книги из ГПНТБ / Фабрикант, В. Л. Элементы устройств релейной защиты и автоматики энергосистем и их проектирование учеб. пособие
.pdfс центром окружности, и расстояние ее от центра окружности определяется равенством (2.17). Следует также иметь в виду, что
обе точки, а и Ь, расположены по одну сторону от центра окруж ности: одна внутри, другая вне окружности. Когда положение обеих точек, а и Ь, определено, значение k находится по (2.18).
Если заданная характеристика имеет форму прямой, то вторая точка расположена на продолжении перпендикуляра, опущенного из первой точки на заданную прямую, и находится на таком же расстоянии от заданной прямой, как и первая точка. Иначе го воря, вторая точка является зеркальным отображением первой, если заданную прямую считать линией зеркала. В данном случае k —
После того как положение точек а и b выбрано и значение k определено, необходимо задаться значением одного из коэффици
ентов (ки k2, kz, к^), например k\. После этого абсолютное значе ние &з находим из (2.11); аргумент k3 произволен и определяется
конструктивными соображениями. Коэффициенты k2 и k4 находятся из (2.9) и (2.10).
Произвол в выборе положения одной из точек (а или Ь) может быть использован для осуществления каких-либо дополнительных целей.
§2.9. Использование произвола
ввыборе коэффициентов
kit |
k3 и |
Заметного упрощения схемы можно достичь, если одна
из сравниваемых величин (Еi или Ё2) будет содержать только на пряжение или только ток. Это означает, что один из коэффициен
тов (k\, k2, k3 или ki) должен быть принят равным нулю. При
этом, как следует из (2.9)и (2.10), одна из величин (а или Ъ) обра щается либо в нуль, либо в бесконечность.
Если одна из величин (а или Ь) обращается в нуль, то соответ ствующая точка (а или Ь) должна быть расположена в начале координат. Естественно, что точка а может быть расположена
в начале координат (^4= 0) только в том случае, если начало ко ординат находится в заданной зоне действия органа. Напротив, если начало координат находится вне зоны действия органа, то в
начале координат может быть расположена точка b (k2= 0 ). На конец, если начало координат находится на заданной характери стике, т. е. на грани зон действия и недействия (направленное
реле сопротивления, реле направления мощности), то ни точка а, ни точка b не могут быть расположены в начале координат.
28
После размещения одной точки в начале координат положение второй и значение k находятся указанными в § 2.8 способами.
Затем следует задаться коэффициентом к\ и аргументом к3 и по
(2.9), (2.10) найти к2 и &4. Один из последних коэффициентов ра вен нулю.
Если одна из величин (а или Ь) обращается в бесконечность, то в бесконечность переносится и соответствующая точка, что воз можно лишь в том случае, если заданная характеристика имеет форму окружности (для прямой это означает удаление обеих то
чек, а и Ь, в бесконечность, т. е. приравнивание ki = k3=Q\ при этом из обеих сравниваемых величин исчезает напряжение и срав ниваются две величины, пропорциональные току, что бессмыслен но). При этом вторая точка в соответствии с (2.17) должна быть
расположена в центре окружности. Какая из точек (а или Ь) мо жет быть расположена в бесконечности, а какая в центре окруж
ности — зависит от того, внутри (точка а —в центре окружности) или вне (точка а — в бесконечности) окружности расположена зона действия органа. В этом случае один из коэффициентов (кх или k3), например k x, обращается в нуль. Второй из этих двух коэффициентов (к3) может быть выбран произвольно, при этом
ki определяется из (2.10). Для определения к2 используется непо средственно равенство ЕХ= Е2, а также (2.3), (2.4), (2.10) и ра
венство &1= 0. Тогда после деления на \к31\ обеих частей равен ства Е\ = Е2 найдем
^3 _ |
= \Z — a\. |
|
k9 |
|
|
Так как точка Z расположена |
на характеристике, |
т. е. на |
окружности, а точка а — в центре |
окружности, то | Z—а \ —г и |
|
окончательно |
|
|
кг = k3r. |
(2.20) |
|
Аргумент k2 может быть принят произвольно.
Таким образом, перенесение одной из точек (а или Ь) в на чало координат возможно во всех случаях, когда характеристика не проходит через начало координат. При этом один из коэффи
циентов (k2 или fc4) обращается в нуль, т. е. из одной сравнивае мой величины исключается ток.
Перенесение одной из точек (а или Ъ) в бесконечность возмож но во всех случаях, когда характеристика имеет форму окруж
ности. При этом один из коэффициентов (&i или к3) обращается
29
в нуль, т. е. из одной сравниваемой величины исключается напря жение.
Пример 2.1. Определить, какие величины должны быть подведены к схеме сравнения для получения направленного реле сопротивления с углом макси мальной чувствительности 60° и сопротивлением срабатывания 6 ом.
Р е ш е н и е . Требуемая характеристика показана на рис. 2.16. Так как характеристика проходит через начало координат, то перенесение одной из точек
(а или Ь) в начало координат невозможно; возможно лишь перенесение одной из точек в бесконечность, при этом другая точка располагается в центре окруж-
Рис. |
2.16. |
Требуе |
Рис. 2.17. Требуемая характе |
|
мая |
характеристи |
ристика |
в комплексной плос |
|
ка в |
комплексной |
кости |
органа (для примера |
|
плоскости |
органа |
|
2. 2) |
|
(для |
примера 2.1) |
|
|
|
ности. Поскольку зона действия расположена внутри окружности, то в центре окружности должна быть помещена точка а, а в бесконечности точка Ь.
Таким образом, а=6е>60° /2= 1,5+/'-2,6; Ь = оо.
В соответствии с (2.9) /ei=0.
В соответствии с |
(2.10) |
—(1,5+/-2,6) Л*. |
В соответствии с |
(2.20) |
kz=6ks/2=3 йз. |
Таким образом, принимая кз вещественным, а кз мнимым, получим
4 = /3*зЛ 4 = h [0 - (1,5 + /■ 2,6) /'].
Пример 2.2. Определить, какие величины должны быть подведены к схеме сравнения для получения фазоограничивающего реле (шоры) с прямолинейной характеристикой, проходящей через точку (R = 2; ,Y=0) и наклоненной к оси R под углом 60°.
Р е ш е н и е . Требуемая характеристика показана на рис. 2.17. Перенесение
одной из точек (а или Ь) в бесконечность невозможно, так как характеристика прямолинейная. Однако возможно размещение одной из точек в начале коор динат. Поскольку начало координат располагается в области срабатывания,
в него должна быть перенесена точка а. При этом точка b представляет собой
30
зеркальное изображение точки а, если заданную прямую считать линией зер кала. Как следует из рисунка,
а = О, Ь = 2-2 cos 30° е -'300 = 3 —/• 1,73.
В соответствии с (2.9) k3= ( —3+/-1,73) fti.
Всоответствии с (2.10) fti=0.
Всоответствии с (2.11) и учитывая, что ft= l, k3= k l.
Таким образом, принимая fti и к3 вещественными, получим:
= *i[L7 — (3 — /-1.73)/], E%= kjj.
Пример 2.3. Определить, какие величины должны быть подведены к схеме сравнения для получения реле сопротивления. Характеристика его в комплекс ной плоскости Z должна иметь форму окруж
ности с углом максимальной чувствительности 60° и сопротивлением срабатывания в сторону
защищаемой |
линии 5 |
ом и в |
обратную |
сто |
|
рону 1 ом. |
|
Требуемая |
характеристика |
||
Р е ш е н и е . |
|||||
показана на |
рис. |
2.18. |
В данном случае |
воз |
|
можно размещение одной из точек в начале координат или в бесконечности. Так как прц размещении одной из точек в бесконечности решение полностью аналогично примеру 2.1, рассматривается перенесение одной из точек в начало координат. ^Поскольку начало коор динат располагается в области срабатывания,
в него должна быть перенесена точка а. Та
ким образом а = 0. Точка 6 находится на пря мой, проходящей через центр окружности Z0
и точку а (начало координат), с той же сто роны от центра окружности, что и точка а.
Расстояние от точки Ь до центра окружности определяется из (2.17).
Расстояние от точки а до центра окружности
Рис. 2.18. Требуемая ха рактеристика в комп лексной плоскости орга на (для примера 2.3)
aZ0 = (5— 1)/2 = 2.
Радиус окружности
г = (5 + 1)/2 = 3.
Согласно (2.17) 6Z0= r2/aZ0= 32/2=4,5, а расстояние от точки Ь до начала координат bZ0—aZ0= 4,5—2=2,5.
Тогда b= —2,5е^60° = —1,25—/• 2,16.
В соответствии с (2.18) ft=r/aZo=3/2= 1,5.
В соответствии с (2.9) k%=—bfti= (1,25+/• 2,16)Ai.
В соответствии с (2.10) ki = —ak3= 0. В соответствии с (2.11) k3=kki = 1,5fti.
Таким образом, принимая fti и к3 вещественными, получим:
E1 = k1[U + (1,25 + /-2,16)/], £ , = 1,й у л
31
§2.10. Зона действия измерительного органа при применении схемы хрввнения двух электрических величин по фазе
Всоответствии с (2.2) орган действует при
<Pi<(£i. £ ,) < фа.
В данном курсе рассматривается лишь простейший случай, когда
Ф2 = Ф1 + я. |
(2.21) |
При других соотношениях между <pi и фг могут быть получены более сложные граничные линии, чем рассматриваемые [Л. 12].
Угол между двумя векторами может быть получен как аргу мент их отношения:
4>1< a rg (£ 1/£ 2) = a rg r< « p 1 + n. |
(2.22) |
Рис. 2.19. Зона действия схемы сравнения двух электрических величин
по фазе в плоскости W
Рис. 2.20. Зона действия и граничная линия в плоскос ти Z при применении схемы сравнения двух электриче ских величин по фазе при
Ф1—Р=И=0 и <pi—р ^ ± л
Граничная линия при достаточно больших |
значениях |
и £ 2 |
|
выражается равенствами: |
|
|
|
arg W = фх; |
|
(2.23) |
|
arg W = |
Ф1 + п |
|
(2.24) |
и представляется в плоскости W прямой линией (рис. 2.19). |
|
||
Из (2.5) находим |
= arg Г-4 z +ktk |
|
|
arg W = arg klZi'.ki' - |
|
||
AjZ -{-kt |
L kt |
Z -(- k j k3 _ |
|
32
Учитывая, что аргумент произведения равен сумме аргументов множителей, используя (2.9), (2.10) и вводя обозначение при
и к3ф0,
|
|
arg ( № |
) = |
?, |
|
(2.25) |
|
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
arg W = |
arg |
Z ~ |
v- ~f р. |
|
||
|
|
|
|
Z — a |
|
|
|
Подставляя это значение в (2.23) и (2.24) |
и вычитая р из обе- |
||||||
их частей каждого уравнения, получим: |
|
|
|||||
|
|
2 — b |
|
а |
|
(2.26) |
|
|
arg------- r |
= <Pi — Pi |
|||||
|
|
Z — a |
|
|
|
|
|
|
arg |
Z ~ / |
= |
tpi — P -г я, |
(2.27) |
||
|
|
Z — a |
|
|
|
|
|
Z — f? |
— это |
угол, |
на |
который |
вектор Z—а отстает от |
||
где arg-------- |
|||||||
Z — a |
|
|
|
|
|
|
|
вектора Z—Ь. В |
комплексной |
плоскости |
Z векторы Z—а и Z— Ь |
||||
представляются прямыми, соединяющими точку Z с точками а и Ь. Если точка Z лежит на той части граничной линии, которая выражается уравнением (2.26), то угол между прямыми, соеди
няющими точку Z с двумя неизменными точками плоскости а и Ь, должен быть постоянным и равным q>i—р (рис. 2.20). Эта часть граничной линии является, следовательно, геометрическим местом вершин заданного угла <pi—р, опирающегося на две неизменные точки. Как известно, такое геометрическое место представляет собой при <pi—Р^О и qpi—р=/=я дугу окружности. Заданный угол является вписанным углом этой окружности, опирающимся на две
точки той же окружности. Следовательно, точки а и i должны ле жать на граничной линии органа. Следует отметить, что уравне нию (2.26) соответствует лишь та часть окружности, по которой
движение от точки Ь к точке а происходит против часовой стрелки
при положительном |
значении (pi—р |
(утолщенная |
линия на |
рис. 2.20). |
|
|
|
Для точки Z' на второй части окружности вектор Z'—а отстает |
|||
от вектора Z'— b на |
угол <pi—Р+ я, что |
соответствует |
уравнению |
(2.27). Таким образом, если диапазон углов, в котором реле дей ствует, равен углу я и угол <pi—р отличается от 0 и л, то характе ристика органа в комплексной плоскости представляется полной окружностью.
Для выяснения того, расположена ли зона действия внутри или
вне окружности, рассмотрим две точки на прямой |
ab, из которых |
2 Зак. 216 |
33 |
одна (m) находится на отрезке ab, т. е. внутри окружности, а другая (п) — на его продолжении, т. е. вне окружности. Для точ
ки т угол между та и mb, очевидно, равен я. Следовательно, точка т соответствует области действия, если угол я входит в диа пазон углов срабатывания, т. е.
Фх — Р < л:< Ф 1 — Р + я. |
(2.28) |
Для точки п угол между па и nb, очевидно, равен нулю. Следова тельно, точка п соответствует области действия, если угол, равный нулю, входит в диапазон углов срабатывания, т. е.
Фх — Р < 0 < ф х — р + я. |
|
|
|
(2.29) |
|||||
В этом случае на рис. 2.20 в качестве угла ф1—Р должен быть |
|||||||||
принят внутренний угол при точке Z' |
(он |
отрицателен, |
так как |
||||||
|
Z'— Ь отстает |
от |
Z'— а), |
а |
в |
качестве |
|||
|
угла |
ф[—р+ я |
— внутренний |
|
угол при |
||||
|
точке |
Z |
(на |
рисунке |
он |
обозначен |
|||
|
ф1—Р). В зависимости от того, какое из |
||||||||
|
условий |
выполняется, |
(2.28) или (2.29), |
||||||
|
т. е. угол я или 0 входит в диапазон |
||||||||
|
углов |
срабатывания, |
область |
|
действия |
||||
|
расположена, соответственно, внутри или |
||||||||
|
вне окружности. |
|
|
или ф!—р = —я, |
|||||
Рис. 2. 21. Зона действия |
Если |
угол |
ф1—р = 0 |
||||||
то точки Z, удовлетворяющие уравнению |
|||||||||
играничная линия в
плоскости 2 при приме |
(2.26), располагаются на прямой, соеди |
|||||||||
нении |
схемы |
сравнения |
няющей точки а и Ь, |
вне отрезка ab |
на |
|||||
двух |
электрических |
ве |
его |
продолжениях |
(см. утолщенные |
ли |
||||
личин |
по |
фазе |
при |
нии на рис. 2.21). |
|
|
|
|||
ф1 —Р=0 и ф1 —Р= —я |
правая часть уравне |
|||||||||
ния (2.27) обращается |
в я, |
При |
ф1—р= 0 |
|||||||
и точки Z', |
соответствующие этому |
|||||||||
уравнению, |
располагаются |
на |
отрезке |
ab. |
Таким образом, |
при |
||||
Ф1—р = 0 характеристика |
органа |
в комплексной |
плоскости, описы |
|||||||
ваемая уравнениями (2.26) и (2.27), представляется прямой, про ходящей через точки а и Ь. То же имеет место при ф]—р= —я.
Как легко видеть, для точек Z", расположенных слева от пря
мой (при движении от а к Ь), |
Z"—а отстает от Z"—Ь, т. е. |
|||
0 < arg |
—---- —< я. ' |
|||
|
Z tt |
— |
_ |
|
|
|
а |
|
|
Сравнивая это выражение с (2.26) и (2.27), |
находим |
|||
у |
— р = |
0. |
(2.30) |
|
34
Для точек Z'", расположенных справа от прямой, Z'"—ft отста ет от Z'"—а, т. е.
ут_ с
— я < arg -------®< 0.
Z"' — а
Сравнивая это выражение с (2.26) и (2.27), находим
Фх— р = — я. |
(2.31) |
Таким образом, область действия органа расположена слева
или справа от прямой ab в зависимости от того, определяется ли диапазон углов срабатывания равенством (2.30) или (2.31).
§ 2.11. Определение коэффициентов
k v k 2, k a И k i
для получения заданной зоны действия при применении схемы сравнения двух электрических величин по фазе при фг=ф1 + я
Из изложенного ясно, что граничной линией может быть либо окружность, либо прямая. Основой определения значений kif
k2, k3 и &4 является и в этом случае выбор положения точек а и ft в комплексной плоскости, в которой задана зона органа.
Как было показано в § 2.10, точки а и ft расположены на ха
рактеристике органа. Принципиально выбор точек а и ft никакими дополнительными условиями не ограничивается. С точки зрения упрощения схемы было бы желательно, чтобы одна из сравнивае мых величин содержала только напряжение или только ток, т. е.
чтобы один из коэффициентов {ku k2, k3 или /г4) был равен нулю. При этом, как следует из (2.9) и (2.10), одна из величин (а или ft) обращается либо в нуль, либо в бесконечность.
Обращение одной из величин (а или ft) в нуль означает разме щение соответствующей точки в начале координат. Поскольку
точки а и ft должны располагаться на характеристике органа, пе ренесение одной из них в начало координат возможно лишь в том случае, когда характеристика органа проходит через начало коор динат (направленное реле сопротивления, реле направления мощ
ности). Аналогично обращение одной из величин (а или ft) в бес конечность возможно лишь при наличии бесконечно удаленных то чек на характеристике органа. Такие точки имеются на прямой и отсутствуют на окружности. Таким образом, это упрощение воз можно лишь для прямолинейной характеристики и невозможно для характеристики в виде окружности.
2* |
35 |
При перенесении точки а в бесконечность коэффициент k3 обра щается в нуль, как следует из (2.10). При этом вынесение его из
знаменателя недопустимо. При |
k3= 0 знаменатель |
в (2.5) |
обра |
||||
щается в ki, производя деление, находим |
|
|
|
|
|
||
arg W = arg |
4 i- z + |
arg |
|
Z + |
К |
|
(2.32) |
Учитывая (2.9) и подставляя зйачение argW7 в (2.22), получим |
|||||||
<Pi<arg [A -(Z |
-b) = arg L |
arg (Z — Ь) < Фх + |
я |
|
|||
L *4 |
|
|
|
|
|
|
|
или, вычитая из всех частей неравенства &Tg(k1/kl), |
|
|
|
||||
Фх — arg (kjki) < arg (Z — 6) < фх + я — arg (kjk,). |
|
(2.33) |
|||||
|
Область действия органа может быть |
||||||
|
расположена либо слева, либо справа от |
||||||
|
характеристики |
при движении |
в |
поло |
|||
|
жительном направлении. |
При |
располо |
||||
|
жении |
слева |
от характеристики |
(точка |
|||
|
Z3 на рис. 2.22) |
arg (Z—Ь), как видно из |
|||||
|
рисунка, изменяется в пределах |
|
|
||||
|
|
6 < arg (Z — 6) < |
6 + я. |
|
(2.34) |
||
Рис. 2.22. Определение зоны действия для пря молинейной граничной линии при а—оо
При расположении справа от характери стики (точка Z4 на рис. 2.22)
6 — n < a r g ( Z — й) <б . |
(2.35) |
Соответственно:
при расположении области слева необходимо, чтобы
Фх — arg (kylki) = б
или |
|
|
«Pi — [arg ( k / k ) + б] = |
0; |
(2.36) |
при расположении области справа необходимо, чтобы |
|
|
Фх — arg (kjki) = б — я |
|
|
или |
|
|
Фх — [a rg (№ ) + 6] = - |
я. |
(2.37) |
Равенства (2.36) и (2.37) идентичны равенствам |
(2.30) и (2.31) |
|
при |
|
|
Р = arg(fe’x/A4) -f б. |
|
(2.38) |
Последним выражением и определяется значение Р при а= оо .
36
Оба упрощения, т. е. размещение одной из точек (а или Ь) в начале координат, а другой в бесконечности, возможны лишь для прямолинейной характеристики, проходящей через начало коорди нат (реле направления мощности). Для характеристики в виде окружности, не проходящей через начало координат, ни одно из указанных упрощений невозможно.
Некоторое упрощение построения схемы может быть достиг нуто, если отношения коэффициентов k2/kx и k j k 3 будут веществен
ными или мнимыми. При этом суммирование k\U + k2I и k3U+ k J может быть достигнуто применением одного из элементов трансре актора для мнимого отношения или трансформатора тока, нагру женного активным сопротивлением, для вещественного отношения. Для комплексного отношения приходится обычно применять оба
эти элемента. Указанные упрощения получаются при величинах а и Ь, имеющих вещественное или мнимое значение, т. е. при рас положении точек а и b на осях координат.
После выбора точек а и b легко определяется угол <pi—(J. Для прямой этот угол равен 0 или —л: в зависимости от того, по ка кую сторону прямой расположена зона действия органа. Для
окружности он равен вписанному углу, опирающемуся на точки а
и Ь. Какое из двух значений вписанного угла следует принять, зависит от того, внутри или вне окружности располагается зона действия органа. Зная угол <pi—{5, легко определить угол (5, так как значение <pi определяется свойствами схемы сравнения по фазе.
Величины а, Ь и р определяют отношения всех коэффициентов
k\, k2, k3 и согласно (2.9), (2.10), (2.25) (для отношения k\lk3
•определяется только аргумент; абсолютное значение этого отноше ния может быть принято произвольно). Задавшись одним из них, можно определить остальные.
Пример 2.4. Определить, какие величины |
£ t и Ег должны быть подведены |
к схеме сравнения по фазе для получения |
характеристики, указанной в при |
мере 2.1 (см. рис. 2.16). Срабатывание происходит при 0 < (£ i, Ё2) < я.
Р е ш е н и е . Так как характеристика проходит через начало координат, то целесообразно одну из точек, например а, разместить в начале координат (на рис. 2.16 точка а дана для примера 2.1):
а = 0.
Вторую точку Ь наиболее рационально разместить на мнимой оси, что дает возможность применить для суммирования наиболее простой элемент — транс
реактор. |
В то же время, |
точки а и Ь находятся не слишком |
близко |
друг |
к другу, |
что способствует |
повышению точности характеристики |
реле. |
Таким |
■образом |
|
|
|
|
|
|
b = /6-cos30°= /• 5,2. |
|
|
|
|
|
|
3 ) |