книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfинварианта: |
I ) |
главные |
|
вектор |
R |
и 2) проекция^ главно |
|||||
го _моиента |
на направление главного вектора, т .е . /ЙвЯ « |
||||||||||
* |
|
|
R |
|
|
. |
э т0 |
доказывается так: умножим ск^- |
|||
|
М'0і R ^mfonst |
|
|
|
(5) |
|
|
||||
лярно |
на |
|
|
уравнение |
|
|
|||||
|
|
|
|
Mo R - (0 ,0 x R ) - R + M oR , |
|||||||
|
|
( Q 0 x R ) R = 0) |
так как |
вектор (ö~ O xR)± R , |
|||||||
следовательно, |
случаи |
|
* |
|
п р о и з в о л ь н о й системы |
||||||
|
§ 3 . |
Частные |
приведения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ М |
|
|
Система может быть приведена к следующим частным |
||||||||||
случаям^ |
|
_ |
|
|
- |
система |
сия эквивалентна одной |
||||
|
1. R+0-,M o= 0 |
|
|
|
|
|
|||||
силе, которая будет равнодействующей. Линия действия
этой силы |
проходит через полюс_ 0 . |
|
система сил |
||||
2 . В |
точке О |
R |
= 0 , а |
/И |
|
- |
|
эквивалентна паре |
с моментом |
Р\0 |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 =M0+ q b x R = M o .
3 .R _В точке |
О |
R^O', Мо± 0 |
, |
но |
RR10= О |
|
|
||||||||
( т .е . |
± M 0 |
) |
(рис. 35) |
система |
сил |
эквивалентна |
од |
||||||||
ной силе |
- |
равнодействующей, но линия |
действия |
ее |
|
яе |
|||||||||
преходит |
через |
точку |
О] |
. Докажем |
это положение. |
|
|
||||||||
В точке |
0 |
|
приложены |
сила |
R |
и момент |
М 0 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представим момент в виде пары сил. |
Составляющие |
этой |
|||||
пары |
R' |
и |
R" |
по величине равны |
R |
. Одна |
из сил |
пары приложена в |
точке 0 , а другая |
- в точке Oj |
Плечо |
||||
37
пары
|
|
Wt |
|
/г = 0 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к - |
|
|
привелась к си- |
|||||||
(R7R ' ) |
О |
, следовательно, система |
||||||||||
ле |
- |
равнодействующей. |
Мо4 . |
В точке 0 |
ЙФО'і |
|||||||
|
|
|
|
|
|
• |
||||||
|
|
|
|
|
* 0 |
|
и |
|
R M j t O |
|||
|
|
|
|
Такую систему можно при |
||||||||
|
|
|
|
вести |
к одной |
паре и си |
||||||
|
|
|
|
л е . Плоскость |
пары перпен |
|||||||
|
|
|
|
дикулярна линии действия |
||||||||
|
|
|
|
силы. |
Такая |
совокупность |
||||||
|
|
|
|
силы и пары называется |
|
|||||||
|
|
|
|
динамическим винтом или |
|
|||||||
дем систему |
к динаме. |
Для |
динамой (ри с. |
3 6 ). |
Приве |
|||||||
этого |
разложим момент |
М 0 |
|
|||||||||
на две |
составляющие. |
Одна |
из составляющих направлена |
|
||||||||
|
|
|
|
по |
R |
, |
а другая |
перпен |
||||
|
|
|
|
дикулярна |
R |
|
(рис. RЗ ^). |
|||||
|
|
|
|
|
Систему |
из |
|
силы |
|
|||
|
|
|
|
и момента |
М г |
|
можно |
|
||||
|
|
|
|
привести к одной силе в |
|
|||||||
|
|
|
|
точке |
О, |
|
R. Теперь ос |
|
||||
|
|
|
|
тались |
сила |
М , |
1 |
в |
точке |
|
||
|
|
|
|
0Т |
и момент |
|
|
. |
Эти |
|
||
3t
д іа іектора параллельны. Так |
как |
момент |
/И, |
может |
быть представлен, как момент |
пары |
сил, |
то, |
следователь |
но, его можно переносить в любую точку, как свободный
вектор. В точке Oj окажутся векторы |
R |
' и |
Л1, |
, на |
|
|
|
правленные по одной прямой, а плоскость пары сил будет перпендикулярна силе R, .
5 . В |
точке |
О R = 0 |
и Мо= 0 |
- система сил экви |
валентна |
нулю, |
так как |
равенство |
нулю главного вектора |
и главного момента будет выполняться в любой точке про странства.
39
§ 4 . Уравнения равновесия произвольной системы сил
Если система сил находится в равновесии, то она эк вивалентна нули. Уравнения равновесия в этом случае бу дут следующие:
R - 0 ; М - 0 . |
( 6 ) |
Уравнения (б ) - уравнения равновесия в векторной форме.
Проведем через полюс О о с и O xy _z » тогда уравне ния равновесия в проекциях на координатные оеи будут:
i^l |
:=/ |
Уравнения (7) - уравнения равновесия ироиевельней системы сил в аналитической форые.
Рассмотрим, ках изменятся уравнения (7) для различнмх расположений систем сил,
I . Пусть все силы системы лежат как угодно, но в одной плоскости. Тогда главный вектор системы будет ла кать в этой хе плоскости, а главный момент - перпенди кулярен к плоскости, в которой лежат сихн. Следователь но, для такой системы, которая называется плоской, вто рой статический инвариант будет иметь Такой вид:
Если |
для |
|
R M 0- 0 . |
|
|
|
, М0=0 , то |
си |
||
плоской |
системы R i= 0 |
|||||||||
стема эквивалентна одной силе - |
равнодействующей, |
ли |
||||||||
ния действия которой проходит через точку 0 . |
|
|||||||||
Если |
к |
е R f О |
, |
M0t-0 |
і |
но |
система эквивалентна |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
равнодействующей, то линия действия ее не проходит че
рез выбранный цеятр_приведения. |
система эквивалентна |
■ |
||||||
Если |
R - 0 |
|
} |
, |
то |
|||
паре сил. |
R = 0 |
; |
Мо- 0 |
, то |
система сил находится |
в |
||
Если |
|
|
||||||
равновесии. |
оси координат так, |
чтобы оси £ |
была |
|||||
Расположил |
||||||||
иернендииулярва плоскости, |
в которой лежат силы. |
Тогда |
||||||
п |
|
|
п |
|
|
п |
|
|
Уровненкл равновесия будут такие;
І-І |
i=l |
i=l |
о » |
|
£ x r o -, |
£ |
у г |
° , |
например, |
Уравнения (8) |
можно |
написать в другой форме, |
||
в форме моментов олосжтедьно точек, которме не лежат на одной прямой,
|
іт, |
ul |
ö |
) |
іші |
ѵ |
1 |
шля
i=l |
і=/ |
г=і |
= 0 . |
( |
|
) |
%х-°> |
£ А г ° ; |
|
|
|
10 |
|
Ось л при этом не перпендикулярна AB.
2 . Пусть все силы системы параллельны. Тогда глав ный вектор R этой системы будет параллелен силам, а главный момент ЛІ0 перпендикулярен силам. Следова тельно, и в этом случае второй статический инвариант
R M 0= 0
Если Rf-O^ М=-0 , то система сил эквивалентна одной равнодействующей, линия действия которой проходит через
выбранныйRцентр приведения. |
, система сил эквивалентна |
|||||||||
Если |
|
= 0 |
, |
Mq+O |
|
|||||
одной паре. |
|
|
, AI |
=0 |
|
то |
система |
находится в рав |
||
Если |
R = 0 |
|
f |
|||||||
новесии. |
|
|
оси |
гкоординат |
|
так, |
чтобы |
силы оказались |
||
Проведем |
|
|||||||||
параллельны |
|
оси |
|
|
. Тогда |
|
|
|||
І х ^ о , |
|
І ^ ш о ; |
£ м и ш о . |
|||||||
г =/ |
|
|
|
|
г-і |
|
|
|
і=і |
|
Уравнения равновесия будут следующие:
|
I .У0Тело, |
S 5 . Условия равновесия тел |
|
X |
с одной закрепленной точкой на (рис. 38) |
||
ные |
2 а |
~ |
проекции реакций точки опоры на выбран |
оси. |
|
|
|
42
Уравнения равновесия будут иметь вид ( 7 ), но в про екции сил долины войти реакции опоры. Уравнения моментов будут без изменений:
ІШ
t |
, vr |
vs ys 4 f |
- - - firs K - 0 " , |
|
і=/ |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
' ^ Z r Z ? Z 2+Z3+--- + Zn+'Z(rO -y |
|
|||
ы |
|
* |
( 12) |
|
|
п |
|
|
|
Z |
ГАі Г |
М і х +М гх+ |
' ' ■ т п х = ° » |
|
і=і |
|
|
|
|
§ Ѵ Ѵ Ѵ ' " ' >Ѵ 0 }
п
г-(
Рис. 38
%3
Первые три уравнения (12) являются уравнениями рав
новесия и определяют |
Х 0>У0 ) 20 |
. В последние три |
|
|
уравнения реакции опоры не входят. Эти уравнения назы ваются условиями равновесия. Если эти условия не выпол
няюіся, |
то тело не находится в равновесии. |
2 . |
Тедо с двумя закрепленными точками (ри с. 3 9). |
В уравнения (7) входят реакции онор и их моменты
i x i- X t X s - ~ + X . s X s X t -0-, '
І*/
ы
44
І*/ |
> |
(13) |
П |
|
|
f t s f |
|
|
£ *if V V ' ‘ ' ' V |
^ |
|
ІЧ
ZA я Zß можно определить только в сумң*.
Т и ш |
с ш |
§ |
6 . |
Трение |
|
Тело I мо |
|
ш т . |
I . |
Рассмотрим два тела. |
|||||
жет скользить не |
телу |
1 |
течке касажия |
С |
вез*икает |
||
сиды (рис. |
*cmRc+fc |
і |
Яс1 Т с і |
|
|
||
|
4 t ) і |
|
|
|
|
|
|
где Р
N.
Ъ
-реакция, прило женная к телу I , со стороны тела
П ?
-нормальная состав ляющая реакции;
-касательная со ставляющая, назы
ваемая силой трения. 45
Если Тс = 0 , то поверхности называются идеально гладкими. Опытным путем установлено, что
7rnax~fN ' |
( І О |
Величины Тгпау трение достигает в момент начала двикония.
Выражение (14) представляет собой закон Кулона. Когда тело не движется, то
Сила трения не зависит от площади соприкосновения поверхностей, а зависит от характера обработки поверх ности.
Рассмотрим |
тело на поверхности. Пусть на |
это тело |
||
действует сила |
$Г |
', расположенная под углом |
<р |
к оси |
|
|
|
||
у(ри с. 41). Для плоской сходящейся системы сил урав-
нения равновесия будут такие:
9 |
а |
£ X j = T-&sin f - О;
І-t
П
\=N-$cos<f=°‘,
/////////"' £
Рис. 41
N - lPcos .
По закону Кулона T ^ f H |
, следовательно, |