книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие

корни Ік(14)^ -кимеют+ Х^г такой

вид:

X- = - к - Л- г

где

Л=ф £~-к2 .

Решение уравнения (13) при этих корнях получим та

кее

х - е -h t(C'CosÄ't+C^inA/t)--

Для

определения

и

надо

\

С,

Сг

задать начальные

условия:

при

t = 0

х

С=ха

х - х 0 7 х = х 0 ■

Первое условие

подставляем

в

и находим

Для

определения

Сг

найдем

х

+ C2Xtco$А, {)

,

'

“

-

+ +гхф

зс

X0=-hCl + C2X l

х 0д ^

С2 .

в

Найдещие

значения

Сг

и

С2

иедстелляем

~h-tf

,

,

Xg+hxg

'

V

(15)

x = é

----- $гпА,Т;)\

(xt c0sAtt +

•

TO

Если положить

C=Bsi n jb ,

C2=Bcosß ,

Величины

x = e

Bsin(A,t+fi>) .

(15)

ß

и уЗ

получим

следующие:

ß =

Cj_

7

Н/J = c2

6~

{x0tb x oy

АI

(17)

Af

4 h

x0+ кэсо

Построим

график движения

( Іб ) (рис.

І І 9 ) .

Из рисунка видно,

что

Be ht

-

амплитуда;

ß

-

на­

чальная

ф аза;

А,

-

частота затухающи* колебаний.

Период

2 S

_______

2JT

(18)

л >

Рассмотрим отношение отклонений, отличающихся на

период

Xfi

Be

sin(A,ttß)

hT,

h ?,

-

декремент колебаний;

Случаи

-

логарифмический декремент колебаний.

( I )

и (2) дают апериодические движения.

На точку

действуют

силы

(рис. 120): і ) ввсстанал-

ливающая сила

&

;

2)

сила

сопротивления среды

Я

;

?

й

/

?

С , ,

где

2h = v>

•>

С_

И

■ •

т

т

/77..

Уравнение (20) неоднородное, а это значит, что его

решение будет равно сумме решений: I )

общего

решения

однородного уравненияхи= 2)

частного решения неоднород­

ного

уравнения,

т .е .

зс,+х2

-

Будем рассматривать

случай

Ä0>

,

следовательно:

,

гдв

,

x^Nsin (cot + S) у

(#)

д

-

амплитуда вынужденных колебаний;

N

смещение фазы.

S

-

Для

определения

N

и

подставим

( *

) в урав­

нение

(2 0 ).

Представим

sin(cot+'$)=sin ^(cot+$)+(

-

-s ir 2(x> t+ $ )c o s ($ -S )+ c o s (c o t+ ())s in ( f - S )

у

- Ncoisin(cüt+ü)+2hcö Neos(a>t+è)

Nsin(cOtfS) =

(.ä \-cO2)N=Hoc0S (fr-S)

I

2 h cO N—H0s i n ( t f - S ) ?

из уравнений ( *

Ф )

получим

N

и

S

н ‘

Н а >

/Ѵ= ]j(Ä2o-cü2)2i-^S?2u)

Л2

(2 1 )

Л■к02 -со

Следовательно, уравнение вынувденных колебаний

примет

«ид:

и

•

лг„=JІ/(ЛІ,-сог) „ ■■

sin jcoStS)

гі - И га)*

(22)

07

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от величин

д

Ä

• Исследуем амплитуду

іынужденных колебаний:

7cö

н„.

т

?

/Ѵ=

где

// = —

2

СО

Аі

Ь2

I = К г >

f i - j r

^

(С

Определим

ттх

f ( z ) = ( 1 - z 3) + t e 2jd

2а2

Приравняем

р~42(i-i2)+8zfi>2=0нулю

.

'(г)

Отсюда

st= 0

/

Т

f

г

j

1

•

и

гг~ i j ~2ß>

уЗ с

Определим

р “(г)

при

г 2

'•

f"(i)~-b+12 ( / - 2ß г) +Sp2=

12-2tiß2+8p2=8- ібр=8(1~2р2) .

Чтобы

N

было максимально,

/ ( г )

должно

быть ми­

нимальное.

Значит

р " > 0

»

гт .е .

1~2р2> О

•

Макси­

мальная

амплитуда

будет

при

<

у

(рис. І 2 І ) .

Значе­

ние

2=1

, т

.ь .8 0-со

-

случай

резонанса,

но

ампли­

туда будет

максимальна не

при резонансе, а раньше.

*г 1

О

и

j i

и

$

-

еяределены по фориуле (2 1 ).

Величины

3

N

енределятся из начальных условий. Но

с течением

ко установившиеся вынужденные

колебания.

I .

Вынужденные колебания -

колебания незатухающие.

? .

'.астоті вынужденных колебаний - частета возму­

щающей силы.

3 .

Вынужденные колебания не зависят от начальных

условий.

меняется.

т&кее:

ДифференциальноеX + А \ х уравнение~ Н л $ і п ( c oбудетt 1- i f )

('"О

x/ = £/cosA0t +

?

X

= C'CosAgt +C ^ s i n A g t + N s i n ^ t o i + $ ) .

( 0 5 )

Для того чтобы определить решение

и

(2 5 ), прежде

надо

найти

х :

.

Для определения

N

S

надо

подетч-

1і

193

вить

х 2

в

(.24)

или воспользоваться

формулами (2 1 ),

0

ПОЛО НИВ В Н И Х

іг

*

.

Тогда

>

-

(26)

М -\Ä0 -aJ

*

“ '— г

to (f - â )~ 0 ,

Следовательно,

$

(27)

Ct

C2

X2 = Ä

f ^

Si/7(u>t* f )

’

иx =

онределим

из начальных условий.

C,cosÄ0ttC 2sin]i0t

-

собственные

колеба­

X2

— Н°

Sin(cüt+ $) -

ния,

а

колеба-

шЛ ;-а>

вынужденные

ния.h = 0

,

представ­

Для вынужденных колебаний, когда

ляет

интерес

случай

-

со=Л 0

- случай резонанса.

Для

X2=

6tsif7(cO t + £ ) •

(* * )

определения

б

н <5

надо

(# *• ) подставить

в (2 4 ),

»вменив

Ло

=со

>

±u i tSeiu (uJÉ

(cot +jf ) -

? f u'

Hj ctfCft'P+f*’Sin ( $~£) j

0=tfgsin(cot+6)cos({f-£) ‘f

co s(f-6 )= o -7

f - e = § ;

tcos(**>t + f ) *

(28)