книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfПереносное движение |
- |
|
вращение |
вокруг |
оси |
|
в |
с |
угло |
|||||
вой скоростью |
со |
|
. |
Ускорение |
переносного |
движения - |
||||||||
we - c o u s i n |
oL |
’ |
и направлено |
к оси вращения. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^e~~rni <^e |
|
|
|
J^^sinde |
|
|
|
|
|
|||||
Подсчитаем Кориолисово ускорение. 0но равно: |
|
|
||||||||||||
ü>c=2(ü>e*<Sz) |
» |
а величина |
|
|
|
, |
|
|||||||
и)tf-^sin(co/ltf-z ) = 2 c ü c ü ,p ^ s in </г ) |
|
|||||||||||||
си-с =2sin(cö* <s?)= cos<x , |
значит |
|
|
|
|
|||||||||
urc = 2cocu, fa cos öl |
, |
а |
сила инерции |
|
|
|
||||||||
Uc - 2-п^cocop^cosd. , |
так |
как |
Jc = ~ т - и/с . |
|
||||||||||
Из расположения сил инерции видно (рис. 11*0, что |
||||||||||||||
главный вектор относительных сил |
инерции |
Rr = О |
|
, глав |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ный момент |
относи |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельных |
сил |
инер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
М07= 0 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главный |
вектор пе |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реносных |
сил |
инер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
Re =0 |
|
и |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главный |
момент пе |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реносных |
сил |
инер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
Мов=0 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главный |
вектор |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
криолисовых |
сил |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инерции |
R c - |
О j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а_главный |
момент |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М осФО |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 |
1 7 7 |
AI - главный момент всех сил инерции.
Кориолисовы силы инерции образует момент относитель
но линии узлов:А1С~ гг>і |
а>ср - cosd~ j |
ппг ~Рі |
dpH Р 1 |
где - масса единицы объема;
И- толщина диска.
Тогда момент кориолисовых сил инерции определится интегралом такого вида:
я
=2Н$и>и>,Зі |
4 |
= J |
($Hjr/?Z) R 2cvcü, |
О |
|
Р_
- масса диска.
?
Значит главный момент, который равен моменту всех кориолисовых сил инерции, будет иметь вид:
где |
M --L |
—Р І-1»шсог Огісосо, , |
- момент |
инерции диска относительна оси г, , |
- гироскопический момент.
Эха формула представляет частный вод формулы Жуков ского .
5 и . Приближенная теория гироскопических явлений
Г и р о с к о п о м называется симметричное твер дое тело, движущееся вокруг неподвижной точки, лежащей на оси его симметрии.
Различает гироскопы с одной, двумя и тремя степеня ми свободы. Число степеней свободы определяют по отно шению к основанию.
Основные допущения приближенной теории
Собственное вращение поддерживается постоянинм.Для быстровращаюцегося гироскопа угловая скорость нутации и угловая скорость прецессии малы по сравнению с угло вой скоростью собственного вращения»
2) ^ -и )^ const |
- угловая скорость собственного враще |
3) ось Ог, - |
ния; |
главная центральная ось инерции; |
|
Ъ Г 7' |
|
// |
приближенно. |
- |
Так как сѵ, направлена по оси собственного вра щения Ог, ,
179
то
Следовательно, |
момент внешних сил |
М0 |
перпендикулярен |
|||||||
к ос* |
Ог, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_П о |
-теореме |
об изменении кинетического момента имеем: |
||||||||
dKg |
Мя |
|
|
dK0—а |
- |
скорость конца вектора |
||||
Кл ■ |
|
|
й=М 0 |
- |
||||||
d t |
" 0 |
>но |
d t _ |
_ |
теорема Резаля. |
Обозначим гиро |
||||
» ^зңачит, |
|
3.0 |
. |
|||||||
скопический момент |
|
3,0 |
- |
гироскопический момент |
||||||
уравновешивает момент внешних сил, следовательно, |
||||||||||
|
Z 0- - V 0 |
|
|
|
или |
|
|
3-о~~ |
а • |
|
Пусть ось |
Ог, |
вращается |
с угловой |
ск о р о ст ь ю ^ , |
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и=й>гхК 0=Ѵгі(й>2х со ,) ,
3.0— o ^ - U " x " а?і(и),хи)2 ) ■
Величина гироскопического момента:
O^co^to^stnfco, со2) •
Найдем угловуп скорость прецессии, т .е . угловую скорость вращения основания:
<7-/% 7 “ >2* К =/ІІ0 , |
<ö 2 l m |
0 |
, |
слева |
умножим последнее равенство |
векторно |
на |
К0 |
іао
Отсюда
_ |
Кох М 0 |
Т.1С. |
\ < Ч |
K j ‘ 0 |
КО |
||||
|
2 |
|
|
|
Глава У . МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
$ I . Свободные колебания материальной точки в среде без сопротивления
х |
Точка с массой т |
двинется прямолинейно. Пусть ось*- |
|
|
- траектория |
точки. |
На точку действует одна сила, |
величина которой |
пропорциональна расстоянию, а направле |
||
ние |
- обратно направлению движения (ри с. I 15 и I 1 6 ). |
||
? * г - с * *
где с - коэффициент жесткости или квазиупругий коэф фициент.
По второму закону Ньютона можно написать следующее уравнение:
mâ?+Cx=0 .
Уравнение ( I) - дифференциальное уравнение свобод ных незатухающих колебаний точки. Уравнение ( I ) - ли-
І8 І
нейное однородное дифференциальное уравнение второ го порядка.
nt ЦП и
v w \ p |
/■/ |
! |
rrm |
|
//' |
////// ' / / ) / |
|
|
Рис. II5 |
|
Рис. .116 |
Разделим уравнение ( I ) на коэффициент при высшей производной и получим
|
|
|
|
|
х+ —- х = 0 . . |
|
|
|
|||
|
Обозначим |
|
/?? |
|
горда |
|
|
|
|||
|
— = Л . , |
|
|
|
|
||||||
|
Будем |
|
. |
X + А . Х - 0 |
|
|
(2) |
в'форме |
(2) |
||
|
искать |
решение |
уравнения. |
Эйлера; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
: |
(3) |
’ |
|
и |
|
|
x^ C è'/г |
постоянные |
|||||
С |
к |
-неизвестны е |
величины. Для |
||||||||
их |
определения |
недставжм |
(3) |
в (2) |
|
|
|
||||
Равенство (Л) будет справедливо при любом значении
Ітолько тогда, когда
О. (5)
Уравнение (5) называется характеристическим уравне нием. Корни характеристического уравнения:
Это значит, |
что |
h ,zm±.i& o |
' |
|
|
|
|
|
|||
решение (3) |
можно записать так: |
|
|
||||||||
|
|
х -с,*-гЛottC 2e iAot |
|
(б) |
|
||||||
или по формуле |
Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x=AcosAgt *BsinA0t . |
(7) |
|
|||||||
Произвольные постоянные |
|
А и В |
находим из |
началь |
|||||||
ных условий |
движения. |
|
, |
|
|
s in 0 = 0 |
|
||||
Пусть при |
t ° Q |
Х = х0 |
Х=СС0 . |
|
|||||||
Тогда |
х д = А |
, |
так |
как |
Со$0 = і 7, |
а |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x = -AA0sir?A0ti-ßA0cosA0t |
найдем |
|
|
||||||
и отсюда, подставляя |
начальные условия, |
ß |
|
||||||||
|
|
*о =в А 0 7 |
|
|
Л О \ . |
- |
вид: |
||||
Окончательно решение (7) будет |
юіеть такой |
||||||||||
|
|
X *x0cosA0t+ ~ |
|
sinA01 , |
|
Cß) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183 |
' ’hsi
Лч>'
Л0 - |
частота собственных незатухающих колеба |
|
|||||
Решение |
ний. |
|
|
через амплиту |
|
||
(7) или (8) можно записать |
? |
||||||
ду и ф азу. |
Для этого надо |
взять |
А =<ßsjnci ? ß=S)cos<± |
||||
где |
|
|
Я - |
|
> |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
А |
X0*.Q |
|
|
|
и |
|
|
tl-cL=~ß |
Х 0 |
|
|
|
|
|
JC = 3)Sin(Ä0t + Ci-) •> |
(Ю) |
|
|||
|
|
|
|
||||
dO |
- |
амплитуда колебаний, максимальное отклонение |
|
||||
jl t+dL |
- |
точки от равновесного положения; |
|
||||
oL |
- |
Фаза колебаний; |
|
|
|
|
|
начальная фаза. |
|
|
|
|
|||
Так |
|
как |
колебания точки, описанные формулах ( І § ) , |
|
|||
происходят по периодическому закону, то определим пери
од колебаний. |
Обозначим период2йГ |
буквой |
Т |
г |
( и ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Величины |
|
|
Ло |
|
|
|
точки. |
||||
|
oQjOitA 0 , Z |
определяют |
колебания |
|||||||||
dD |
и |
d< |
зависят от начальных условий |
( 9 ), |
а |
Л0 |
и |
і |
||||
от начальных условий не зависят, . |
(рис. 117). |
|
|
|||||||||
|
Изобразим |
графически |
|
зс |
|
|
||||||
* |
Для |
свободных колебаний точки выполняется закон |
со |
|||||||||
хранения |
механической энергии. |
Кинетическая энергия |
|
|||||||||
184
течки:
т 1 |
■г |
|
|
- |
|
|
|
= — |
|
||
Т - - |
тл: |
|
z/ |
т £ 2Ä20COS2(Apt +Ск) |
|
i ( t )
x(t)
±(t)
Нотещиальная энергия:
П= j С х 2= ~ С х 2= j CJ)2sin(Ä 0ttck) ;
Tt /7= J 3) 2 \mA20cos2(A0t + а У CSin2(Ä01*ol)]=
=M^cos2(A0t+d)+Csm{A0t+ ^ -3 ?C = co n st -
*> 2 . Свобедные колебания точки в сведе.соиротюлсние " |
' |
||||
котарой пвопорииоиально первой степени |
ск о уст и |
||||
(Сввбодннезатухавщие колебания точки) |
|
|
|||
Определим влияние сопротивления на свободнее коле- |
|
||||
банил точки. |
Восстававливонщал рила; - ирепериконаяьна . |
||||
расстоянии, |
а 'сила соиретирлеиил - пропорциональна пер |
• |
|||
вой степени |
скорости < рис . И # ) |
\7^~ сх |
%х ~ ~ |
^ |
|
|
|
|
|
||
185
ние |
По второму закону Ньютона дифференциальное уравне |
|||||||||||||
будет: |
|
|
|
|
|
|
т х |
= - |
С х - $ х |
|
||||
О |
|
Я |
У |
м |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
(12 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т х + |
+ ‘С х - |
О . |
|||
|
|
|
|
Рис. I I8 |
|
|
|
|
Уравнение |
(12) |
линей |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ное, однородное дифферен |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циальное |
уравнение |
второ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
Разделим уравнениеС _ |
(12)2 |
1 . |
го порядка. |
|
|
||||||||
|
2 h |
и обозначим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
т_ |
|
|
о 7 |
т |
, |
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
“ ЛЛ , |
|
|
|
|
(13) |
|||||
|
|
|
x + 2hx+Ä0x = 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Составим характеристическое уравнение |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
-,ч |
V t ' |
|
|
h?+2hk+Ä2=0 |
|
|
|
|
||||||
|
уравнения |
|
|
|
,О_ |
|
|
|
|
|
||||
корни |
этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ю |
||||
, |
Возможны три' случая: |
- |
|
|
|
|
|
|||||||
' А |
|
|
|
2) |
|
^ ~ Ло У |
3) Л < Л в . |
|||||||
ДДДДДД-Д |
Кожебатёдьное движение |
точки иолучим только в слу- |
||||||||||||
f ч -Д' К ’ ■ чае |
£ |
,< Л0 |
V |
т . е V в |
случае |
малого сопротивления. |
Тогда |
|||||||
|
||||||||||||||