книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfгде X , у 7 я |
- |
координаты точки |
|
|
Уравнения |
(2) |
примут |
ввд: |
(3) |
Уравнения |
(3) |
- это |
J► |
|
дифференциальные уравнения дви |
||||
жения точки. Эти дифференциальные уравнения являются уравнениями второго порядка. Уравнения связывают вторые производные от координат точки с действующей на точку силой. Рассматривая систему уравнений ( 3 ) , можно сфор мулировать две задачи.
Первая задача механики. Движение точки, т .е . коор динаты, как функции времени, известны. Задача в этом случае всегда имеет решение, так как для этого нужно только дважды продифференцировать по времени:
Тогда
X=n?x ; У = т у ; Z~m'z
X = 7COS it •
y. = ? S i n i t t y
117
X--1< Z COS Ut ~ - к 2-*?
** |
2 |
2 |
y = - / г г S i n І< І= — 1sу ^
X= ~mk^x ,
У = —т1<2у »
X
cos(<?,x)= — = -cos 1 t 7
|
У |
COS |
—Sin I t • |
Вторая задача механики. Известна сила, действующая на точку. Найти движение точки, т .е . координаты ссуу у% как функции времени.
Известны:
X X |
|
7Z 7t)y |
|
У |
г |
, |
■ |
Z = Z ( x , y , z , x , y 7i , t ) .
Нужно определить
cc= sc(t) , |
7 z = z ( t ) - |
Проинтегрируем уравнения ( 3 ) , которые теперь име ют вид:
II8
mSc=X(x,y,z ■, x , y , z ,t)'7
ггг£~'У |
>Я7у ,2 jt)', > |
m g = Z( x ,y jZ - 7 X 7y , i 7t) . "
После интегрирования, когда это возможно сделать, полу чим:
Х ~ х ( с , УСг , Cj у С^ yCfyCgytYy
У-~#(°і >сг усэ 7сі<7С5 }С6 ?І)? ’
г = ^ ( сі > сг ’ сз > сч у cs ’ С6 >
Cf |
С2 у С3 , Сц , cs , С6 - |
произвольные пос тоянные |
||
Пример. |
|
интегрирования. |
к |
гори |
Движение тела, брошенного под углом |
||||
зонту (рис. |
9 1 ). Тело брошено |
к горизонту так, |
что |
на- |
ja
II9
чальная скорость составляла угол ы. к оси у . Тело рассматриваем как точку. Эта точка подвержена только
|
t= 0 |
х 0=yo=zo=0 |
|
|
|
|
|
|
действие силы тяжести. |
|
точка была в начале |
||||||
При |
f=0 |
хо=0 |
|
|||||
|
|
|
, |
|
t ^ S i n c L |
. |
||
координат. |
|
% o ~ ° b c o s c k . |
г 0= |
|
||||
ПоПривторому закону • |
|
где |
р = т у |
|||||
Л7Х=0
о 3C =IICl = C O n S t ,
т у - 0 |
т'г——ту |
н |
|
У ~ С 2 = c o n s t f |
Z = ~ y t + c3 |
Определим |
сСу, }у сг r^ Cс 3j |
из начальных условий. |
|||
с |
с і щ |
п о и д с и іРПИЛ |
J |
||
При |
f = 0 |
х = х о=0 = с, |
; |
с,= 0 у |
|
|
|
||||
# |
= # o = cs = v o c o S c L 7 |
c2 =<S0 c o s c L |
j |
||
i sti0meamV’os in c L ''> |
c3='t>os in c k 7 |
||||
x = о |
y = t f 0 C 0S c k ', |
Z3 = - y t + t S 0 S i r 2 c k . |
|||
Проинтегрируем последние три уравнения и найдем
*
X = Cq 'f y=o-0cos ckt +cs '9
y t 2
Z~ - 2— + U0SzncXT-+C6 b
c*n cS 7c6- определяем опять из начальных усло
При t = 0 |
вий. |
с^ = 0 у |
х = х 0= 0=с^ > |
120
# = j? .- 0 - c s |
• |
*= яо- 0 ~ с е |
} |
Следовательно, |
|
ос=0 у |
- уравнения движения точки |
у = (tfgCos d L ,)t; |
9*2
z = - — +(t/0sinck)t.
Глава П . ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ I . Система материальных точек. Классификация сид_. действующих на систему» Дифференциальные
уравнения движения точек системы
Системой материальных точек называется такая их со вокупность, в которой движение и положение каждой точ ки зависит от движения и положения всех остальных точек. Если в процессе движения расстояние между двумя точками системы остается постоянным, то такая система называет ся неизменяемой ѵнапример, твердое тело).
Если расстояние между точками системы меняется, то система называется изменяемой (солнечная система).
Если на движение отдельных точек системы не наложе но никаких ограничений, то такую систему называют сво бодной (самолет в воздухе, летящий снаряд и т . д . ) .
І2І
Если на^движение точек системы налохепы определен ные ограничения, которые не зависят ни от действующих на систему сил', ни от начальных условий движения, то си стема называется несвободной (машины и механизмы).
Ограничения, которые накладываются на движения от
дельных точек |
системы называются |
с в я з я м и . Свя |
зи действуют |
на систему как некоторые силы. Эти силы |
|
называются |
р е а к ц и я м и |
с в я з е й . |
Исходя из сказанного, все силы, действующие на си стему, можно разделить на два класса.
1 . Заданные или активные силы.
2 . Реакции связей или пассивные силы.
Это деление сил принято в динамике несвободных си стем. Однако силы, действующие на систему, можно разде лить по другому признаку, а именно, на силы внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками системы называются внутренними силами. Силы взаимодействия то чек системы с другими системами называются внешними си лами. Деление сил на внешние и внутренние - формальное деление.
Для составления дифференциальных уравнений движения системы рассмотрим одну из точек системы и все силы,дей ствующие на эту точку,
-- масса точки? |
|
|
||
т- |
равнодействующая |
всех внутренних сил дей- |
||
г |
ствующих на |
г |
точку; |
|
_ |
равнодействующая |
всех внешних сил, дей- |
||
гствующих на і точку.
По второму закону Ньютона известно, что
г = 1 , 2 . . . / г ( I )
7
122
Уравнение ( I) - дифференциальное уравнение движения любой точки системы. В правую часть уравнения ( I ) входят внутренние силы, которые можно определить, только зная
движение |
точек системы. |
" |
.'V-'..* |
1 ' |
Если уравнение ( I ) |
будет записано для всех точек, |
|||
то получим систему дифференциальных уравнений, решить |
||||
которую в |
точном виде |
нельзя. |
|
|
§ 2 . Свойства внутренних сил
По третьеігу закону внутренние силы всегда попарно
равны друг другу: |
# / f; = - б ? ( г) |
(рис. 9 2 ). |
||
|
I л |
- Z |
|
внутренние |
і |
|
<■Приведем все |
||
|
|
силы к полюсу 0 , |
и найдем |
|
|
|
главный вектор и главный мо |
||
|
|
мент внутренних сил. Глав |
||
|
|
ный вектор равен (по треть |
||
|
|
ему |
закону Ньютона): |
|
П
І =\
Для определения главно го момента найдем момент
= f k x ? i Ci )= 0 |
i |
|
(3) |
ä ^ |
S \ d |
t üy= ° . |
|
0 |
w |
IK |
|
|
1=1 |
|
123
Система внутренние сил статически эквивалентна ну ли.
§ 3 . Центр масс системы. Теорема о движении центра масс
Центром масс системы называется такая точка, поло жение которой определено уравнением:
00
п |
"С" |
= |
М |
7 |
^/77г' = /Ѵ/ |
- масса |
системы. |
|
|
г’*/ |
|
|
|
|
Если записать уравнение (4) в проекциях на оси , то
получим такие три уравнения:
|
*С= м |
*с_ |
» |
|
|
ж |
|
М |
’. |
£ |
м |
|
|
||
|
|
|
|
mi* i |
|
|
|
Для определения движения центра масс ^родифферен- |
|||||||
цнруем дважды уравнение |
0 0 |
или уравнения |
О О * |
||||
|
d |
i '___________ г |
d t |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
? |
124
Выражение (*f*0 можно записать иначе, воспользовав шись уравнением ( I ) ,
П |
П |
п |
По уравнении |
п |
|
(2) у |
и) =0 |
- главный вектор внеииих сил
MWc = R e . |
(5) |
|
Из уравнения (5) следует, что центр масс системы движется, как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложены все внешние силы, действущие на эту систему - ото теорема о движении центра масс системы. Из этой теоремы следует, что
125
1) внутренние силы не влияют на движение иеитра масс,
2) если внешние силы атсутствуат, то центр тсс движет ся как материальная тачка, когда на иеа не действуют внешние силы; следовательно, центр пасс или будет в ла к ее , или будет двигаться прямолинейно и равномерно. Из второго условия можно получить первый интеграл, а имен
но, |
Л1 Щ.=0 |
; |
R e=0 7 |
|
|
|
|
следовательно, |
c o n s t . |
, а |
( б |
) |
|||
Может |
быть такой |
случай й ефО |
X е- О |
7 |
|||
тогда |
|
МсСс —const . |
|
(б/ ) |
|||
Выражение |
( б ‘ ) - |
тоже |
первый интеграл. |
|
|
||
§ 4 . Количество движения точки. Теорема об изменении количества движения точки. Импульс силы
Количеством движения точки называется вектор, рав
ный произведению массы точки на вектор ее скорости
: |
• |
2 = . W . \ |
(7) |
Определим изменение количества движения точки с течением времени. Известно (по второму закону Ньютона),