книги из ГПНТБ / Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие
.pdfЕ |
— |
/И |
главный момент внешних |
г-х</. |
= А70 |
||
г»»' |
г г |
|
|
Окончательно |
äKo |
сил. |
|
d t |
(24) |
|
Производная по времени от момента количества дви жения системы равна моменту внешних сил. Ііомент внешних сил и момент количества движения системы вычисляются от носительно одного и того же полюса.
Первые интегралы |
|
|
|
||
. |
|
— |
|
dKa |
|
I ) Пусть |
|
/р\ |
|
и , следова |
|
М0 =О |
, тогда - ^ - = <2 |
||||
тельно, |
|
|
|
||
|
К = const |
. |
(25) |
||
Отсюда будет следовать, что |
(25) |
||||
K^const |
, |
К = const j |
Кг= const • |
||
2) Может |
быть( |
|
, но |
|
|
|
|
О ) |
а Кх - |
тогда . |
|
|
|
|
|
||
|
№ #=0 у |
K0i= co n st , |
|||
const
Рассмотрим, как будет выглядеть теорема об измене
нии кинетического |
момента, если система совершает слож |
||
ное движение, тогда |
К0- ? сх.Мд-с +КС |
. Вычислим про |
|
изводную от этого |
выражения |
|
|
13 f
ctK 0 |
d i c |
_ |
а/ , |
к |
d K c |
|
d t |
||||
|
|
dKc |
’ |
|
|
|
= ¥„xA1lVn + d t |
|
|
||
так как |
X M <Sc —0 |
'f |
|
||
dt
"o - t *iX % e L t ( * c + f i ) X% ‘e=
І-І i =t
|
Is*! |
l-l |
|
|
так как |
Л7 Wc - R (e) • |
' С ? |
||
что |
||||
СледовательноМ, |
еполучим^ д <г,> |
|||
|
|
|
_ |
|
|
d t |
|
(26) |
|
Выражение (26) - теорема об изменении момента ко личества движения системы в ее относительном движении.
§ 9 . Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. ДиЬсЬеоенпиальное уравнение
движения тела
Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвиж ной оси. Оси координат расположим так, что ось z
1 3 8
♦
о сь вращения |
т е л а . |
О си х и |
^ |
вращ аю тся в м е ст е с |
телом ( р и с . |
9 6 )? |
|
|
|
сох =со = 0; |
a>=u>-, |
|
D-i ^ ü >xzi ■, |
|
п |
п |
|
|
|
п. |
^=Еч * ті ° і = Е * і хт і (“ >л |
) =*>2>r2r |
||||
Ы |
i-t |
|
|
|
гч |
п |
|
|
п |
|
|
- Еті |
|
і |
mi ( * j t і і + * * ) - |
||
г |
|
*/ |
|
|
|
=/ |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
7 |
|
|
КХ^~и) |
И ,ГЛІ°СІ І І |
|||
|
п |
|
|||
|
|
і=/ |
|
|
|
|
|
і = / |
|
. |
|
|
|
п |
|
||
Обозначим |
к = |
і =/ |
|
||
^ п 7 - ( х - 1 |
|
) = 5^ |
- о се в о й момент и н ер ц и я } |
||
|
Ъ ті хі гГ |
ихг '-> |
|||
|
Е |
?і ~ |
у |
|
|
центробежные моменты и н ерц ии .
139
Тогда
К-
COSaL =
уЗ =
cos^=
Kf ~ D^ ’ |
(27) |
2 |
2 |
(28) |
- К |
і- к : |
|
|
|
?г
к х |
|
•7« |
|
|
к я |
7! 2 |
2 |
2 1 |
|
0 |
|
|
|
|
* L |
- _ |
2 „ 2 |
' |
(29) |
К о |
7 І - . 2 |
|||
п |
|
|
|
|
Кш
Ко "
Из формул (28) и (29) видно, что величина вектора
кинетического момента тела пропорциональна угловой ско
рости вращения |
тела, а направление вектора |
Ка |
зави |
||||||
сит |
только от геометрических характеристик тела, т .е . |
||||||||
от |
его моментов |
инерции. |
К0 |
г |
2> |
всегда |
острый, |
||
так |
Угол мекду |
векторами |
|
|
|||||
как |
0 < cos{Kg1z ) < i |
• |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Годограф вектора К0 представляет собой кривую,
лежащую на поверхности кругового конуса, ось которого
является осью вращения К0 |
»cöа |
угол |
раствора равен |
|
Ог |
и |
(рис. =9 7 ). |
|
|
удвоенному углу между |
, то |
|||
Если форма тела такова, |
что |
ихг = |
0 |
|
|
|
|
||
ось вращения тела называется главной ось* инерции тела.
Запишем теперь теорему об изменении кинетическаго момен та тела относительно оси ірацеяия:
dK7 лЛсе)
, |
НО |
К Г СГ,сО , |
т
следовательно, |
^ < 5 , |
dKg |
|
dt dt |
|
|
c o n s t . |
Тогда
(e)
(30)
дифференціальное уравнение вранения тела.
§ 1 0 . Момента ннерннн тел . Две |
теоремы о моментах |
■ веш ни. Главные |
оси инерции |
Моментом инерции тела относительно оси называется сумма произведений масс тела на квадрат их расстояния до О С И }
142
п
или |
7 |
(31) |
где AI - касса тела)
р- радиус инерции тела.
Моиенты инерции некоторых тел.
I . Кольцо и тонкостенный цилиндр (рис.
^ = A f r |
2 \ |
/ - * . |
|
Рис. 98
2 . Диск и сплошной цилиндр (р и с. 99):
P ' W '
Рис. 99
98):
М г г
2 9
И З
3 . Тонкий стержень (рис. |
100): |
’ f - |
|
е |
і 2 |
|
|
2 |
2 ] / Г |
||
_ |
м-е2 |
_ |
ге |
|
|
f - |
|
Рис. 100
Осевые моменты инерции могут быть записаны так:
(32)
А центробежные моменты инерции имеют такой вид:
у2ГЛ * тіѴі*і> ат Л тг*г*і • (33)
Определим момент инерции тела относительно произ вольной оси (рис. І О І ) .
Воспользуемся формулой (31):
= 1 |
.2 |
|
*?і > |
^ Г м ірі = * ! - орі ’ |
|
где oi. |
OPt = 72cosJ = * 2cl +p ß fгі $ , |
|
? |
- косинусы; |
|
144
h\«Ц + £ + г\ ) -( ^ o t +у;iß +гI tf) - V '0- ) +
+ tj] (i-jbг) + z l ( i - f ) - 2 * j $ * i f t - 2 * ? * i* t~ 2P h i * i *
л 2 2
Так к ак сО у З -t ft = / , где d L ^ ß ,$ - косинусы
углов, то
* Н ( / * ? ’) |
+ * № f i 2) - 2 d f c gi - |
(cL2+<fZ) + ?;(oL+ ß2) - 2 c lß x i 2i -
10 |
145 |
|
-2о' |
Д |
у |
г ; |
= л |
£ |
"V (jf’ f г,0 * ft £ |
!'* / * * “> |
|
г/ г У , ' " , |
/ |
У г *<• - ^ |
L " |
r x t j f i - 2 л , |
У |
- |
||
- Щ |
2> |
|
^ |
/ - |
г ^ < * / 3 |
- |
||
-2 J x !A ^ -2Ss l ß 3 ',
-! * ß a X f -2 ö .f3 x,-2 ß £ O p
Если в точке 0 |
возьмем оси дг |
|
|
(S3) |
|
|
У * I |
такие, что |
|||
|
|
I ■ }%! |
|
||
^х,у~^х,ъ~ |
|
> то эти |
оси будут главными |
||
осями инерции тела в точке |
0 |
|
|
|
|
Ух.,/ , У |
, |
У |
- главные мо |
||
Осевые моменты инерции |
0. ' |
|
*' |
||
менты инерции тела |
в точке |
|
|
|
|
Главные оси инерции, проведенные через центр масс, называются главными центральными осями инерции тела. Если тело имеет плоскость симметрии, то для каждой точ ки этой плоскости одна из главных осей перпендикулярна плоскости. Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной центральной есью инерции. Главная цен тральная ось инерции тела остается главной для всех сво их точек, а главные оси инерции, построенные для какойлибо точки главной центральной оси , будут параллельны главным центральным осям инерции тела.
Найдем зависимость между моментом инерции тела от-