книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

ных сетей объединенных энергосистем, распределитель­ ных сетей. Такой подход позволяет более детально отра­ зить свойства изучаемых подсистем, хотя при этом из-за необходимости взаимоувязки решений частных моделей несколько увеличивается время расчетов.

Наличие математической модели исследуемого про­ цесса позволяет переходить к третьему этапу — нахож ­ дению метода решения задачи . П р и этом если составлен­ ная модель укладывается в рамки существующих мате­ матических моделей, д л я которых р а з р а б о т а н ы матема ­ тические методы решения, то выполнение третьего этапа будет сводиться к выбору соответствующего формально ­ го метода. В противном случае необходим поиск иных подходов к решению, который может осуществляться раз ­ личными путями, а именно:

1) сведение полученной математической модели к дру­ гой, д л я которой существуют методы решения, за счет не­ которых допущений, например з а м е н а нелинейности ли­ нейной зависимостью. Такие допущения, разумеется, мо­ гут быть оправданы не всегда, а только в тех случаях, когда это не приведет к существенному искажению в результатах решения;

2)поиск новых принципиальных методов решения или

же модификация существующих;

3)разработка приближенных, специализированных методов решения, основанных на глубоком понимании

тоды решения экстремальных задач, методы математиче ­ ского программирования . Эти методы, р а з р а б о т а н н ы е сравнительно недавно, получили свое прикладное приме­ нение в 50-е и 60-е годы. И х появление и развитие в зна­ чительной степени обусловлено развитием цифровой вы­ числительной техники, ибо только в сочетании с вычи­

10

м ые значения переменных находятся к а к результат ре­ шения системы уравнений вида

общем виде, численное решение системы во многих слу­

ет минимуму, если отрицательный — максимуму . Не ­

ную форму матрицы, составленной из всех вторых част­ ных дифференциалов анализируемой функции [12].

зуются тем, что искомое решение д о л ж н о удовлетворять системе ограничений, формулируемых в виде равенств и неравенств. Классический математический анализ дает метод решения только д л я таких условных экстремаль ­ ных задач, в которых ограничения записываются в виде равенств.

Пусть оптимизируемая (минимизируемая или макси­

11

мы тем самым определяем решение и условной экстре ­

дополнительным условиям задачи (В.4). Поскольку при этом выражение, стоящее под знаком суммы в функции

12

ч ае совокупность оптимальных значений xt не обязатель ­ но д о л ж н а удовлетворять условиям 'оптимальности (В.6), т а к к а к одно или несколько значений могут быть нулями, т. е. попасть на границы допустимой области, определяе ­ мой ограничениями. Если существует возможность опти­ мума при условии, что одно или более значений перемен­ ных равно нулю, то необходимо проверить различные ва­ рианты решений с предварительным приравниванием ну­ л ю к а ж д о й переменной и их комбинаций по две, три и

ки ограничения записываются в виде неравенств. Напри ­ мер, рассматривая з а д а ч у экономического распределения нагрузки м е ж д у станциями энергосистемы, необходимо учитывать ограничения в виде неравенств на располагае ­ мые мощности электростанций, на пропускные способно­

Требование з а д а ч и сводится к нахождению таких неотри­ цательных значений переменных х и х ^ , х п , которые, удовлетворяя системе ограничений (В.7), доставляли бы минимальное (максимальное) значение функции (В.4). Искомое решение может находиться как внутри, т а к и на границе области допустимых решений, определяемой си­

13

Р и с . В.1.

В то ж е время множители Л а г р а и ж а позволяют про­ анализировать условия оптимальности решения таких за ­ дач и наметить вычислительную схему решения. Д л я то­ го чтобы показать это, перепишем ограничения задачи в виде равенств путем добавления новых переменных:

ф; <*1, А-о,..., Хп) + Хп.;./ = 0,

где Xn+i — дополнительные неотрицательные переменные. Функция Л а г р а н ж а будет иметь вид

Беря производные по переменным и приравнива я их нулю, получим условия оптимальности, записанные в следующей форме:

14

Глава I

Л И Н Е Й Н О Е П Р О Г Р А М М И Р О В А Н И Е

З а д а ч а линейного программирования формулируется следующим образом: требуется найти значения п пере­

ского метода означает здесь то, что целевая функция и ограничения задачи находятся в линейной зависимости от переменных.

§ 1.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Рассмотрим геометрическую интерпретацию на кон­ кретном числовом примере. Пусть рассматривается за­ д а ч а :

max {2х1 + 3*,};

16

Система ограничении рассматриваемой задачи обра­ зует область допустимых решений, среди которых требу­

соответствующие этим уравнениям . Область допустимых решений д л я к а ж д о г о из неравенств находится по одну сторону прямой, соответствующей уравнению. Пересече­

стеме ограничений задачи .

К а к видно, число допустимых решений равно бесчис­ ленному множеству. Понятно, что решение задачи на ос­ нове прямого перебора крайне неэффективно и для за­ дач с большим числом переменных практически нереали-

з у е мо д а ж е при использовании самых быстродействую­ щих вычислительных машин . Необходим такой метод ре­ шения, который, не перебирая всех вариантов, позволял бы отыскивать оптимальное решение. Такие методы, ос­ нованные на целенаправленном переборе ограниченного числа вариантов, и составляют содержание линейного программирования .

венстве решение этой системы однозначно, и, следователь­

соответствует для двумерного пространства прямой, для трехмерного — плоскости и для многомерного — гипер­ плоскости. Пересечение этих плоскостей определяет гео­ метрическое место точек, удовлетворяющих системе ог­ раничений, т. е. область допустимых решений, внутри ко­ торой отыскивается оптимальное решение.

П р и д а д и м целевой функции какое-либо произвольное

раллельно самой себе в сторону увеличения функции, мы

Аналогичную наглядную геометрическую интерпрета­ цию можно д а т ь и д л я задачи с тремя .переменными. В этом случае многогранник будет определять пространство допустимых решений, а геометрическое место точек, в ко ­ торых целевая функция приобретает одинаковое значе­ ние, располагается на плоскости.

18

И з приведенной геометрической интерпретации видно, что оптимальное решение достигается в вершине много­

П р и числе переменных более трех д а т ь аналогичное наглядное геометрическое истолкование не представля ­

ременных. П р и этом многогранником допустимых реше­ ний будет являться /г-мерное пространство, границы ко­ торого определяются гиперплоскостями, и оптимальное решение, т а к ж е как и в предыдущих случаях, достига­ ется в вершине многогранника.

§ 1.2. Симплексный метод

Геометрическая интерпретация з а д а ч линейного про­ граммирования может быть использована д л я обосно­ вания численного метода решения этих задач . Использо ­

равенствам осуществляется путем введения дополнитель­ ных переменных. Например, из неравенства

п

с помощью дополнительной переменной х п + \ получают следующее равенство:

п

i=i

И д е ю вычислительной схемы симплексного метода поясним для рассмотренной ранее задачи с двумя пере­ менными. После сведения задачи к канонической форме получим:

max {2хх + Зх 2 };