книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfяу_, откуда видно вращение плоскости под действием силы
?, происходящим против часовой стрелки:
|
По ( ? ) = |
|
|
|
|
(I) |
г = ОЯ |
\П0 (7)\ = П 0 ( ? ) |
|
5 іл/г V |
} , |
|
|
п |
л _ |
плечо |
( U i ?_ ) , |
|
||
т . о . |
г $ і п ( г . 7 ) = Н - |
|
||||
|
|
|
|
|||
П о ( ? ) = ± ? h . |
|
|
( 2) |
|||
Определим момент силы относительно |
точки аналити |
|||||
чески. Проведем через точку 0 |
оси координат |
х у г |
||||
(рис. 2 1 ). |
Момент силы равен |
|
векторному |
произведению, |
||
а это произведение мож но представить в виде
2 |
17 |
Г |
Гас. !>у5. - |
'-ічмия. |
1 |
|
|
ч |
КЪ* |
|
|
|
|
|
||
|
ш-.и.. |
, ОСЛ.. Г*4 |
|
|
|
*5Ѵ ,*ѵ; |
ІЛЯ* |
|
|
& , Т , ?г |
- проекции силы на оси коерди- |
* |
н ат } |
= |
|
|
г ( х К ~ У ? х ) к - |
|
Отсюда |
|
ox = |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
П Ч = г Т х - * ? * > |
||
|
|
П о. = Х % - У *я .> |
|
|
П 0 |
- величина момента. |
|
||
Направление момента определяет по направляющим ко |
||||
синусам: |
Мох |
- л |
. " . и |
П ' |
c o s (n o , x ) |
= - p j- і |
co s(n 07y ) = - p j ~ ; |
c o s (n o, * ) = |
|
|
|
|
|
М |
Момент силы относительно точки мокно представить еще так . Рассмотрим треугольник АОВ. Площадь этого тре
угольника |
«5 |
л„г 4г ^ |
= |
4-М |
> |
|
оАов 2 |
|
2 |
|
|
поэтому величина момента
аJOB |
00 |
|
18
§ 2 . Момент силы относительно оса
оси |
Рассмотрим рис. 2 2 . Плоскость |
Р |
перпендикулярна |
|
г |
. Моментом силы относительно |
оси называется про |
||
|
|
|
|
|
изведение величины проекции |
силы |
1 |
на плоскость, |
|
перпендикулярную к оси |
г |
, на |
кратчайшее расстояние |
|
|
|
|
|
|
от точки пересечения оси и плоскости до линии действия проекции силы,
М ' V . ( 5 )
В формуле (5) знак "плюс” - при вращении против ча совой стрелки, знак "минус” - при вращении по часовой стрелке.
Внясним_зависииость между моментом силы относитель но точки Fl0 ( ? ) и моментом силы относительно оси.Ось
2 проходит через точку 0 . Величина момента силы
1 9
относительно точки 0 может быть внражена так:
n . ( T ) = ? h * z s t t M .
Момент силы относительно оси ?
Но треугольник Л О В , |
является проекцией треу |
|
гольника ЛОВ |
на плоскость |
F , |
^А,Ов,~ |
c0$ß |
У |
|
|
|
|
где ß - угол между плоскостью |
треугольника АОВ и |
|
||||
плоскостью Р . |
|
_ |
и осью |
г |
: |
|
Таким же будет угол |
между вектором |
П 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
nl ë ) ’ t s ^ = z s M ,c» ß -n .(?)co !ß , |
|
|
С б ) |
|||
Момент силы относительно оси, проходящей через точ ку 0 , равен проекции момента силы, относительно точки
Она ту же о сь . Рассмотрим случаи, когда моменты могут
быть равны 0:
л, в ( ? ) = 0 ,
лг ( 7 ) ^ 0 ,
или
П г ( ? ) = 0
кости.
если |
h |
= 0 |
, |
г .е . сила |
не действует, ;или |
|||||
|
7 |
= |
0 |
, |
т .е . линия действия силы про- |
|||||
|
|
ходит через точку 0 . |
|
|||||||
если 7 f = |
0 |
, |
т .е . сила |
7 7 || z |
, |
|
||||
если |
А,= |
0 , |
т .е . сила |
пересекает |
|
|||||
, если |
|
|
|
ОСЬ |
2 |
г. |
лежат |
в одной |
3оо1 |
|
7 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
и ось |
|
|
|||||
2 0
Глава ІУ . ТЕОРІЯ ПАР
§ I . Сложение д у х иараддельных сил. Момент дары сад
Рассмотрим две параллельные силы. Найдем равнодей ствующую этих сил и ее точку приложения. Для этого сло
жим эти |
силы. |
|
параллельна силе |
_ |
|
. |
Для того чтобы |
|
|||||||||||||
|
Сила |
3 , |
|
|
З г |
|
|||||||||||||||
их сложить, приложим в точках |
А |
и |
В |
|
силы |
Q, |
|
и |
Ог |
, |
|
||||||||||
равные |
по величине, |
но противоположные |
|
по направлению, |
|
||||||||||||||||
т .е . |0 , |
,Q 2 \ ~ 0 |
. |
Сложив силы |
|
и |
|
04 |
, |
7г |
и |
0^ |
, |
|||||||||
Ri |
и |
|
|
|
|
|
|
сил |
|
||||||||||||
получим |
|
|
і |
(рис. |
2 3 ). |
Линии действия |
этих |
точ |
|||||||||||||
пересекайтся |
|
точке 0 . |
Перенесем |
силы |
|
и |
_ R 2 |
в |
|||||||||||||
ку г |
0 |
ж разложим их на |
|
составляющие |
J |
/l |
и |
|
|
|
; |
|
и |
||||||||
Ті |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 '2 . |
|
|
|||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила |
R |
|
будет приложена |
в некоторой |
точже |
|
С . |
П о -' |
|
|||||||||||
ложен» |
|
этой |
|
точки определим |
из |
рассмотрения |
подобных |
|
|||||||||||||
треугольников |
(см . |
р яс. |
|
2 3 ). |
Треугольник АОС |
подобен |
|
|
|||||||||||||
& а О е |
, |
a ß O C |
подобен |
а 60с/ |
. |
Из подобия |
треуголь |
||||||||||||||
ников следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а е |
О е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ЛС |
ОС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 :
B e i |
_ |
O d |
или |
А |
А |
(хх) |
ВС |
~ |
ОС |
вс |
ос |
||
Разделяй выражение (х ) |
иа |
( х х ): |
ВС |
■ (I) |
||
Ж Ь С |
3<J0C |
|
JГ |
|
|
|
Ж х№ |
|
? t£fC |
|
? 2 |
ЯС |
|
Рис. 23
22
Точка прилохения силы R делит расстояние меж-
ду точками прилохения сил в отношении, обратно пропорци
ональном этим силам. Сила |
R |
- равнодействущая. Она |
|
|
направлена в одну сторону с этими силами, а величина ее
равна сумме модулей данных сил. |
параллельны, но направ |
|||
Пусть силы |
Щ |
и |
J 2 |
|
лены в разные стороны |
(ри с. 2 4 ). |
В этом случае равнодей |
||
ствущ ая будет параллель на данным силам. По моду лю она равна разности ме-
дулей этих сил и направ лена в сторону большей силы. Точка прилохения равнодействующей будет де лить расстояние между дан
ными силами внешним образом в отношении, обратно проиер-
цнональном этим силам:
|
|
|
|
|
_ |
ЛС |
|
|
|
|
1г |
~ |
вс |
|
|
Это полохение легко доказывается на основе ранее |
|||||||
изложенного материала. |
эти силы не |
имеют равнодейству- |
|||||
E c « |
= |
, то |
|||||
щ е й . |
Две |
силы, |
равные |
по |
величине, |
параллельные друг |
|
другу |
и направленные в разные |
стороны, называются |
|||||
23
п а р о й |
с и л . На рис. 25 к - плечо пары. Мо |
ментом пары называется вектор, направленный перпендику лярно к плоскости действия пары в ту сторону, откуда вид
но врадение происходящим против часовой стрелки. Вели чина момента равна произведение величины силы на плечо пары (ри с. 2 6 ).
К
Рис. 26
24
i 2. Теорема о парах сил
Теорема первая. Сумма моментов сил, составляющих па ру, относительно произвольной точки равна моменту пары
^рии. dl ) .
Дано г
1) Шара сил
т |
у ' |
|
■> Л |
= м * ? ; ■,
2) Точка 0 произ вольная.
П п к я я я т ѵ
f i ß )
%
Доказательство
По определению момента снлн относительно точки име
ем:
= п ,(? ,') = ов •
Найдем сумму этих моментов:
м ,& ) * n ß ; ) ö h * ? ; ~ ö Ä ß - ö è * ? , =
= ( й - т * 7 , = B Ä * ? t = м ( $ , , ? , ' ) ;
t1c (? ,) + п 0 (? ,') = П ( ? ( |
' ) . |
Тарцамя. вторая. Две пары сил, |
лежащие в одной |
плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, а момент этой пары будет равен сумме мо
ментов |
двух данных пар_. |
_ |
|
|
|
_ |
_ _ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
? г ' ) |
пара сил |
|
|
/ 1 ( % , % ' ) . |
|
|
, |
пара |
сил |
||||||||||
( ? 2Дано, |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
и ее момент |
|
|
|
^ ') + |
?г , |
7' г ) ^ |
( R |
, , |
R' , ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
М ( Я „ R , ) - Ü ( f |
|
|
, ^ i ) |
■ |
|
||||||||||
■ |
|
Д о к а з а т ь |
|
что |
, |
, |
, |
5^'; |
|
|
|
||||||||||
момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Перенесем |
силы |
Доказательств |
их линии действия |
||||||||||||||||
|
|
J 4 |
и |
|
|
вдоль |
|||||||||||||||
|
? г ' |
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
перенесем |
силы |
|||||
до точки пересечения 0 . Точно также |
|||||||||||||||||||||
и |
|
|
в |
точку |
|
. |
Получим сходящиеся |
силы в |
точке |
||||||||||||
О и точке |
|
О-r. |
|
Сложим эти силы по правилу |
сложения схо |
||||||||||||||||
дящихся |
сил (рис. 2 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
При этом получ|м: |
+ ?2 ~ |
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
R f |
|
|
|
|
|
|
||||
так как |
|
|
|
= -•?■ ', |
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
? г = - ? 2 ' , |
то |
r J ^ - R ' , |
■ |
|||||||||||||||
Кроме того , |
R |
^ R j' |
> |
как диагонали |
равных параллело |
||||||||||||||||
граммов^ |
равными и параллельными сторонами. |
|
Значит |
||||||||||||||||||
|
( R t , R t ') |
|
- |
|
|
сял* |
Момент этой |
пары равен: |
|
||||||||||||
n ( |
Л |
|
|
|
|
|
П ( * 2=1? 2 т) |
|
+ |
|
|
l + < r 0 x ? z = |
|||||||||
R n R ,) = Ö r0 ^ R 1 |
Ö O |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
( КnЯ( R' ), ,+R/) = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
26