книги из ГПНТБ / Падалко Л.П. Математические методы оптимального планирования развития и эксплуатации энергосистем учеб. пособие

x i

+

* 2 +

xs

=

6;

л-! +

2л-2 +

л-4 -

8,5;

A'I -1- A-3 =

4;

jts

+

x, =

3.

Перепишем

систему

ограничений так, чтобы одна

часть

переменных

была

в ы р а ж е н а через другую часть:

А'з = 6 — А'і

— А'2;

дг4 =

8,5 — . Yx -- 2л-,

А'5

=

4 — Лу,

хв

=

3 — х„.

При такой записи системы ограничений переменные,

стоящие

в левой

части, называют

базисными,

а стоящие

в правой

части,

— свободными.

Значениями

свободных

ют т а к ж е методом последовательного

улучшения

плана.

П о д планом

в данном случае понимается

базисное ре­

шение. Такое название, по-видимому, точнее

о т р а ж а е т

суть вычислительного метода.

Итак, идея симплексного метода заключается в после­

довательном

переходе от одной вершины

многогранника

к другой в

направлении улучшения

целевой

функции.

ции за счет изменения значений х х и х 2 . Нетрудно

убедить­

ся, что

увеличение

любой

из

них

приводит

к возра­

станию целевой функции. Будем

увеличивать только Х\.

Увеличение

Х \ допустимо

до тех пор, пока хотя

бы одна

из

базисных

переменных

окажется

равной нулю. Ясно,

Х \

можно увеличивать до 4: при

* i = 4 базисная

перемен­

ная х$

приобретает

нулевое

значение. Меняем

местами

х х

и х 5

, т. е. Х\ переносим

в левую, а х$ — в правую часть

ных переменных

х 2

и х$. В ы р а ж а я

новые

базисные

пере­

менные

А'з, х\,

Х\, х е и целевую функцию

через

Х2

И Xsr

получим:

max (8 — 2лг5

+

Зл'2 };

Л'з

=

2 - j - ЛГ5

Хп\

х 4

=

4,5 + хь

— 2ха_\

* i

=

4 — х Б ;

л*б= = :

3

л*2*

Н о в ое базисное

решение равно: * 2 = 0; * 5 = 0;

х3=2;

* 4 = 4,5;

* i

= 4;

* 6 = 3 .

Значение целевой функции: ^ = 8.

Буде м

теперь

увеличивать

х 2 .

П р и * 2 = 2

получим

*з = 0. Меняем местами х 3 и х 2

и, в ы р а ж а я

целевую

функ­

цию через х 3 и х 5

, получим:

т а х { 1 4 + х 5 — 3* 3 } ;

х2 — 2 -f- х5 — х3;

ХІ

=

0,5 — хъ

+

2х3;

* i

=

4 — х$',

хв

= 1 — х § -(-

х3.

Б а з и с н ое

решение: х3

= 0; х5

= 0;

х2 = 2;

ХІ = 0,5; Хі = 4;

x6=l.

Ц е л е в а я

функция:

F = 1 4 .

х$,

х5,

Д а л е е , увеличивая

значение

меняя

местами

х 4

и

после преобразований

получим:

max

(14,5

—л-3

— л - 4 );

х2

=

2,5

-J- х3

х 4 ;

хъ

=

0,5

+

2х3 —-л-4 ;

хх

=

3,5 — 2л-3

+ х 4 ;

х6

=

0,5 — х 3 +

х 4 .

Базисное

решение: *з = 0; х6

= 0,5; Хг = 2,5; х 4

= 0;

ху

=

=

3,5;

* 5 = 0 , 5 .

Значение целевой функции: 7* =

14,5.

Полученное решение

является оптимальным,

так

как

рое число

вершин

многогранника, причем к а ж д ы й

пере­

ход от одной вершины к следующей сопровождается

уве­

личением

целевой

функции.

шении з а д а ч и

симплексным методом. Отметим, что стан­

д а р т н а я вычислительная схема

симплексного

метода бу­

дет

излагаться

применительно

к. з а д а ч е

минимизации.

Эта

ж е схема

может быть использована

т а к ж е и для

максимизации,

но в этом случае требование

максимиза ­

можность такой

замены

вытекает из справедливости сле­

дующего соотношения:

max | J ] с Л |

= min |

— J j с Л

Пусть

з а д а ч а

линейного

программирования

имеет

вид:

min F — сххх

+

с2х2 + ... +

спхп;

ОЦХІ

+ а1гх2

+

... + а1пхп

= Ьг\

а 2 А

+ «22*2 +

... + а2пх„

= Ь2;

а / » А

+ flm2*2 + ••• + атпХп

—

' Х ! > 0 , х 2 > 0 , . . . , л - л > 0 .

З д е с ь

т<п.

Если

система

уравнений

независима, то число свобод­

ных переменных

равно п—m = k, а число базисных

пере­

менных

— т. Обозначим

свободные переменные

через

Х\, х2,

xk, а базисные переменные — xk+\,

Xk+ч,

Xk+m-

П р е д п о л о ж и м , что нам удалось одну

часть

пере­

свободных. Тогда задач у

линейного программирования

можн о переписать так:

min F = Y0 +

Y | * i + ••• +

У'кх»

A'ft-и =

а\хх

+

... +

a[kxk

+ pft;

x k + l

=

a'nxx

+

... +

a l k x k

+

ft;

x k + m

=

ixmxx

+

... +

a m k x k

+

pm .

Е с ли

Xt = 0,

x2 = 0,

xk=0,

то мы имеем

следующее

допустимое базисное

решение:

Xk+l =

Pi, Xk+2 = Р2, ... ,

Xk+l — Р/, ... ,

Xk+m

= P m .

П р е ж д е чем излагать

общую схему

перехода к сле­

*fc + i = P i — ( — a — •

a iuA 'fr);

Xn = P,« — ( - V ' l — -

-

min F = Y0 — ( y ^ +

... +

у„хл);

* t + i =

P x — (au A-! + ... + a17;,v,,);

A'ft+m =

P m — (a,„iA'i +

... +

а „ , Л ) -

Л 'й + I = Pi —

aljXp

X'k+i

= Pj —

aijxji

xk+m

— P m

amjXj-

переменные, для которых

«£0, можно не о б р а щ а т ь

вни­

мания .

Рассмотрим теперь те базисные

переменные,

дл я ко­

торых а ( 7 > 0 . Б а з и с н а я

переменная

о б р а щ а е т с я

в

нуль

при х.-=

ft

о

. Выберем среди всех отношений

'

наи-

меньшее, и пусть оно соответствует 1-му базисной

пере­

менной:

А _ =

п і і п - Ь _

( а ; - > 0 ) .

Тогда при возрастании Xj 'первой обращается в н у л ь

базисная

переменная

хь+с при значении х- равном

..

цательны. Коэффициент а/ ; -

называется

генеральным-

элементом.

Таким

образом,

для того

чтобы

определить

макси ­

мально

допустимое

значение

свободной

переменной

Xjy

мы д о л ж н ы найти

генеральный

элемент

<х(.;-. Д а л е е

сле­

дует

свободную

переменную

х}

и

базисную

.переменную

Xk+i

поменять

местами и выразить

новый

набор

базис­

ных Переме'ННЫХ

Л'А+1,

Xk+l-u

Xj,

Xk+i+U

Xk+m

через

новый

набор

свободных

переменных

Х\,

Лу _ и

З а п и ш е м

i-e

уравнение:

x k

+ i

- р,. — (адЛ-j + а/ 2 л\, -Ь ...

+

а , / _ ,

лу_і

+

a^-Xj

+

+

а</+1*7+1 +

••• +

а ; Л ) -

Поменяем

Xk+i

и xf

местами:

Xj

=

—

(Р, — ОдЛ"! —

... —

а,7 _1

л-/_1

—

—

аи

—

ац+ixj+i

—

aikxk).

И с к л ю ч им переменную Xj

из свободных переменных IB.

остальных

уравнениях

системы. Д л я

Z-ro уравнения

по ­

лучим

xk+i

=

Pi

—

Ia a

* i +

... +

a,;-_i x}-i

+

atj

ГГ 0Р/

I

L <ч

—

*1

" Г

•••

4

* / - !

" I

Л'А+І

І

+ l

+

+

+

+

c t / / + i

л : / + і

+

... +

alkxk\.

а и а п

х\

+

...+

< W - i

+ ( а / / - 1 -

Xj-i

— ~ x k . b

i

+

\a,j+i

аи

xI+l + ... +

[а1к

'-—

\х„

(1.3)

Ц е л е в а я

функция

в

результате

подстановки будет

•иметь вид

ъ

— -hr-

k i +

•••

+

+

l Y , - . - ^ k 1 au - ^ - M - M ^

Y; a«7±i

xi+i + ...

П р и н и м а я свободные переменные равными нулю, на­

ходим

новое базисное решение:

хх

=

0, ... ,

xk~i = 0, ... ,

хк =

0;

+ / = Р;

О/А

Р.'

а,

И«7

Т а к

ка к Xj = 0, х2 = 0,

хк

= 0, то целевая

функция

F = Уо

—•

Н а

этом

заканчивается

первый ша г решения. З а т е м

процесс решения повторяется

аналогично.

Критерием

ному относительно какого

-либо исходного

базиса.

2. В ы р а ж а е м

целевую

функцию через

свободные пе­

ременные. Если

в полученном в ы р а ж е н и и

все коэффици­

коэффициентов при Xj в правых частях

системы

ограни­

чений. Если

все числа

этого

столбца

неотрицательны,

то з а д а ч а не имеет

решения.

4. Пусть в столбце коэффициентов, упомянутых вы­

ше,

имеются

отрицательные. Д л я к а ж д о г о из них нахо-

о

дим

отношение

——. Выбираем

среди

этих

отношений

р

наименьшее. Пусть

оно соответствует

. Элемент

а,--

aU

называется

генеральным.

5. Переходим к новому базису, исключая из старого

Xk+i

и вводя

вместо него

Xj.

Д л я этой

цели

уравнение,

с о д е р ж а щ е е

Xk+i,

разрешается

относительно

xJt

и полу­

ченное таким

путем в ы р а ж е н и е

для х(

подставляем

во

все

остальные

уравнения

системы

ограничений.

После этого

в о з в р а щ а е м с я

к выполнению

п. 2.

К а к видно, изложенная процедура решения

является

довольно трудоемкой . В следующем

п а р а г р а ф е будет из­

л о ж е н о такое

решение с п о м о щ ь ю

симплексных

таблиц,

позволяющих

наиболее трудную часть вычислений свести

К а ж д а я строка

симплексной таблицы

соответствует

одному

уравнению

системы

ограничений

задачи . По ­

следняя

строка соответствует

целевой функции. Отметим,

ниях соответствующих

клеток.

Выполним теперь преобразования в симплексной

таб ­

лице в следующей

последовательности.

1. Выберем генеральный элемент и найдем

величину

* = - L ,

З а п и ш е м А в клетку

ij.

2. Умножим на

X все коэффициенты

(кроме

а у )

из

верхних отделений

і-й

строки и

поместим

полученные

произведения в нижние отделения

соответствующей клет­

ки этой ж е строки.

3. Умножим на —X все коэффициенты

(кроме

а/ у -)

из

верхних отделений

у-го

столбца и

поместим

полученные

нием записанных

подчеркнутых чисел из той ж е

1-й стро­

ки и того

ж е s-ro

столбца.

После

заполнения указанным образом всех

клеток

бодной переменной X: в базисную вместо Xk+i,

а послед­

ней — в свободную. Система соответствующих

алгебраи ­

ставим в ы р а ж е н и е (1.3) д л я

базисной

переменной

x^+i

со строкой k + l, то заметим

полное их

совпадение.