книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfЕсли же на положения или скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематичес кого характера, то система называется несвободной. Ог раничения, наложенные на систему, называются связями. Аналитически связи выражаются уравнениями, а кеЛ трук - тивно могут быть представлены в виде рельсов, нщтей стержней, направляющих и т .д . Связи могут быть разделе ны на определенные классы или виды.
Рассмотрим несколько примерив, с пемецью кетарых можно будет классифицировать связи.
Пусть имеем маятник, который может врываться ввкруг точки 0 в пространстве, т .е . маятник будет сферичес ким (рис. 123).
I ) ОМ = - жесткий стержень. Тогда уравнение
2 2^ 2 л |
(X) |
будет уравнением связи. Это же уравнение можно,,<ыле, йы записать иначе, воспользовавшись условием, так как ѵ- - скорость всегда перпендикулярна к стерж-
197
|
Условие O ' |
) можно |
записать еще |
так |
ixx+yytzz* О |
||||
tумножим это равенство |
на |
d t |
и получим |
xdx +ydy + |
|||||
? d i |
= 0 . Если это выражение |
проинтегрировать, |
то по |
||||||
лучим уравнение |
( I ) . |
В |
этом примере |
ограничения |
наложе |
ны только на координаты. Время в это уравнение в явном
виде |
не входит. |
нить |
(см . |
2) Пусть теперь ОМ будет нерастяжимая |
|
рис. 123). Уравнение связи запишется |
в таком виде: |
|
|
х 2+у 2+г 2--в2^- О . |
(2) |
Уравнение связи (2) выражено неравенством. Но огра ничения остались наложенными на координаты, а время опять не входит в явном виде.
0/H =3) Если представить ОМ, |
как нить е катушкой, т .е . |
||||
a t j |
то уравнение связи будет такое: |
(з ) |
|||
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
2 2 , 2 |
п |
|
|
х + у |
|
і- г - а t |
ь о .. . |
Ограничения наложены на координаты, уравнение свя зи выражено неравенством и в него в явном виде воіло время.
4) Рассмотрим такой пример. |
Стержень ОА вращается |
||||
в |
плоскости |
|
х у |
по зако |
|
ну оС= |
cot |
. |
По стержни |
||
перемещается |
точка |
||||
(ри с. |
124). |
|
Уравнение свя |
||
зи |
будет |
|
|
|
xtycot - у ~ О .
198
|
5) |
Еще пример. |
Пусть точка |
М, |
движется |
по прямой, |
||||||||
параллельной оси |
х |
, |
с |
|
постоянней |
|
скоростью |
й |
. |
Точ |
||||
ка |
М,2 |
движется |
по кривой, причем ее |
скорость все |
вре |
|||||||||
мя направлена на |
точку |
М, |
(рис. 125). |
Из рисунка |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М2 (х , у ) ; |
• |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = x i + y j |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из подобия |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
треугольников |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(треугольника ско^- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ростей и треуголь |
|||||
но записать такое соотношение: |
|
ника |
Мг И Mj |
)мож- |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
X |
І |
|
|
|
M2K = « t - x , |
|
|
|
|
|||
|
|
Mr, К . |
М,К |
|
7 |
|
M ' K - h - $ |
• |
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||
|
|
x ( b - y ) - jf( u t - x ) ~ 0 . |
|
|
|
|
||||||||
Это уравнение носит название "кривой погони". |
|
|
|
|||||||||||
|
Уравнение (5) содержит координаты и скорости, от ко |
|||||||||||||
торых нельзя избавиться |
интегрированием, |
|
входит |
время |
||||||||||
1 |
явной виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По рассмотренным примерам можно будет так класси |
|||||||||||||
фицировать связи. |
|
|
|
|
|
I |
|
Г-, |
|
|
|
|||
|
I . |
Связи голономнне |
и неголонойные. |
Толойомнне свя- |
199
зи - это такие, которые накладывают ограничения на ко ординаты. Если же в уравнения голономных связей входят скорости, то от них можно избавиться путем интегрирова ния.
Если же в уравнения связи входит скорость и урав нения нельзя проинтегрировать, то связи называются неголоноыными.
2 . Если уравнения связей не содержат времени в яв ном виде, то такие связи называются стационарными. Если же время входит в уравнения, то связи называются неста ционарными.
3 . Уравнения связей могут быть выражены равенства ми, тогда эти связи называются удерживающими. Если же уравнения связей представляют собой неравенства, то свя зи называются неудерживающими.
Одна и та же связь может быть голономной, стацио нарной и удерживающей или голономной, нестационарной и удерживающей и т .д .
§ 2 . Обобщенные координаты. Число степеней свободы. Действительные и возможные перемещения
В аналитической механике пользуются обобщенными координатами. Это позволяет сократить число уравнений и наиболее полно характеризовать движение.
Обобщенными координатами называются независимые па раметры, однозначно определяющие положение системы в
пространстве. Если система |
состоит из |
п |
точек г на |
||
эту систему наложены |
s |
голономных |
связей, то |
число |
|
обобщенных координат |
будет |
k - n - s . |
* |
|
|
Числом степеней |
свободы системы называется |
число |
обобщенных координат. Изменяется число степеней свобо ды только с изменением числа голономных связей.
200
|
Обобщенные координаты обозначаются буквой |
£ |
||
|
Если у системы три степени свободы, то число обоб |
|||
щенных’ |
координат равно трем и эти координаты |
обозначим |
||
?/ |
9-г 1 |
• |
|
|
|
|
|
Число обобщенных координат минимально. Радиус-век тор любой г точки системы может быть представлен так:
( 6 )
но время в явном виде может и не входить, а именно,
(?)
В аналитической механике применяются понятия дей ствительного и возможного перемещений.
Действительным перемещением системы называется бес конечно малое перемещение, которое происходит за беско нечно малый промежуток времени. Обозначают действитель
ное перемещение |
или |
o!?j |
. Действительное пере |
мещение зависит |
от сил, действующих на систему, от |
связей Возможным перемещением системы называется бесконеч
но малое перемещение, допускаемое связями, но без изме
нения |
времени, т .е . возможное перемещение - |
это мыслен |
||
ное перемещение. Возможное перемещение |
о б о з н а ч а е м ^ , |
|||
■ |
. Действительное перемещение |
і |
точки |
будет за |
|
|
|
писано через действительные перемещения обобщенных ко ординат:
возможное |
перемещениеdzi |
|
точки будет |
иметь |
( 8 0 |
||||
|
вид: |
||||||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
% |
' |
‘ |
|
|
(9) |
|
|
?.«у |
Ы |
|
|
||||
|
|
і=і |
|
|
|||||
Выражение |
"г Ld |
до : |
|
|
|
F* |
, |
зави |
|
(9) будет |
справедливо и для |
||||||||
сящего от |
t |
и не зависящего |
от |
него. |
|
|
|
||
Следовательно, для стационарных связей одно из воз |
|||||||||
можных перемещений совпадет |
с |
действительным |
(р и с .126). |
При стационарных связях аналитическая запись дейст вительного и возможного перемещения, практически, оди накова. Сравним (8У) и (9 ).
Если же связи неста ционарные, то ни одно из возможных перемещений не совпадает с действитель ным перемещением. Из вы ражения (8) видим, что вектор действительного перемещения располагает ся в пространстве, а все
возможные перемещения лежат в одной плоскости.
$ 3 г Обобщенные силы. Идеальные связи
Связи, наложенные на систему, могут быть идеальные
инеидеальные, причем предыдущее деление связей остает-
202
ся . Идеальными связи называются тогда, когда выпол няется следующее условие:
П
( ю )
т .е . сумма элементарных работ реакцій на любом возмож ном перемещении системы равна нулю. Уравнение (ІО ) мож но записать и так:
Е Ntx +Ni y h i +Ni J ii =0 • ( Ю'о
Любой сложный механизм можно трактовать как систе му материалы »! точек, подчиненную идеальным связям,
считая при |
этом силу трения активной силой. |
|
С введением понятия обобщенных координат иряхрдкт- |
||
ся вмдить |
новое иаиятие о силах - о обобщенных силах. |
|
g- Пусть |
на систему наложены голонѳмные связи. , |
|
- равнодействующая активных сил, иримжехных к |
||
некоторой |
г |
точке. |
Напишем |
элементарную работу силы |
где о гг- - |
возможное перемещение радиус-вектора. |
|
||||
Злементарная |
работа |
всех |
активных сил, |
приложенных |
||
к системе, |
будет |
иметь |
такой |
вид: |
. |
. |
пП
203
Выразим вариацию |
через обобщенные координаты |
|
7г'~гг |
‘ " £ * 7 ^ ’ |
|
Подставим это выражение в ( I I )
Щ |
V |
Н г 1 * ч Ц % |
1 |
|
г ' |
г 1 1= |
ч |
это произ |
|
так как это выражение |
для работы, а работа - |
|||
ведение силы на перемещение, то |
|
( 12) |
||
д?і |
|
|
|
|
- У- |
|
г * > * - |
|
|
ZW |
|
|
|
|
Выражение (12) - обобщенная сила. Тогда
( 13)
s* ' W y
г -1
Число обобщенных сил равно числу степеней свободы. Выражение (13) можно записать в развернутом виде:
SA^Q'Sy* Q2S y 2-t-Q3â<£3+ -•-+ |
* |
^I3/ ) |
Исходя из выражения (1 3 ), можно обобщенную силу оп ределить, как коэффициент, стоящий перед возможным пе ремещением в выражении работы. Из выражения (13) обоб щенную силу можно определить, как частное от деления
204
парциальной работы на возможное перемещение одной из координат. Парциальной работой называется работа сил, действующих на систему, на одном каком-либо возможном перемещении.
Обобщенная сила будет иметь размерность или силы,
или момента, т .е . размерность |
обобщенной |
силы |
связана |
||||||
с размерностью обобщенных координат. |
|
|
|
||||||
Обобщенные силы, в случае консервативной системы, |
|||||||||
могут |
быть представлены так: |
|
|
3z, |
|
||||
|
|
|
|
дх; |
_ |
_ |
|
||
|
|
У |
|
д, |
|
|
|
|
|
|
Ь“І |
г=/ |
У |
|
|
|
|
||
так как для |
консервативных сил |
|
|
|
|
||||
|
дП |
_ |
ЭЛ |
|
_ |
д П |
|
||
* * * ~ Э*і ’ |
V |
t y |
1 |
|
|
’ |
|
||
т» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q - |
V1 / |
дП |
дхі |
дП |
дуі |
^ ЭП |
д?{ |
\ |
дП |
і |
|
|
|
f y |
Зц |
f Зв; |
|
|
|
|
|
|
О - |
i f |
L . |
|
|
< в ) |
|
|
|
|
|
аУ |
|
|
|
||
|
" 4 . Принцип возможных перемещений |
|
|||||||
Имея понятие об обобщенных координатах, возможных |
|||||||||
перемещениях, рассматривая |
с в я з ;, как |
идеальные, т .е . |
имея дело только с активными силами, можно рассмотреть еще условия равновесия системы.
Все возможные положения равновесия системы позволя
205
ет определять принцип вознойных перемещений. Принцип возможных перемещений устанавливает необходимые и до статочны условия равновесия систем.
Формулировка. Для того чтобы система с идеальными связями под действием активных сил находилась 6м в рав новесии, необходимо и достаточно, чтобы элементарная работа активных сил, действующих на систещу, равнялась нулю на ее любом вознохном перемещении из рассматривае мого положения равновесия, т .е .
|
|
І-І |
І-! |
|
|
|
|
Доказательство. На каждую точку системы действуют |
|||||
активные силы |
и реакции связи /Ѵ?- _ . |
Для равнове |
||||
сия |
системы должно |
выполняться условие |
tF' + N ^O |
для |
||
любой точки. |
и правую части равенства |
скалярно на |
||||
с-ß |
Умножим левую |
|||||
f |
. |
и просуммируем по всем точкам системы. Получим |
||||
UM |
|
|
І = / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
І=І |
i=t |
|
|
|
|
так как связи идеальные, то |
|
|
|
І - І
206