книги из ГПНТБ / Фабрикант, В. Л. Элементы устройств релейной защиты и автоматики энергосистем и их проектирование учеб. пособие

резонансной частоте / = / р е з

ток /

совпадает с напряжением U, так

как co(Li + L2) = l/(©Ci). Диаграмма

приобретает вид,

изображен­

ный на рис. 5.28, б. Угол между U' и U примерно равен я/2.

а)

V ;

'

в)

й

1\

U‘

й'

й'

и

и

Рис. 5.28. Векторные диаграммы фильтра рис. 5.27

При дальнейшем увеличении

частоты

/ > / ре3 ток

приобретает

индуктивный

характер и

отстает

от

напряжения

U, так как

Рис. 5.29.

Зависимость

Рис.

5.30.

Зависимость

абсолютного

значения

угла

ф между выходным

выходного

напряжения

напряжением U' и вход­

W от частоты f при по­

ным U от частоты f для

стоянном входном для

фильтра

рис. 5.27

фильтра

рис. 5.27

ройств телеизмерения,

является

мост Винна

(рис. 5.31).

Мост Винна настраивается так,

что

при

резонансной частоте

напряжение

U' совпадает

по

фазе

с напряжением

U. Так как

U '= U B—Uа

и Uа совпадает по фазе с У, то и UB должно совпа­

дать по фазе с U. Это совпадение будет осуществляться в том слу­

чае, когда угол ф! контура из

последовательно

соединенных

элементов

и

Ci и угол

<рг

контура из параллельно соеди­

ненных элементов R2

и С2 бу­

дут одинаковы.

определяется

Значение tgqpi

отношением

реактивного

со­

противления контура 1/(о)С]) к

его активному

сопротивлению

Ru т. е.

tgq>i=

\ /(«£ & ).

(5.57)

Рис. 5.31. Частотный мост Винна

Значение tgq)2 определяется отношением реактивной проводимо­

сти контура

соС2

и его активной

проводимости 1IR2, т. е.

tg ф2 =

g>C2R 2 .

(5.58)

При равенстве углов срх = ср2

равны и их тангенсы.

Приравнивая

(5.57) и (5.58), находим

Юрез = W R i R ^ C , .

(5.59)

При отклонении частоты от резонансной углы

контуров Ru С\

и R2, С2 изменяются в различных направлениях. Так, при увеличе­

нии частоты,

как следует из (5.57)

и

(5.58),

угол <pi

уменьшается,

а угол ф2 увеличивается. При

этом вектор UB, а следовательно, и

V' изменяются как по величине, так и по фазе.

Значение

UB может быть легко определено из схемы рис. 5.31:

где

и в =

Zr + Z2

и.

1

Zx — /?1

/ ■

a

Z, =

о)Сх

+ /юС*

1 /

Подставляя вместо Zy и Z2

их

значения,

после упрощений нахо­

дим

U,

M % (T i-fT 2 +

Т3)

U +

(1 -

€в*Г17’1)*

со2 (7 \ + Т г +

Г ,) 2

________з(1 — со2Г х Т 2)__________ _ у

•

(5.60)

+ / (1 — со2 В Д 2 + О)2 (T 1 + r I + T i )»

7 \ = / ? A ;

(5.61)

T<i = R%C2'y

(5.62>

Т3= а д .

(5.63>

U Bа = ■ (1 -

<M,(Ti + Tt + T,)

(5.64>

ш2^ ) 2 + ю2 (7\ + Г2 + Г3)3

и вр = ________юГ,(1 - м ^ г ,)

■f/.

(5.65)

( 1 -

<в2ГХТ2)2 + Ш2 (7\ +

Т2+ Г 3)2

м2Гз U2

(1 -

со27\Г 2) 2 + и 2 (7\ + Тг + Г8)2

а затем разделив на (5.64):

Цда+Цдр

7U/

i/Ва

Тх-

в&-

2 (T 1 + Tt +

и + и%р =

Т/ 12 1

T3

2 (^ + 7, + Г,)

(5.66)

Уравнение (5.66)

представляет собой

уравнение окружности,

при и Ва= и Вр= 0)

с радиусом

и =

_______^2^1_______

U =

2(7’1 +

2(R1Cl + R2C2+ R 2Cl)

Т2+ Тз)

1

и.

(5.67)

Окружность по (5.66) показана на рис. 5.32.

Как следует из (5.64)

и (5.65), при ю = 0 значение UB3L= U Bp=

= 0 , т. е. конец вектора

0 В находится в начале координат.

При

возрастании частоты £/Ва> 0 и UBp> 0, т. е. конец вектора

Ов

со =

1/ УтхГ2 = \lVRiRiCiC2 = (Орез,

реактивная слагающая обращается в нуль, т. е. вектор UB совпа­

дает с диаметром окружности.

При дальнейшем

увеличении

частоты co27'i7'2> 1 ,

£/вр< 0

и конец вектора

UB передвигается по

нижней полуокружности. Наконец, при

(1)==оо вновь UBa=UBp— 0 [знаменате­

ли (5.64) и (5.65) содержат более вы­

сокую степень

со (со4), чем

числители

(со2 и со3)] и конец вектора

й в возвра­

щается в начало координат.

Вектор 0'

отличается

от вектора

0 В на постоянный

(не зависящий от

частоты) и совпадающий с U вектор

U а :

Рис. 5.32. Характеристи­

O' = и в — иА.

ка,

которую

описывает

вектор Uв моста Винна

Соответственно

(см. рис. 5.31) при из­

характеристика,

менении частоты

по которой

перемещается

век­

Рис.

б.ЗЗ. Характеристика,

Рис. 5.34.

Характеристика,

которую описывает

вектор

которую описывает вектор

U' моста Винна, при изме­

U' моста Винна, при изме­

нении

частоты при

нулевой

нении частоты при ненуле­

настройке

вой

настройке

z1= R1- j —

= R i ( i - i -----

1 - / -

^рез Т-:)■

^ р ез^ 1

V

® р е з^ 1 ^ 1 /

\

Сопротивление контура Я2С2 при той же частоте

2 _______ |_____ ________R%____ _______ ^2_____

1//?2 Ч " /“ резСа

1 + /СОрез Л 2С2

1 Ч" / шрез ^2

При часто применяемых соотношениях R2=2R\ и С2=С\/2 по­

лучаем согласно

(5.59)

® р е з =

1 / V R i R 2 C i C 2 — 1 / ^ А ) ,

а согласно (5.61), (5.62) и (5.63):

T1 = R1C1,

Tt = RtCt = Tu

T3 = R2C1 = 2R1C1 = 2T1.

ZaHi = /? i( l - /) /2 .

(5.68)

Пример

5.4.

Рассчитать

сопротивления Ri и

R2= 2 R i,

а

также

сопротивле­

ния й

и й

и

внутреннее сопротивление моста

Винна (см.

рис. 5.31), предназ­

наченного для

замера частот

в диапазоне 2000 — 2200 гц. Емкости:

С1 = 0 ,2 мкф:

С2 =0,1

мкф.

Сопротивление

потенциометра 7 ? з + Д * = 2 0 0

ом. Для

повышения

ны выходить за пределы диапазона ±0,7 рад.

частоту

f p«s=

Р е ш е н и е .

Принимаем в качестве

резонансной среднюю

= 2100 гц;

тогда угловая частота

<йРе з = 2 я . 2 1 0 0 = 13 200

padjceK. Согласно

(5.59)

е)рез — 13 200 —

_________—

__________________________

/ д ^ г д ^ о , 2 . ю - « - о , ы о - «

______ 1

откуда

“

0,2-1О-0Ri

’

«1 =

1

-

378 ом;

Д, =

<2Rl =

2 • 378 ж 750 ом;

0,2-13 200.10-в

Г1 = 7’2 =

Л1 С1

= 378.0,2-10-*=75,6-10-» сек,

Тг =

27\ = 2-75,6 -10'* сек.

Находим по (5.65) реактивную слагающую 77р — UBр для частот 2000 и 2200 гц:

тТщУ-аРГЛ

■U.

Up

(1 - u'-TJz)* +

со2 (7\ + Т г + Т3)\

При / =

2200 гц

ш = 2я2200 рад/сек

2я.2200.2.75,6.10-«(1 — 4я8-2200».75,68.10-^)

_

и р2Ш =

(1 _ 4 Я2.2200а.75,62-10- 12)2+ 4я2.22002(4.75,6.10-*)*

'

° ’

При f

=

2000 гц,

со = 2л*2000 рад!сек

_

2я-2000.2.75,6.10-»(1 — 4я2 •2000».75,62-1Q-*2)

_

Р2000 - ( 1

_ 4 л2.20002.75,б2 . ю -И) 2 + 4я , -20002 (4 .75,6 -1 0 -*)*

и ~ •

1 •

Для того чтобы углы не выходили за пределы

± 0 ,7 (рад, их тангенсы l/p/77,

не должны выходить за пределы ± t g 0 , 7 = ± 0 , 8 4 , т. е.

— 0,84 < и р/и'й < 0,84

или

| U'p/U a’ | < 0,84.

Для этого необходимо:

при / =

гц иа22оа п>

i|^p2200j

0,01277

2 2 0 0

0 , 8 4

= 0,01477;

0 , 8 4

при / =

2000

гц | 77'а2000

| и:Р20001

0,01377

0,84

= 0,01677 .

0 , 8 4

и = и Ва

■UА,

или, учитывая, что Ua<7. 0

\и'я\ = иА - и Ва.

Значения UBa могут быть найдены из (5.64):

(0^(7, + ^ +

Г3)

Ва -

(1 — uP TJzY -I- со* (7 \ +

Т 2 +

Т3)2

При / =

2200 гц,

ш =

2я-2200 рад/сек

UВа2200 —

4 я 2 -22002 -2-75, 6 - Ю 'в-4-75,6- 10"в

(1 - 4 л 2 -22002 -75,62 -10- 12 ) 2 + 4л2 -22002 (4-75,6-Ю' " ) 2 ■U = 0 ,498У.

При /:

2 0 0 0 гц,

to =

2 я - 2 0 0 0

рад/сек]

иВа2000 —

4л2 -20002 -2-75,6-10-«-4-75,6-10-в

U == 0 ,5Э1£У.

(1 — 4я2

20002 • 75,6 2 • 10- 1 2 ) 2 +

4я2 • 20Э02 (4 • 75, 6

• 10'® )2

Тогда смещение:

^.42200 =

I ^а2200 I

^Ва2200

> 0 ,0 1 4 U -)- 0 ,4 9 8 U =

0 ,5 1 2 С/;

Ua2000 =

I ^а2000 I ~Ь^Ва2000

> 0 ,0 1 6 £ / - |- 0 ,5 0 1 U — 0,517 U .

Принимаем UA = 0,52U . Тогда (см. рис. 5.31)

Я4 =

0,52(Я3 +

Я4) =

0,52-200= 104 ом;

Яз = ( Д 3 4 - Я 4)

_

/ ? 4 =

200— 104 = 96 ом.

Внутреннее сопротивление

моста

Винна Zbh= 2 bhi + 2 Bh2. Поскольку соблю­

дены условия Rz—2R i и Cz—Ci/2, то,

согласно

(5.68)

2bhi - («i/2) (1 -

/) =

(378/2) (1 -

/) =

189 -

/189.

Сопротивление

2 Внг

состоит

из

параллельно соединенных частей Rz и Ri

потенциометра:

« 3 « 4

96-104

50 ом;

2ВН2-- Я3 +

« 4

=

200

Zm =

Zmi + Zm2 =

189 -

/ 189 +

50 =

239 -

/ 189.

Кроме моста

Винна применяется двойной Т-образный фильтр

с контурами RC

(рис. 5.35), который в данной работе не рассмат­

U (t) = 0

при

/ < 0 ;

U(t) = 1

при

t > О,

ным методом применяется п е р е д а т о ч н а я функция,

представ­

ляющая собой отношение изображений

по Лапласу (L)

выходной

и входной величин:

W(p) = L [^ВЫХ (01

L [ A B X ( t ) ]

'

L[h(t)]

L\h(t))

W ( P ) =

1/P

L [1]

h{t) = L-'\W(p)(\lp)}.

(5.69)

Б е з ы н е р ц и о н н ы й

э л е ме н т . Выходное напряжение у это­

го элемента

прямо

про­

а)

б)

£*_Г

порционально

входному,

4

а переходная

функция

*

имеет вид

Щл

иВыл и8х

От

h (0 =

k,

1

- U i

1—

где k = A BUX/ABX — коэф­

фициент передачи. К та­

ким элементам

относятся

потенциометр и трансфор­

матор

(при

условии

до­

статочно медленных изме­

нений

амплитуд

первич­

ных и вторичных

напря­

Рис.

5.36. Инерционные (апериодические)

эле

жений

— входной

и

менты:

выходной величин

— по

a—R—С-цепь; б—R—L-цепь; в—переходная функция

сравнению

с

периодом

первичного

напряжения).

И н е р ц и о н н ы й ( а п е р и о д и ч е с к и й )

э л е ме н т .

Данный

Лвых + г - ^ - = кАвХ,

(5.70)

UBZ = iR + ± ^ i d i ;

(5.71)

UBUX= ± ^ i d t .

(5.72)

i — Q 6U вых

(5.73)

Я С - % х_+ £/еЫХ= £/ВХ1

(5.74)

a t

где постоянная времени т = RC\

k — l.

выражение

Для R — L-цепи (рис. 5.36,

б) находится подобное

± . Л

!

^

+ иш х = и вх,

(5.75)

Н

a t

НЩ = L -

[ . ( 1 - - f

r - )

-L ] -* < 1

- e

- n

(5.77)

Как видно из (5.77) и рис.

5.36,

переходная

функция

(5.76)

представляет собой

экспоненту.

Для

схем рис.

5.36 k = l ,

однако