книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfносительно произвольной оси и оси , проходящей через центр масс тела, параллельно данной.
Теорема. Момент инерции тела относительно произволь ной оси параллельной оси, проходящей через центр масс, равен моменту инерции тела относительно оси, проходящей
через центр м асс, плюс величина, равная массе |
тела на |
||||
квадрат расстоянияj |
между осями. |
|
|
||
Дано: |
7 |
} |
d - расстояние между »сями; |
М - |
|
|
масса |
тела. |
|
|
|
Д о к а з а т ь : |
|
плос |
|||
Доказательство. |
Проведем через центр масс |
|
|||
Рис. |
г102 |
и |
гг |
. Эта плоскость |
кость, перпендикулярную осям |
|
|
пересечет ось |
г |
в точке |
0 |
(р и с. |
102 |
|
|
) . |
эЛ |
тА, |
’> kr |
xt f / i |
» |
> |
•*і-г а '/л7* ; |
1 |
^ L |
mt \(a tx A |
^ é t^ A |
|
\ ='L mc(aZf2axu 't ^ |
r r |
||
|
2éfrif#A= |
|
' 2аИ*тіхп^ Г т *> і * |
|||||
|
+ |
2 |
2S тг (а*^ |
|||||
|
«~І |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
+2*ті(хіг+У‘і ' > |
|
|
- |
м а с с а т е л а ; |
|||
|
а 2+ € г= с 1 2 ) |
|
|
|
||||
|
2аУ\т.х -^2аМ<х=Оі |
2аМхіс = <7 ; |
||||||
|
^ |
|
|
|
|
Г 1 |
2 2 ч |
|
|
=2&Mfrt<r 0 |
L ™ * f t * |
||||||
|
|
|
2tM<jK - j0 , |
|
|
(35) |
||
|
|
|
ъ |
- ъ у » * |
■ |
|||
|
|
|
§ |
I I . |
Работа |
и мощность |
||
|
Рассмотрим точку М, которая движется под действием |
|||||||
|
силы <?" |
по прямой |
AB (ри с. |
103). |
||||
|
Работа |
- это |
мера |
действия |
силы на материальную |
|||
|
точку на протяжении пути. |
|
|
|
||||
|
Работа |
на |
прямолинейном пути: |
(3 6 ) |
||||
-V |
или |
|
|
/4*1?Цл7jcasci. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г* 8
|
|
|
А ~ 3-47 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(37) |
||||
Работа равна скалярному произведении векторов |
силы |
||||||||||||||||
и перемещения. |
|
|
|
При oL |
» 0 |
A = ?a z> ü 7‘ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
при |
|
оі |
■ |
9 0 ° ^ '^ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
при |
оі |
а |
180 |
°A --!Fâz<0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа |
измеряется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
в килограмм-метрах в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
технической |
|
системе |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
единиц, в эргах (ди |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
нах) |
или дхеулях |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
эргов) |
|
|
- |
в |
физи |
|||||
|
|
|
Рис. |
Ю З |
( |
|
' |
|
|
|
|||||||
|
|
|
ческой |
системе. |
|
|
|||||||||||
Определим, чему будет равна работа на криволинейном |
|||||||||||||||||
участке |
пути (ри с. |
104). |
При движении точки |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
по |
||||||||||||
|
|
|
|
|
кривой |
сила |
|
& |
|
может |
|||||||
|
|
|
|
|
изменяться |
|
по |
величине и |
|||||||||
|
|
|
|
|
направлению. Разобьем |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
участок |
І-П |
на |
|
п |
|
участ |
||||||
|
|
|
|
|
ков и заменим кривую ло |
||||||||||||
|
|
|
|
|
маней |
|
линией. |
|
|
|
|
|
й ік |
||||
|
|
|
|
|
|
Работа |
на участке |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
будет |
й А =Эк Д |
7к |
, |
|
|
|||||||
д _ _ |
\ |
д: ^ |
|
|
на |
всей |
ломаной |
- |
|
|
|
||||||
* * |
, |
но |
линия была |
на |
|
самом |
деле |
|
не |
ло |
|||||||
маная, |
~ |
|
|
|
|||||||||||||
а |
крш ая , следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
149
Аі , г * іт. » (38)
а?-~0 к-,
1.Н
)іг - криволинейный интеграл.
&'и dz - можно записать через проекции на коорди
натные оси , связанные с точкой О,
Z - X i + y j + Zb |
у |
dz =dxi+dpj'tdzk |
j |
AJ |
^Xdx i- ydj/t-Zdz . |
(34) |
|
" 1,1
Вычисление криволинейного интеграла может быть сведе но к обычному определенному интегралу. Пусть уравнения движения точки такие:
а сила
?~&(х ,у * г , х ->у » i i t ) J
тогда
A j ' f J I х У & ) , 2 ( * ) , г ( і ) , * ( 0 , y ( t ) * i ( t ),t\ fc (t)d t +
* y [ j e ( t ) ,f ( t ) ,z ( t ) , * ( t),y (t) ,M t),t]y (t) c lt+ Z [*<*) ;
y(f);*(t),x (t),y(thz(t),t]è(t)dé ■= ^ Ф (i) di
или
150
(но)
t,
Мощность - это характеристика работы с точки зрения
времени, в течение которого она производится, t+at
пдА
|
|
ßгіт |
т |
|
где |
д А - ^3(t)<f(t)oit=&cp(t)o-cp(t)a i t |
||||||||
|
|
- 7" |
j |
|
|
|||||||||
/V”at~—ао |
|
|
|
|
ut |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ДІ |
~ |
|
|
|
-----------= |
(?(t) , U-d) . |
( « ) |
||||
|
|
N - € i m |
|
â t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
--- |
эрг |
в секунду, |
джоуль в |
секунду, |
||||
|
|
Единицы мощности: |
||||||||||||
килограмм-метр |
|
в секунду, |
лошадиная |
си ла, |
причем I вт= |
|||||||||
=І0 |
7 |
эрг/сек = I |
|
дж/сек = 0,102 |
кГм/сек, I |
л . с . |
= |
|||||||
= 75 кГм/сек. I |
квт |
= |
10^ |
вт |
= І 0 * ° |
эрг/сек = |
|
|||||||
* 102 кГм/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
§ 12 . Силовое поле. Работа консервативных сил |
||||||||||||
|
|
С и л о в ы м |
|
п о л е м |
называется часть про |
|||||||||
странства, в котором силы, действующие на точку или си стему точек, зависят от положения точек. Силы, завися щие от положения, принципиально отличаются от других
сил. |
Различие состоит |
в том, |
что |
проекции силы |
7 |
, с |
которой силовое полз |
действует на движущуюся в нем точ |
|||||
к у , |
будут заданными наперед функциями координат: |
|
||||
|
(X ?f/yZ) 1 |
^ |
У*) 7 |
(Х 7 |
• |
|
В силовом поле через каждую точку можно провести единственную силовую линию. Сила, действующая в сило вом поле на точку, направлена по касательной к сило-
т
вой линии. Пусть в силовом поле движется точка, тогда
будет совершаться работа (из положения |
Mt £ М2 |
): |
|
|
MhM2 мпм2
Криволинейна интервал в общем случае зависит от формы кривой.
Рассмотрим случай, когда работа не зависит от формы кривой, а определялась бы только начальным и конечным положениями. Необходимо существование такой функции
П(*,у,ш) |
» |
|
_ |
|
|
|
|
з п |
э п |
д п |
(42) |
||
Zx— |
t e ’ |
* f ~ d y 7 |
дш 7 |
|||
|
/ !( х ,у ,г ) называется потенциальной энергией сило вого поля, а само поле - потенциальным или консерватив ным.
При условии (42) под интегралом в работе будет сто
ять полный дифференциал |
м, |
м, |
|
м, |
М, |
Потенциальная энергия равна работе, |
которую |
совер |
|
шают силы поля при перемещении точки из |
данного |
положе |
|
ния в положение, где |
/ 7 ( х ,у ,г ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
132
§ 13. Кинетическая анергия точки и системы материальных точек. Теорема о выражении
кинетической энергии системы
Мера движения материальной точки называется кинети ческой энергией. Кинетическая энергия определяется фор мулой
/г
тГ Т т{°г * |
(W ) |
Для системы точек
Т - І |
r . - f Ü ' W - |
(,5) |
I‘ l |
i-l |
|
Предположим, что система совершает сложное движе ние, перемещаясь поступательно вместе с щентром масс и перемещаясь относительно центра масс (рис. 105). Опре делим кинетическую энергию в этом случае.
Рис. 105
153
,mi*t
V |
|
_ |
|
|
- |
радиус центра м а сс ; ? • - ?е * Д ^ |
|||
|
|
|
|
1 |
d(zc+p) |
d t |
d p |
||
|
|
сл= |
d?t |
е/*с |
|||||
|
|
Уг |
|
|
|
|
|
||
7 |
= іл |
* |
|
|
|
центра масс j |
|
||
— J - |
- |
|
скорость |
|
|||||
ОГ£ |
_ , |
- |
скорость |
движения |
точки |
относительно |
|||
d t |
|||||||||
dp; |
|
||||||||
- * гл |
|||||||||
центра м асс. Скарость абсолютная любой точки:
^^ г Д
Кинетическая энергия будет иметь вид:
т |
/ |
V |
|
- |
- |
|
/ |
- |
п |
|
|
|
|
|
|
7 |
'г7.- ( (Л + O'; |
|
|||||||||
/ = — |
/ |
т- £/. |
. = _ |
|
|||||||||
|
2 |
ь- > t |
г |
г |
|
о |
Lm! |
t \ |
С |
1 |
|
||
|
|
г-і |
|
|
|
|
ы< |
|
|
|
|
||
|
j |
п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
" |
|
L mi ^ c +L |
mi ^ i + T L |
|
|||||||||
|
|
г * / |
|
|
|
г=і |
|
|
|
|
|
гт* |
|
. п |
|
|
|
|
гг |
|
|
|
|
|
|
||
— у 1 m .ttiS = |
— г / ? |
У 1 |
г г і ~ — М |
t / 2 |
|
||||||||
Л ^ |
г |
С |
С |
2 |
С |
іті |
|
1 |
2 |
|
с |
|
|
Ы |
|
|
|
|
|
г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
маССа |
системы; |
|
|
|
|
|||||
£ т ; = Л * - |
|
а |
|
|
|||||||||
|
п |
1 с |
г |
|
л |
|
|
|
|
t y i |
= |
||
|
У /г> •с? сл'= |
|
Ы |
|
|
|
і=і |
d t |
|||||
|
І=І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15 4
f r 0 |
, |
так как |
начало |
недвижной системы коорди |
нат помещено в |
центре |
масс |
Т - кинетическая |
|
ті° і |
/—I |
пп-Ѵ-- |
||
|
|
■г г |
||
энергия системы при движении относительно центра м асс. Окончательно кинетическая энергия системы будет иметь вид:
2 |
. |
(46) |
Выражение (46) - |
теорема Кенига. |
|
Кинетическая энергия системы |
в сложном движении |
|
складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.
Найдем кинетическую энергии твердого тела для наи
более простых случаев движения. |
твердого тела с * е - |
|
I ) |
Для поступательного движения |
|
рость всех точек одинаковая: |
(47) |
|
|
l**t |
|
2)Для случая вращения твердого тела вокруг непод
вижной оси обозначим угловую скорость через & |
и рас |
стояние элементарной частицы до оси вращения - через fl; :
155
|
|
|
|
|
n |
J/^ C O |
2J (48) |
|
J 2 - |
1*1 |
|
|
|
|
|
||
момент инерции тела |
относительно оси вращения. |
|||||||
3) В случае плоского движения твердого тела относи |
||||||||
тельная движением |
будет вращение с |
угловой скоростью |
со. |
|||||
Тогда |
/ |
г |
ті* і |
ей |
|
|
||
|
я |
|
, 2 і |
_ ( С ) |
2 |
|
|
|
|
т '4 |
г▼=і |
т |
•г/ |
|
|
|
|
3 ^ |
- момент |
инерции тела относительно |
оси , прохо |
|||||
|
дящей через центр |
инерции и перпендикулярной |
||||||
к плоскости движения.
Полная кинетическая энергия для плоского движения будет иметь вид:
(С) 2
СО
(49)
§14. Теорема об изменении кинетической энергии точки
исистемы точек
Пусть точка массы m движется под_действиеи си лы <7 .П о второму закону Ньютона m W =& '.
Умножим правую и левую части этого равенства на oil
m Wol’Z-^'dtz 7
fro/2 |
- |
элементарная работа; |
|
|
|
|||
— _ |
_ |
/ |
mi>\2 |
|||||
|
|
dt> |
|
_ dz |
|
|||
mWc/z |
= |
m |
— |
= |
rndo ~j^ - mx>di> = d |
( |
f > |
|
|
|
|
|
|||||
156