяет до статочно просто программировать решение на Э Ц В М . П р и з н а к о м оптимальности решения является неположи тельность всех элементов последней строки таблицы .

§1 . 5 .Отыскание допустимого базисного решения

Пр и изложении вычислительной схемы симплексного метода мы требовали, чтобы система ограничений была приведена к виду (1.2). Иными словами, предваритель ным шагом к решению задачи симплексным методом я в ляется нахождение допустимого базисного решения. В о

многих з а д а ч а х базисное	решение находится	весьма про
сто, как, в частности, в	используемом нами	иллюстра

тивном примере. В других з а д а ч а х нахождение исходно го допустимого решения оказывается более сложным . Н е останавливаясь подробно на этом вопросе, мы отметим один из приемов отыскания допустимого базисного реше ния, называемый обычно методом искусственного базиса.

Пусть система ограничений записана в общем виде:

anXi	+ a12x2	+...+а1пхп				=	Ьг;
&21Х1	~Ь OonXv, -\- ... -f- QonXn						=	Ь2 і			/1 л \
a m l X l	+ am"X1	+	•••	+ amnXn		=	bm- .
Свободные члены д о л ж н ы							быть		неотрицательными.
Если для какого-либо уравнения это не выполняется,											мы
у м н о ж а е м его на —1.
Введем вспомогательные, или искусственные, пере
менные	уи у%		ут,	связанные				с Х\,	х2,	хп уравне
ниями:
у1 =	Ь1 — (а1гхх		+	а1 2 л-2	+	... +		а1пхп);
У-2 =	Ь» — ( « 2 1 * 1		+	й22Х2	+	•••	+ а2„Хп)'<			/1	сч
У,п =	Ьт — (атЛхх		+ ат,х,			+	... +		атпхп).

Очевидно, решению системы	(1.4) д о л ж н о		отвечать
решение системы (1.5) с условием	г/і=0,	(/2 = 0,	ут = 0 .
В системе (1.5) переменные	у2,	Ут	образуют

базис. Предположим, что нам удалось, отправляясь от

этого

базиса,

перейти

другому,

не

с о д е р ж а щ е м у

уг,

І/2,

Ут- Иными словами,

допустим,

что после

преобра

зований

мы получим систему:

* i =

i — ( a i i - V m + H -

•••

+ a i n * „

+ Y

i i #

. . .

+У1тУт)\

x2=$2—{a.llxm,l+

... +аіпхп+упу1+

...

+y.lmym);

Xm = $m—(amlxm + l+

••• +атпХп

+ УтіУі +

- +УттУт)-

(1-6)

П о л а г а я здесь tj\,

г/г,

•

Ут

равными нулю,

получим

систему:

* і = Рі — ( « і Л + і +

+ « і п - 0 ;

(1.7)

Л 'ш =

Рш

( а ш А ! 1 ~Г

•••

" Т " а т ; Л і ) .

Э т а система

д о л ж н а быть равносильна

системе

(1.4), и

поэтому з а д а ч а нахождения допустимого базисного

ре

шения

выполнена.

Д л я

того

чтобы перейти от

системы

(1.4)

системе

.(1.7),

необходимо решить

задачу

минимизации:

min F = yl

+ ya + ... + уп

(1.8)

при ограничениях (1.5).

Если

при

рассмотрении

последней

симплекс-таблицы

о к а ж е т с я ,

что переменные

у\, г/2,

Ут

будут

свободны

ми, то это

означает, что

мы пришли к системе

(1.6),

т. е.

з а д а ч а

решена. Ц е л е в а я

функция

(1.8)

приобретает

при

этом нулевое

значение.

Если

ж е о к а ж е т с я ,

что min F

0, то это означает,

что

система

(1.4)

не имеет неотрицательных

решений. Отсю

да вытекает,

что и задача

линейного

программирования

т а к ж е

не имеет решения.

§ 1.6. Теория двойственности в линейном

программировании

Р а с с м о т р им следующую				з а д а ч у	об	использовании
сырья. Д л я		производства	двух	видов продукции				исполь
зуются четыре вида сырья . З а п а с ы сырья						и его расход на
изготовление единицы к а ж д о г о				вида продукции			з а д а ю т с я
табл .	1.3. Коэффициент		аи- показывает,			сколько		требу
ется	сырья	1-го вида д л я	производства		единицы			продук
ции вида /.
						Таблица 1.3
				Продукция
Виды	сырья	Запас сырья				1
						1
	1	ь.		«и			«12
	2	ь.					«22
	3			«31			«32
	4			«41			«42
Доход
В	последней строке у к а з а н			доход,	который		получает

предприятие от реализации единицы к а ж д о г о вида про дукции.

Математическая				формулировка задачи		такова:
max	{сххг	+	с2х2);				(1.9)
a i i x i + а и х 2 < Ьх;
азххх	+ а32х2		< b3;
« 4 1 * 1 +		« 4 2 * 2 < bA.
Иными		словами,		требуется	максимизировать		доход
при соблюдении ограничений (1.10). Здесь						х \ и х 2	— ко
личество продукции				соответственно 1-го и		2-го видов.
Рассмотрим теперь другую задачу . Предположим, что
некоторая		организация ж е л а е т			приобрести	сырье,	кото

рым располагает предприятие. Спрашивается: по какой

цене предприятие	будет продавать			сырье	организации?
Обозначим через	уи у2,	Уз, УІ цену		к а ж д о г о	вида сырья.
Ясно, что предприятие		не	будет продавать сырье, если
выручка от этой	п р о д а ж и		окажется	меньше дохода, ко-

3 Л. П. Падалко

торый оно получает при изготовлении продукции. Этому условию отвечают неравенства:

аііУі + а,2у2 + a3„y3 + ai2y4 > c2 .

В то ж е время о б щ а я стоимость всех запасов сырья, приобретаемых организацией,составит

hUi + bzy2 + b3y3 + ЬЛ yt.

Ясно, что организация стремится минимизировать за траты на приобретение сырья. Таким образом, мы при ходим к следующей з а д а ч е линейного программирова ния:

min		+	b„y„ + b3tj3			+ biiji);				(1.11)
вцУі	+	а»гУі +		апУз	+ СЦ\УІ		>	сі,	)	(1.12)
										(1.12)
вііУі	+	« 2 2 0 2 +		аз°Уз	+	a^JJi	>	с».	)
Сравнивая			данную		задачу		с предыдущей, мы заме
чаем следующие				особенности:
1) матрица
w 1 2	а 2 ї а32		а 4 „/

при переменных у\, у2, уз, УІ получается из матрицы при переменных хи х2

^21	^ 2 °
а 3 1	а32
с 4 1	а 4 2
транспонированием, т. е. заменой		строк столбцами;
2) неравенства в системах ограничений направлены в.
разные	стороны;
3)	роль свободных членов	в системе ограничений
(1.12) выполняют коэффициенты		максимизируемой функ-

ции (1.9). В то ж е время коэффициенты минимизируемой функции являются свободными членами системы ограни

чений

(1.10);

в .первой

задач е

целевая

функция

максимизирует

ся, во второй — минимизируется.

Д в е

задачи

линейного

программирования,

имеющие

такие связи м е ж д у собой, называются взаимно

двойствен

ными.

Таким образом, если п р я м а я

з а д а ч а

линейного про

граммирования

имеет такой вид:

max

+ с2 *2 +

... +

спхп);

% Л + а12х„

+ ... + а1ах„

< V .

°ПХ1

+ ^22*2 +

••• + а2пХП

Ь „ \

а « Л

+ а„.2х2

••• + a m n x n <

Ьт;

* х > 0 , - v 2 > 0 ,

... ,

л - „ > 0 ,

то двойственная к ней будет следующей:

min [Ьш + b2y2 + ... +

bmijm}\

ОііУі

+ аиУг

••• +

ат\Ут>с\>

аігУі

+ а-ігУг +

••• +

атіут

> с3 ;

ащУі

+ а2пУ2

••• + атпут

ст.

Основой теории двойственности является

теорема: если

одна

из двойственных

задач

линейного

программирования

имеет решение,

то и

другая

задача

также

имеет решение,

при

этом

максимум

одной

задачи

равен

минимуму

другой.

Эту

теорему можно доказать,

прибегнув

множите

л я м Л а г р а н ж а . С этой

целью составим

функцию

Л а г р а н -

ж а для прямой

задачи:

^ і = 2 с Л + 2 yfti

- 2

Ч*Ъ-

i=\

/=1

1=1

П е р е п и ш ем эту функцию в следующем виде:

т	п	т
1=1	1=1	1=1

Перепишем теперь двойственную задачу в следующем виде:

т а х ( — 2 ^ у ) ;

— с4

2 а д > о .

Составим

дл я нее т а к ж е

функцию

Л а г р а н ж а :

F *

bjyj

V л - Д -

C i

+ V

а .

.у.).

/=1

i=l

/=1

При

записи

функции

Л а г р а н ж а

для прямой

задачи

множители

Л а г р а н ж а обозначили так же, как и перемен

ные

двойственной

задачи,

а в

функции Л а г р а н ж а

для

двойственной задачи множители

Л а г р а н ж а обозначались,

к а к .переменные прямой задачи .

Из сопоставления обеих функций можно убедиться в

справедливости

соотношения max F o r n a x ( — F 2 ) ,

кото

рое

у т в е р ж д а е т

равенство

значений

целевой

функции

прямой и двойственной задач .

Выводы

этой

теоремы

оказываются весьма полезны

ми для решения з а д а ч линейного программирования . В

ряде случаев целесообразнее решить двойственную		зада
чу, а затем перейти к исходной — прямой задаче .
М ы рассмотрели формулировку двойственной		з а д а ч и
для случая, когда в прямой	з а д а ч е ограничения з а д а н ы в
форме неравенств. М о ж н о	привести формулировку	двой

ственной задачи и для случая ограничений — равенств в прямой задаче . Пусть п р я м а я з а д а ч а записана так:

min i=\V сих-,

п.

= bj ( / = 1, 2 , . . . , m);

j=i

Д в о й с т в е н н ая з а д а ч а : max V bjtjj,

т
2 a y ^ y < c t (' =	!' 2 - ••• .
/ - і
К а к видно, в таком	случае в двойственной	з а д а ч е отсут
ствуют требования	неотрицательности переменных.
§ 1.7. Транспортная	з а д а ч а
Формулировка транспортной задачи .		Транспортная

з а д а ч а формулируется следующим образом . Имеется т пунктов производства однородного продукта и п пунктов

потребления. З а д а н ы объемы производства а:							к а ж д о г о
пункта производства и размеры потребления Ь-}							к а ж д о г о
пункта потребления. Известна стоимость перевозки								сГ;
единицы	продукта из і-го пункта					в /-й. Требуется соста
вить наиболее экономичный план						перевозок.
Математически задача					формулируется так:
т	п
m i n 2	2 < W ,						(1-13)
1=1 / = і
У1хі]	= аі	(t =	l ,	2,...,	m);		(1.14)
in
2 * . ; = Л		0 ' =	1,	2 , . . . ,	n);		(1.15)
* „ • > ( ) .							(1.16)
Равенства (1.14) гарантируют полный вывоз продукта
из всех пунктов			производства. Равенства (1.15)				обеспе

чивают полное удовлетворение спроса всех пунктов по требления.

В некоторых з а д а ч а х не ставится требование		баланса
производства и потребления, и условия-равенства		(1.14)
в таком	случае заменяются неравенствами
п	< ah
У, хп	< ah

о з н а ч а ю щ и м и, что из каждого пункта производства не может быть вывезено больше продукта, чем его там име


ется. Транспортная з а д а ч а				в такой	форме		называется
открытой		транспортной	моделью.
К а к	и л ю б а я другая з а д а ч а линейного					программиро
вания,	транспортная		з а д а ч а	может	быть	решена		симп
лексным		методом. О д н а к о для транспортной					задачи	раз

работаны более эффективные методы, один из которых — метод потенциалов — мы рассмотрим ниже.

Критерий оптимальности решения транспортной зада чи. Методы решения транспортной задачи опираются на результаты теории двойственности. Приведем формули ровку двойственной транспортной задачи . С этой целью

обозначим переменные двойственной				задачи	так: v\,		v2,
vn,—«і,	— и 2 ,		— um. З н а к минус	перед	щ	ставится
ради удобства		изложения .
Тогда задача, двойственная по отношению к транс
портной, будет иметь следующий вид:
max \|	V 6 / D /	— v a , 4 ;				(1.17)
І /=і		i=i	і
—		( і =	1, 2 , . . . , m\ }= 1,	2 , . . . , л).		(1.18)
Поясним экономический смысл двойственной задачи .
Если величины		—«,-, Vj интерпретировать ка к оценки					еди

ницы транспортируемого продукта в пунктах производст ва и потребления, то условие (1.18) означает, что прираще ние оценки единицы продукта при его перевозке по ij-n коммуникации не д о л ж н о превысить транспортных рас ходов Су. Условие (1.17) отвечает требованию максими зации приращения суммарной оценки перевозимого про дукта.

Переменные Vj и uL называются потенциалами.	Решение
задачи сводится к выбору таких потенциалов	пунктов

производства и потребления, которые бы удовлетворяли системе ограничений (1.18) и максимизировали линей

ную	функцию (1.17). Н а х о ж д е н и е	указанных	потенциа
лов	можно было бы осуществить	симплексным	методом,

однако мы рассмотрим иной метод решения — метод по тенциалов. Этот метод вытекает из вида критерия опти мальности транспортной задачи, формулируемого в сле дующей форме.

О п т и м а л ь н ое решение задачи (1.17), (1.18) удовле творяет следующим условиям:

vj — щ =	си,	если	хі}	>	0;	(1.19)
Vj — щ <	Сц,	если	хц	=	0.	(1-20)
Не останавливаясь на выводе этого условия,						дадим
ему экономическое истолкование. Условие (1.20)						означа

ет, что если приращение оценки продукции при ее пе

ревозке по коммуникации	Ц меньше транспортных рас
ходов, то д а н н а я перевозка	нецелесообразна и ее значе

ние в оптимальном плане д о л ж н о быть равно нулю . Там

ж е , где	Ху>0, приращение оценки должно равняться за
т р а т а м	на транспортировку.
Вычислительная схема метода потенциала сводится

к такому целенаправленному подбору потенциалов 'пунк тов, при котором удовлетворяются условия (1.19), (1.20). Ввиду того что использование метода потенциалов пред полагает предварительное получение допустимого базис ного решения, мы рассмотрим ниже один из методов по лучения такого решения.

Метод «северо-западного угла» отыскания допустимо го базисного решения. Суть метода сводится к следую щему . Пусть условия транспортной задачи записаны в табл . 1.4.

Таблица 1.4

Пункты произ-		Пункты	потребления
Пункты произ-					Запасы
водстаа	Я,	в.	в*	в,	Запасы
водстаа

Л	40				60
А,					80
Л3	40	60	80	60	100
Потребность	40	60	80	60

Попытаемся удовлетворить потребность первого пунк та потребления Ві запасом из пункта А\. В данном слу чае потребность м о ж н о удовлетворить полностью. Впи сываем в клетку число Хц = 40. В результате приходим к новой таблице, без первого столбца, та к к а к потребность пункта В\ удовлетворена полностью (табл. 1.5).

К	этой таблице	применяем тот	ж е прием.	Потреб
ность	пункта В2 за	счет At м о ж н о	удовлетворить	только

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ