книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfсо X z = О . |
( 3) |
Линейное ускорение любой |
точки тела: |
- |
aiö |
d |
_ ч |
dc3 - - |
d z |
= £ x z + cOxO- ; |
|
d t d t 4 |
d t |
d t |
|||||
W = ^ = |
— (l ö X 7 ) = - ^ X z + cO x —f j |
||||||
|
|
|
W -Ë x z+ c ü x d 7 |
|
<■ '« ) |
||
|
|
|
|
|
P 0 C ö |
HOHetfHOiO |
cbxt} = W0C |
- |
вращательное ускорение; |
|
|
||||||||
£ x ? = Wgp |
|
- |
осестремительное ускорение. |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ А _ |
|
|
W gp=6zsin(ß,z)=6 +гЕ 'ч |
|
z Sin .(£ 7t. ) • |
( 5 ) |
|||||||||
Р |
- |
направлено |
перпендикулярно |
к |
плоскости, |
|||||||
ytf |
|
проведенной _череэ |
? |
и |
|
, |
в ту |
сторон у ,- |
||||
|
|
£ |
||||||||||
откуда виден поворот от |
£ |
к ; |
F |
против |
часовой стрел |
|||||||
ки |
|
|
W0C^cOxJ-sin(J,d)^cD<J-^LOZh ^ . |
(■в ^ : |
7 |
97 |
Осестремительное ускорение направлено от точки к оси вращения
Woc~ u 3 x tf= & x (cü x z)= < ä (cb r)-7 (a o 2) •
Иохно показать, |
что осестремительное ускорение все |
||||
гда направлено |
от точки |
А1 |
к оси вращения по крат |
||
чайшему |
расстоянию. |
и |
Wgc |
может быть любой. |
|
Угол |
между |
|
|
§ 3 . Углы Эйлера. Аналитический метод определения мгновенной угловой скорости и мгновенного
углового ускорения
Чтобы определить положение тела в пространстве, проведем две системы координат. Начала обеих систем сов падают и совмещены с точкой 0 . Подвижные координатные оси образуют с неподвижными девять углов (рис. 8 3 ) .Для этих девяти углов можно написать только весть уравне ний. Следовательно, из девяти углов шесть будут зависи мые, а три независимые.Поэтому удобнее пользоваться уг лами, которые будут независимые и однозначно определяю щие положение тела. Такими углами будут углы Эйлера:
угол |
Ѳ |
- |
угол прецессии} |
угол |
y s |
- |
Угол нутации; |
<р |
- |
||
угол |
|
угол собственного вращения. |
Изменение кавдого угла создаст угловую скорость. Соответствующая угловая скорость будет располагаться по оси , перпендикулярной к плоскости изменения угла.
Мгновенная угловая скорость может быть представлена в виде суммы угловых скоростей:
98
( 7 )
Вектор 'Ф'+'р ±_ Ѳ , следовательно, можно легко оп ределить величину мгновенной угловой скорости;
со = |
z+ f z+ 2 ffc o s Q . |
(8) |
Найдем проекции угловой скорости на подвижные и не
подвижные оси координат (рис. |
8 3 ). Считаем, |
что |
9 = G ( t ) ) |
f = f ( t ) |
( 9 ) |
- уравнения движения. |
|
|
99
СОд.= è COS W+ fs in Ѳ sin W j
è s in ty~ f s i n Ѳ cos W\
co^—fy t if+ tfcosQ
- |
проекции на неподвижные |
оси.Ѳ cos p j |
|
сб>^= |
f t |
|
ф sin Ѳ sin |
|
|
ООур Ф $ігг Ѳ cos f ~ è s in p j |
|
|
cQg= f cosQ ■* |
p |
( ІО )
(II)
|
- |
проекции на подвижные оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Определим проекции углового ускорения на оси коорди |
||||||||||||
нат: |
|
|
и) = иэх г t aJyj. t -а)г i |
j |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
d |
|
- |
|
r |
dcoо |
-г |
dcoP - |
|||
( - w |
|
|
w |
|
|
||||||||
г- |
dco |
' V « |
* |
da)x |
|
|
|||||||
|
■ |
|
|
|
|
|
V |
A |
* ■> |
||||
орты i |
|
|
|
|
|
|
|
1*- |
|
|
|||
jj.i'k |
|
не меняит ни величины, ни направления. |
|||||||||||
Значит ^х^^х |
у |
у |
|
|
ускорения |
(12) |
|||||||
|
Выражение |
12 - проекции углового |
на непод |
||||||||||
вижные |
оси . |
скорреть можно |
записать |
|
и так: |
|
|
|
|||||
|
Угдовув |
|
|
|
(13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100
где i, , j ' 7 kt - меняют свое направление при вращении тела. В этом случае
- |
|
du) |
‘ |
d |
, |
— |
— |
г \ ’ |
т |
* |
.£ |
|
т • |
- |
di, |
olL |
с/к, |
||||
|
~ d t |
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
Так как |
изменение |
|
+u,^ |
i |
|
|
||||
i,7 |
J.,, к, |
происходит |
только за |
счет вращения, то производные от единичных векторов мож
но |
представить как скорости концов этих векторов, |
|
т .е . |
||||
и |
і = с о х і ' |
|
> |
Ь г со * к, |
|
|
|
|
|
|
“ Jo I , + “>г, *! ) |
|
|
|
|
ё - Ѵ х У Ѵ у 'і+ Ѵ і , |
|
|
|
|
|||
или |
è-cbx'l + cbyJ + dOzk' , |
( |
14 |
) |
|||
так |
как |
1, + u3bS |
) = *>Х4) =0 |
|
|||
|
<0* |
|
|
|
|||
|
‘ СО. |
7 * > ^У' |
’ |
6it, = и)it |
(15) |
||
|
X , |
||||||
- проекции углового |
ускорения |
на подвижные оси. |
|
|
|
ІО І
$ 4 . Аналитический метод определения линейной скорости и линейного ускорения точек тела
СКОРОСТЬ ЛВбОЙ ТОЧКИ: (S-CÖ X.-Z .
Спроектируем это выражение на неподвижные оси:
ty *c0 gx -cax g ’, > |
(16) |
|
Проекции той же скорости на оси , связанные с телом, будут такие:
(1 7 )
со |
оо |
> |
со, - |
находят по формулам |
(1 0 ); |
||
со |
■ |
*»со |
со* |
- |
находят по формулам |
( I I ) . |
|
*7 |
» У>7 |
3 |
|
(18)
- величина скорости.
Направление скорости определим по направляющим ко синусам:
102
Ускорение любой точки тела:
W = E X г +CÖX D- = £Л г > сЬх(й>х г) = £* г + <й>(й?г)-7со-
Проекции ускорения на неподвижные оси:
W=r |
- £гр + «Ъ (“ Ъ*+и>2#+<Чг)- |
|
|
|||
-х(согх +со*+сог ) ; |
|
|
(19) |
|||
W^ezx~ßx z i - a J ^ x x + сОуу+cOsz) -р(сох і-аЗрt |
) ; |
|||||
|
f |
|
* а>у?+иЪ * У г (oox + co *+ Jg) . |
_ |
||
Точно также можно написать проекции ускорения на |
||||||
оси, связанные с телом. |
так: |
|
|
|||
Величина ускорения определяется |
|
|
||||
а направление |
|
w = jw *+ w *+ w g2 , |
|
|
|
|
через косинусы |
|
|
|
|||
|
Wx |
у. |
Щ |
* |
• |
(20) |
cosö - r |
W |
cos’ß ~ w у coso r ^щr |
Глава У . Сложное движение точки и твердого тела
§ I . Сложное движение точки
Рассмотрим движение точки ІЛ относительно системы
ЮЗ
координат |
л ,, |
, г, |
»которая самаx двихется |
в простран |
||
стве (ри с. 8 4 ). |
Система координат |
y z |
- |
неподвижная. |
||
|
|
|
|
|
|
Эту систему координат будем называть абсолютной системой отсчета.
і?а у Wa |
- скорость и ускорение точки М |
относи |
|||||||
X , у , |
г |
/ |
|
тельно абсолютной системы отсчета; |
|||||
7 |
|
|
- относительная система отсчета* |
|
|||||
|
|
7 |
~ |
скорость и ускорение относительно под- |
|||||
Ö- |
? |
W |
вилной системы отсчета. |
|
|
||||
Движение |
точки |
М |
относительно подвижней системы |
||||||
отсчета |
называется |
о т н о с и т е л ь н ы м |
д в и |
||||||
ж е н и е м |
т о ч к и . |
системой |
|||||||
Движение |
точки |
М |
вместе с подвижной |
||||||
координат называется |
|
п е р е н о с н ы м |
д в и х е - |
||||||
н и е м т о ч к и М. |
относительно **селвтной системы |
||||||||
Движение |
точки |
|
104
отсчета |
называется |
а |
б с о л ю т н ы м д в и ж е - |
||||||
н и е и |
т о ч к и . |
|
точки |
М |
в векторием виде бу |
||||
Уравнение движения |
|
||||||||
дет т е т ь |
вид |
(ри с. |
84): |
|
CD |
||||
*аш*а№ г |
|
|
|
У |
|
» |
|||
X |
0 . 7 |
|
- |
относительные координаты; |
|||||
Jt У СГ< |
k' |
|
|
||||||
/ |
|
у С! |
- орты относительной системы отсчета; |
||||||
|
|
|
J , , J' , к] - могут бить постоянными по направлен »,
амогут быть першенннм*.
§2. Скорость и у скорение точки:в сложном движении
Скорость точки М по отношен» к неподвижной си
стеме отсчета t/a г
- |
^Га _ |
ol(?o+J°) . |
ОІ7о |
df> |
, |
|||
*«' |
dt' |
~ |
|
d t |
d t |
d t |
||
|
|
г> |
|
|
+ *' *>+*>1' V / Â |
' г / |
’ |
|
так как Tt , |
|
M |
|
* ' я |
||||
у , у |
|
в общем случае ѵ |
функции времени |
|||||
(изменяется направление осей ). |
|
|
||||||
Значит оі |
7 |
— |
~ |
~ |
|
* ,'* , . (*) |
||
^сГ |
|
* , і,+ # ф ?:Х, к,ф*, і^, t jf,f r |
105
Индекс е принадлежит переносному движению;
&е - переносная скорость.
Предположим, что нет относительного движения, тогда
jc = const 'f |
у =const |
у |
г = const у |
= О |
, а |
из формулы *) |
Если предположить, что нет переносного движения сре
ды, то |
f0=const |
_ |
и орты сохраняют свое |
направление. |
|||
|
|
СІ7, |
= 0 |
; |
*,=/, = £, = 0 } |
|
|
С л ед овател ьн о ,-^ - |
|
|
|||||
|
|
|
|
/ |
=, |
O' |
І 2 ) |
Из формулы |
|
#0 |
і a |
z |
|
||
|
|
|
|
|
Следовательно,
. ч ч
(2 )
- теорема сложения скоростей.
Абсолютная скорость точки равна геометрической сум ме ее переносной и относительной скоростей.
Если подвижная система движется поступательно, то формула (2й) справедлива, но ~0-е =і>0 .
Найдем ускорение точки Л! :
ІОб