книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfУскорение точки |
fA |
|
|
|
|
|
|
|||
dev |
|
d z |
|
|
||||||
dU- |
d r - |
|
|
|
|
£ x z+ a )x (S • |
||||
w- d t d t & * Ч )~ 3 7 - * _* * *—* d t |
||||||||||
= - - |
|
|||||||||
|
du) |
|
’ |
а |
d z |
- |
|
TO |
|
|
Так как |
£ |
—r? - O- |
|
|
||||||
|
d t |
d t |
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
|
W ^ßxz+coxO-=W gp i-Woc |
, |
(8 ) |
|||||||
Wgp |
- врачательнве |
ускорение |
точки |
|
||||||
|
|
Wgp= ë x z |
, |
|
|
|
|
|||
|
Wßp=£zsinc^ = £^ |
j |
к |
траектории |
||||||
|
направлено по |
касательной |
||||||||
|
(рис. |
62 и 63) } |
|
|
|
|
|
|||
Рис. 62
77
у / - о с е с т р е м и т е л ь н о е у с к о р е н и е
|
|
|
о |
Z |
|
|
W0 = u ) V - s ir ? 9 0 = c v < S = c ü jo • |
|
|||
WQC |
- всегда направлено к оси вращения по |
jO |
|||
|
(рис. |
6? |
и 6 3 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
W‘ itve^ w / c . f f e 2‘ o>‘ )
%р± К с і
Wgn 8
' |
(10) |
7 8
Глава Ш. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
г I . Определение. Теорема о конечном перемещении, твердого тела
Движение тела называется плоским і,или плоскопарал лельным), если любая точка этого тела совершает переме щение в плоскости, параллельной некоторой основной плос кости.
|
Плоскость І и |
|
|||
плоскость,П параллел'ь- |
|||||
хы плоскости |
Р |
( о с -, |
|||
новная |
плоскость). , |
||||
|
Ио |
определёнию, |
|||
Фигура |
St |
в |
будет пе |
||
ремещаться |
плоскости |
||||
I , |
а фигура |
Sz |
- в |
||
плоскости П |
(р и с .6 4 ). |
||||
Проведем прямую |
AB |
||||
перпендикулярно |
плос |
||||
кости |
Р |
. |
При пере |
||
мещении тела эта пря- . |
|||||
мая |
будет |
перемещать |
|||
ся поступательно. Движение прямо* А1 |
ёудёт |
изве'стдо'Ѵ. |
|||
если будем знать движение одно* из ее точек. Значит,;для исследования плоского движения тела достаточно изучить
движение |
плоской фигуры. о |
г |
7 |
ѵѵ' |
Докажем две теоремы |
конечном перемещении |
плоской |
||
фигуры в |
ее плоскости. |
|
, 1ут< |
>. |
79
Теорема первая. Любое конечное перемещение плоской фигуры из положения I в положение П можно осуществить с помощь* двух последовательных перемещений:
а ) поступательного вместе с одной из точек тела (вме сте с полюсом)}
б) вращательного вокруг полюса.
При этом величина и направление поступательного пе ремещения зависят от выбора полюса, а направление враще
ния и угол |
поворота |
от выбора полюса не |
зависят. |
|
|||
Возьмем |
за полюс |
точку |
А |
. Тогда, перемещаясь по |
|||
ступательно вместе с полюсом, тело заняло бы положе |
|||||||
ние I * . Но |
тело перешло в положение П , |
следовательно, |
|||||
оно повернулось вокруг полюса на угол |
% |
. Точка |
А - |
||||
прошла при |
этом путь |
Д?А |
(рис. 6 5 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
взять за полюс |
точку |
ß , |
т о , |
переходя |
из по |
ложения I |
в положение П , |
тело |
заняло |
бы |
положение |
I * , |
00
а потом |
надо новерңуть |
его на угол у? |
В |
вокруг |
толч |
|||||||
ки |
В |
(см . рнс. |
6 5 ) . |
При этом точка |
|
.проела"путь' |
||||||
|
A ß '.l Путь |
Л |
не равен пути |
A?s |
|
< |
|
|
||||
é~7s |
|
следовательно, |
|
|
Но ^BJA^B |
|||||||
и |
|
A ' Вг |
, |
АгВ 'ІА 'Вг |
|
, |
т .е . |
|||||
?А = ? В |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема вторая. Любое перемещение (непоступательное) |
|||||||||||
фигуры из положения I |
в положение П можно |
осуществить с |
||||||||||
помощью одного поворота вокруг точки, которая называет ся центром конечного поворота.
Соединим точки |
А, |
и |
Аг |
прямыми (рис. 6 6 ) . Найдем |
|
|
6 |
81 |
середины отрезков |
А,А2 |
и |
В ,В г |
. Это будут точки |
|
|
|
ГЛ |
ж N |
|
. Восстановим в этих точках перпендикуляры.Они |
|||||||||
обязательно |
пересекутся в точке |
С |
. |
Соединим с точкой |
||||||||
С |
точки |
А,,В, |
и |
АгчВ2 |
|
и рассмотрим образовавши |
||||||
еся |
треугольники |
дА г Câ2 |
и |
дА , СВ, |
. Эти треуголь |
|||||||
ники равны по следующим причинам: |
условию, |
|
||||||||||
|
|
|
|
А, |
В ,- А г В2 |
|
|
по |
|
|||
|
А ,С = А г С ; |
В ,С = В2 Сд а , С Впо, |
построению. |
С |
||||||||
|
Следовательно, повернув |
|
|
|
|
вокруг точки |
с |
|||||
на угол |
<р |
, получим совмещение этого |
треугольника |
|||||||||
ворота. |
|
• |
Точка |
С |
называется центром конечного по |
|||||||
ДА2 С 8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 2 . Аналитический метод исследования плоского движения
I . |
Уравнения движения плоской Фигуры и ее |
точек |
|||||||||
Рассмотрим плоскую фигуру. Для определения движения |
|||||||||||
фигуры |
возьмем две системы координат: |
хО<£ |
- |
неподвиж |
|||||||
ная система координат, |
а |
х ,0 ,у , |
- |
подвижная, |
связанная |
||||||
с телом |
(ри с. 6 7 ) . Для |
того чтобы определить уравнения |
|||||||||
движения фигуры, надо |
задать: |
г0—г0 (t ) |
и угол |
?(£) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Или
( I)
-уравнения движения плоской фигуры.
82
|
Возьмем любую точку фигуры |
/А |
иМнапишем для |
нее |
||||||||||||
уравнения |
движения. |
Положение |
точки |
|
xdпо |
отношению |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
осям |
|
ty |
|
опреде |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ляет |
радиус-вектор F . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Радиус-вектор |
|
М |
оп |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределяет точку |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
носительно |
подвижных |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
осей. |
|
|
|
|
|
движения |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
М |
|
в векторном |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
виде |
можно |
записать |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
так: |
|
|
|
, |
|
|
(?) |
|
|
|
|
\Р I = c o n s t . |
|
'z=70 t ß |
|
|
|
||||||||
|
|
|
точки |
РА |
|
, т .е . най |
||||||||||
дем |
Определим уравнения движения |
|
|
|||||||||||||
х |
и ^ |
точки |
РА |
, как функции времени. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X , и |
|
* M * Xo + X l COS<P ~ |
%! Sin<P 9 |
|
|
|
|
( 3) |
||||||||
у, |
координаты |
точки |
относительно |
|
осей, |
|||||||||||
|
|
|
связанных |
с телом. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выражение (3) - уравнения движения точки.
2 . Линейные |
скорости |
точек плоской Фи гуры |
|
Вектор скорости |
точки - |
это производная |
по времени |
от радиус-вектора, |
поэтому, |
чтобы определить |
скорость |
83
точки AJ |
|
надо |
взять |
производную от уравнения (2 ): |
|||||
|
|
|
_ |
|
с/г |
dz0 |
|
d p |
|
d z0 |
_ |
j |
d p |
- |
- |
, |
как скорость, образующая |
||
|
—tr0 |
|
|
|
= cO уp |
|
|
|
|
ся при вращении вокруг оси. |
|
|
|
||||||
Следовательно, |
+CO XJ0 |
00 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой
(р и с. 6 8 ) .
Доказательство. Спроекти руем уравнеіие (4) на нрямув
ОЛ1 :
^лр.ОМ~^о)пр.ОМі'^Мо^пр.ом ?
(y)np.OM = °-cosß і
& )лр.О , = <^COScL >
^ M o ^ P -O M |
0 ■> |
так как |
t/-Mo |
X |
М О |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
или |
(иначе |
i/ -c o sß = v 0 e o s & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' ' ЛГ |
А ‘ •‘ |
|
|
|
|
|
б* -
<л 0М= if0 0А1 + (сож 0/И)0М J JO=OA1 V-OM=<S0OM i Ocosß)- c^coscL .
Найдем аналитические формулы для скорости точки плоской фигуры.
Считаем, что уравнения ( I ) - уравнения движения фи гуры - известны:
о- = о-0 + О О со
х - хоѵ $ -У °°
|
сл |
= |
|
о х |
эс |
ИЛИ |
|
tö=<p |
|
і/оіі— |
|
|
у - |
|
. |
|
(5) |
<fy = y0+ f ( x - x 0) .
Выражение (5) - проекции скорости на неподвижные
оси.
Проекции скорости на оси, связанные с фигурой, бу дут такие:
<fx^ 0cosf+ y0sin< p -fg,
^ = - x 0sin f+ y 0cosf-<px,; |
J |
(б) |
или
Ж>
|
|
|
|
|
~ °OXi |
|
|
> I |
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
r |
v |
" |
' |
" |
! |
плоской фигуры |
|
||
|
Іинейные ускорения |
точек |
|
||||||||||
|
І з кинематики |
точки известно, |
что |
— |
d o |
Ско- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= |
|
|
ростъ определена равенством (4 ) . Следовательно, |
|
||||||||||||
— |
a id |
cl , - |
_ |
- V d ö „ |
|
d ü b |
- |
— |
d p |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
w = T t ~ d i <ff‘ ta ,x ^ |
) ' s |
r |
f H t x^ f a 3 ’" 3 r |
|
|||||||||
где |
d o 0 |
= K |
|
? |
— |
=e |
■, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dco |
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= W0+£ Xp + (со x сох p ) = |
|
|
|
||||||||
|
|
= WQ+Sxp~cO p |
|
? |
так |
как |
|
• |
|
||||
|
сох(сохр )= сО (сор )~ р (сосо )~ - с о гр |
|
|||||||||||
|
Zb ■(cbp) =0 ) |
|
W= W0 + £ x p - co2p . |
|
(7) |
|
|||||||
Выракение (7) - ускорение любой точки плоской фи гуры.
Ъхр = Щ р “ вращательное ускорение;
~а/р= W4C |
- центростремительное ускорение. |
\ % Ы У -
86