книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfЗамечания. |
|
|
|
|
|
сил |
параллѳлыш ли |
1 . Если линии действия |
, |
||||||
ниям действия |
сил |
7 г ) тг ' |
то силы, |
составляющие пары, |
|||
складываются по правилу сложения параллельных сил. |
|||||||
2 . Если силы |
R i |
и |
R ,1 |
имеют общую линию действия, |
|||
то полученная |
пара |
эквивалентна 0 . |
|
||||
Теорема третья. Две пары, лежащие в одной плескес-
27
ти ил* в параллельных плоскостях и имеющие равные момен
ты, эквивалентны друг |
другу. |
_ |
|
|
|
|
|
|
( 7_ г , |
||||
Дано: I ) пара |
сил |
( 7 f , |
7 , ') |
|
и пара |
сил |
|
|
|
||||
2) |
П ( 7 і Р |
= |
|
’ ) |
|
|
|
_ |
|
) |
|
||
Д о к а з а т ь , |
что |
( 7 1 , |
7 |
|
( 7 2 |
, |
7' г |
|
. |
||||
доказательство |
системе пару |
|
|
|
|
(рис. |
2 9), |
||||||
Присоединим к |
(7 } , |
7 } ' ) |
|
||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, при одинаковых плечах имеем
( 7 1 , |
» ТаК как паРы |
28
сил (Тг ,?3 ) и |
(7Ь , |
? 3' ) |
лежат в одной плоскости и мо |
|
гут быть заменены одной парой |
|
|||
П ( 0 , у Q,') = п ф 3 , ^ ) ^ г і ( ¥ 3 , ^ |
,) = 0 • |
|||
Сложим силы |
^ |
и |
и |
? 3‘ |
|
|
? і _ + |
> |
|
Следоиательно,
—г* f
так как линии действии к |
ж к |
совпадает |
|
( К , ? , 1; |
3 > • ? ,'; |
|
|
Следовательно, |
( $ t |
^ ( ^г > ^ г ) ■ |
|
Теорема четвертая. Две пары сил, лежащие в пересе кающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, мемент которой равен геометрической сумме моментов данных сил.
Дано:
г ) |
И |
нп ( ? г , ? і ) .
Д о к а з а т ь , что
П ( * , * ' ) = H ( 7 :i , ? J ) + n ( f l > ? l ' ) .
29
Доказательство |
|
эквивалентной парой |
(Qi } Q') |
||
Заменим пару |
|
пле |
|||
с плечом AB |
и пару |
( ? г > |
-^napojl |
( й г } Q^) |
|
чом AB (ри с. |
3 |
0 |
M(Ql ,$'1)= ri(fz ,¥ 2/). |
||
|
|
|
|||
В точках А и В имеем по две силы, расположенные под углом друг к другу. Сложим эти силы
Q,+at = R-, < ? > < ? = / ? ',
следовательно,
R = - P ‘;
M (R,R') = M x R = M y ( Q s $ 2)=:
=M * Q } + l 8 * Q ± =
=П ( & і Д ' ) + Щ , % ) =
Система пар, как угодно расположенных в простран стве , эквивалентна одной паре, момент которой равен ге ометрической сумме моментов пар, составляющих систему.
Система пар находится в равновесии (статически эк вивалентна нулю), если геометрическая сумма моментов пар, составляющих систему, равна нулю.
30
Глава У . ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ I . Основная теорема статики. Приведение простран ственной системы сил к выбранному п о л ю с у .Г д а в ю і
вектор н главный момент.
Лемма; силу, приложенную к твердому телу, можно пе ренести в любую другую течку, но при этом необходимо приложить к телу пару сил, момент которой равен момен ту заданной силы относительно новой точки приложения
(ри с. 3 1).
Доказательство
\ ? \ = \ f , \ = w : \ ■
Так как Т 1 и Т ] расположены не одной прямой, не ■ противеяеложные Стороны, то их суши, эквквахенхра нулю.
Следовательно,
Я f r ? ; ) = в а * ? = г } 6 ( ? ) .
Основная теорема статики
Систему сил, как угодно расположенных в простран- .
31
стве, можно заменить одной силой (главный вектор), при
ложенной в произвольной |
точке, и одной парой (главный |
||
момент). Главный вектор |
равен геометрической |
сумме всех |
|
сил системы, а |
главный момент равен геометрической сум |
||
ме моментов всех сил относительно_выбранного. |
полюса. |
||
Дано: система сил |
^ , 5 ^ . . . |
|
|
Возьмем за |
полюс приведения точку 0 . Перенесем все |
||
силы в точку 0 . |
Это можно сделать, но надо добавлять |
||
каждый раз пару |
сил (по |
лемме) (ри с. 3 2 ). |
|
Получим |
(уг< дг > |
|
и пары сил |
с л |
|
ожна Ff ; |
, как сходящиеся силы, |
можно |
сложить |
|
|
32
где |
|
ë = É ^ |
> |
(I ) |
|
R |
- главная вектор снстеын. |
|
|||
тоже |
Каждая |
приложенная |
пара имеет момент. Эти моменты |
||
можно сложить как |
сходяциеся |
векторы |
|
||
где
(2>
где f*Jg - главный момент системы. |
|
|
||||
Проведен через точку 0 оси координат и определим |
||||||
главный вектор и |
главный момент аналитически |
(р и с. |
3 3 ). |
|||
Спроектируем |
R |
и |
П в |
на координатные |
оси . |
При |
|
|
|
|
|
||
этом получим:
(3)
3 |
33 |
п |
\ |
І*1
00
№іи = ^ |
' «У . . (г і^- L х і ^ с ) ’ |
<-f |
( = •< |
/% = £ п іг = £ ( x L4 t - |
) , |
|
iw |
tW |
|
34
5 2. Изменение главного момента п р и переносе пентра приведения. Статические инварианты
|
Рассмотрим |
систему сил |
J 1 |
система |
Выберем |
за |
|||||
полюс приведения точку 0 . Тогда |
приведется |
к |
|||||||||
одной силе |
Q |
и одному моменту |
/7 |
: |
|
|
|
|
|||
|
|
(?, , ? 2 , ■■■) |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем |
|
" |
Мо ■ |
|
( р и с .3 4). |
|||||
|
за |
полюс другую |
точку, |
например |
Оі |
||||||
|
|
|
|
|
Определим, |
изменится |
|||||
|
|
|
|
|
ли |
главный |
вектор |
и |
|||
|
|
|
|
|
главный момент от из |
||||||
|
|
|
|
|
менения полюса. Так |
||||||
|
|
|
|
I |
как |
главный вектор |
|||||
|
|
|
|
|
системы |
|
rt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
то , следовательно,он |
||||||
|
|
|
|
|
не меняется от изме |
||||||
|
|
|
|
|
нения полюса, т .е . |
||||||
|
|
|
|
|
главный вектор |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ё |
- 1 |
? . |
■ |
|
ш . |
Определим, что произойдет с главным моментом систе- |
||||||||||
вен |
Главный |
момент системы |
относительно |
точки |
0 |
ра |
|||||
35
Р ассм о тр и , |
|
чему |
равен момент |
силы |
^ |
|
относительно |
|||
нового |
полиса: |
|
ъ'с = 0,0 |
- |
г.. |
, |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М; |
г [ *?■ - ( 0 , 0 |
+ xi ) * & i - |
0 ,0 xJL |
г- |
||||||
Іл = |
t |
i |
ѵ 7 |
£ ' |
|
7 |
t |
t xJTt . (*) |
||
Чтобы получить главш й момент, надо просуммировать |
||||||||||
выражение (и) по всем точкам: |
|
|
п |
|
|
|||||
|
н |
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
Іж1 |
7 |
І * 1 |
|
і»1 |
|
|
І*1 |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
Пд = OfO X R t П 0 . |
|
|
||||
Главный момент с изменением полюса приведения изме |
||||||||||
л ю т ся , как |
видно |
из формулы ( 5 ) . Главный момент отно |
||||||||
сительно нового полюса равен главному моменту относи тельно старого полюса плюс момент главного вектора, по мещенного в старом полюсе, вычисленного относительно нового полюса.
Рассмотрим, какие есть статические инварианты. Статический инвариантами называются такие величи
на, характерные для данной системы, которые не меняют ся при изменении полюса приведения.
Для произвольной системы сил есть два статических
36