книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст
.pdfМОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
21 |
Распространение ударной волны с течением времени определим обычным способом [6], составляя баланс энергии во всей области, охваченной ударной волной.
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
|
|
\= г/R |
|
|
|
Р и с. 2. Профили скорости |
1, давления 2 и плотности 3 для гомо- |
|||||
термического |
автомодельного |
решения. |
|
|||
Энергия, заключенная в этой области, состоит из внут ренней энергии и кинетической энергии и должна рав няться полной энергии, выделившейся при взрыве. Для любого произвольного момента времени можно написать
R |
1 |
|
£ 0 = 4я J р |
-f ej г2 dr = 4л/?3 J р |
-f е) K2dK, (18) |
о |
о |
|
22 |
К. А. КОТ |
где Ео — энергия взрыва и R — радиус ударной волны, который является функцией времени.
Изменение плотности р и скорости и в зависимости от К находится по автомодельному решению. Остается определить профиль внутренней энергии. Если уравне ние состояния имеет форму, которая обеспечивает пол ную автомодельность решения, то из соотношения (18) легко вычислить радиус R, который, как можно пока зать, зависит от времени по простому степенному за кону [6].
Для уравнения состояния более общего вида необхо димо применять иной способ расчета. В нашем случае термическое уравнение состояния, которое аппроксими рует свойства воды при высоких температурах, имеет сложную форму и не может быть непосредственно ис пользовано для вычисления внутренней энергии. Кало рическое уравнение состояния, связывающее давление, плотность и энергию, имеется только в табличной фор ме. Значит, для интеграла энергии полной автомодель ности не существует. Равенство (18) можно записать через относительные переменные, представляющие про фили функций. Обозначая индексом s значения функций на фронте ударной волны и применяя соотношения Рэн кина— Гюгонио (6), получаем после упрощений
£»=2^ Ш - ‘11 |
<19> |
Если уравнение состояния задано (пусть даже в таблич ной форме), то для любого выбранного значения давле ния на ударной волне можно найти величины р„. и es при помощи этого уравнения состояния и энергетического соотношения на ударной волне, которое выражается ра венством (6в). Тогда, используя профили плотности и давления из гомотермического решения, а также табли цы, представляющие уравнение состояния, можно путем численного интерполирования найти значение энергии е. Далее, используя известные профили скорости и плот ности, можно численным интегрированием вычислить величину интеграла / в уравнении (19). Наконец, для каждого выбранного значения давления на ударной вол^
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
23 |
не рассчитывается для заданной энергии взрыва Е0 со ответствующий радиус ударной волны по формуле
R = |
(20) |
По известным значениям ps, ps и es можно при помо щи уравнений (6а) и (66) провести расчет скорости ударной волны U и скорости частиц и*. Из формулы (20) видно, что вместо радиуса ударной волны можно рассматривать его масштабированную величину, отне сенную к величине кубического корня из энергии взрыва.
Время прихода ударной волны (т. е. связь между ра диусом ударной волны и временем) легко находится численным интегрированием
<2‘>
о
Это время также может быть выражено в масштабе энергии взрыва, если воспользоваться простым законом кубического корня.
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК
Когда ударная волна, возникшая при точечном под водном взрыве, распространится далеко отточки взрыва, давление и температура на ударной волне значительно уменьшатся. При этом довольно быстро достигается состояние, при котором становятся несправедливыми как предположение о гомотермичности области, ох ваченной ударной волной, так и предположение о сильной ударной волне. Здесь более реалистичным бу дет предположение об адиабатическом расширении об ласти, охваченной ударной волной. В частности, можно принять, что каждая частица, как только по ней прошел ударный фронт, начинает изэнтропически расширяться. Удобная и точная численная схема для решения такой задачи может быть построена на основе метода харак теристик.
Для одномерного неустановнвшегося течения, в котором энтропия принимается постоянной вдоль
24 |
К. А. КОТ |
траектории частицы, закон сохранения энергии и- закон сохранения количества движения и импульса по-преж нему выражаются уравнениями (1) и (2) соответственно. Из первого начала термодинамики можно получить урав нение сохранения энергии в следующей форме:
Здесь через DjDt обозначена полная производная, свя занная с траекторией частицы. Удобно также ввести ско рость звука по определению
Кроме того, необходимо рассмотреть калорическое урав нение состояния, связывающее давление, плотность и энергию:
Е(р, Р, е) = 0. |
(24) |
Граничными условиями, как и раньше, будут условие симметрии в центре (5) и условия на фронте ударной волны, которые даются уравнениями Рэнкина — Пого нно (6). Для полной определенности задачи должны быть заданы начальные условия. Эти начальные усло вия включают условия в невозмущениой среде, вели чину энергии взрыва Ео и задание значений всех иско мых переменных вдоль некоторой линии, например вдоль линии постоянного значения времени.
Систему уравнений задачи (1), (2) и (22) можно преобразовать при помощи выражения для скорости звука (23) к эквивалентной системе обыкновенных диф ференциальных уравнений, называемых характеристи ческими уравнениями. Эти уравнения выводятся из ус ловия, что при переходе через характеристические линии производные функций могут быть неопределенными. Как только характеристические направления в физической плоскости найдены, можно получить соотношения сов. местности, связывающие термодинамические и гидро динамические переменные вдоль характеристических ли ний. В рассматриваемой задаче имеются три семейства характеристик. Направления характеристик и соотноше ния совместности вдоль них определяются так:
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
25 |
первое семейство
&|$- II |
+ О |
второе семейство
d r
— _ и — С,
|
|
. |
i: |
: .. |
|
1 dp + |
du + |
vc“ d t = |
0; |
||
pc |
r |
' |
1 |
Г |
9 |
— dp — du-{- — - d t = 0; |
|
pc r |
Г |
третье семейство
d r
w = u> de + pd (y) = 0.
•
(25)
(26)
(27)
Третье семейство характеристик фактически представ ляет собой семейство траекторий частиц. Систему этих уравнений снова замыкает уравнение состояния (24). Кроме того, надо знать способ вычисления скорости звука с; эту величину можно получить из соотношения, которое выводится из уравнения состояния и имеет вид
с
Врассматриваемой задаче как уравнение состояния, так
искорость звука могут быть заданы в табличной форме. Характеристические уравнения вместе с соответствую щими граничными и начальными условиями образуют полную систему для задачи с краевыми и начальными значениями, которая должна быть решена численным методом. Приведенные уравнения можно использовать как в размерных, так и безразмерных переменных.
Характеристические уравнения можно непосредствен но представить в конечно-разностной форме и интегри ровать численно. В результате решения числовые дан ные будут определены вдоль характеристических линий. Чтобы получить данные на линиях постоянного значе ния времени или постоянного значения радиуса, по требуется применять интерполирование по двум на правлениям. Кроме того, проведение расчетов вдоль ха рактеристик является довольно громоздким делом. Гораздо более удобной оказывается численная схема со
26 |
К. А. КОТ |
счетными слоями при постоянных значениях времени, которая первоначально была разработана Хартри [9]. В этой схеме характеристические уравнения используют ся для расчета решения, которое продвигается от одной линии постоянного значения времени к следующей такой
' |
! |
\ |
at
/
- * • — *-
I |
-*-•-----о- |
а
Ч г
Р и с. |
3. Расчет |
типичных |
точек методом |
характеристик по схеме |
со |
счетными |
слоями |
при постоянных |
значениях времени. |
линии, и, значит, результаты выдаются вдоль линий по стоянного значения времени для различных радиусов. Здесь мы применяли модифицированную численную схему, которая введена в работе [10] и в которой исполь зуются эйлеровы координаты. Кроме того, эта числен ная схема была еще изменена таким образом, чтобы иметь возможность вести расчеты при размерах шагов по времени, больших, чем шаги, которые допускает локальный критерий устойчивости. Это последнее ново введение значительно сокращает время расчетов, позво ляя вместе с тем получать вполне точное решение по пространственной переменной [13].
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
27 |
В применяемой численной схеме некоторое заданное количество узловых точек расчетной сетки, представляю щих собой частицы, продвигается от одной линии по стоянного значения времени к соседней такой линии. Сначала определяется приращение времени At между этими линиями, а затем используются характеристи ческие уравнения для расчета нового положения уз ловой точки и параметров течения в ней. Следует отметить, что при этом подходе (хотя уравнения и за писываются в эйлеровых переменных) по существу рас считывается перемещение частиц, т. е. здесь прини мается лагранжева концепция.
Конечно-разностные уравнения и вычислительную процедуру можно лучше всего проиллюстрировать на примере расчетов, которые требуется выполнить для продвижения одной типичной узловой точки, т. е. одной частицы. На рис. 3, а показана типичная узловая точ ка /', которую надо продвинуть от момента времени t до момента t + At. Предполагается, что все узловые точки и значения всех переменных в этих точках известны в мо мент времени t. Точка j отвечает положению частицы i в момент времени 7 + ДА Точки а и 6 представляют со
бой точки пересечения (« + с)-характеристики |
и |
(и — ^-характеристики, проходящих через точку /, |
с |
линией постоянного значения времени t. |
|
Характеристические уравнения, записанные в конеч- но-разностной форме с первым порядком точности,
имеют вид |
гj — rt = |
«,•/ At, |
(28а) |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
(286) |
|
О — Га= |
(и + |
c)al At, |
(29а) |
|
|
|
|
|
— |
|
|
— Ра) + |
(«/ — Ua) -f V { ^ f)ai Ы == 0, |
(296) |
||
|
Г/ |
гь= |
(и |
с)Ь! At, |
(30а) |
( рс )ь/ |
— Рь) — iuj — иь) + v ("7")6/ А/ = 0 . |
(306) |
|||
|
|
|
|
|
|
28 К. А. КОТ
Величины, отмеченные черточкой, являются средними, например
г7г/ = у ( « г + «/),
(31)
Величины в точках а и b на линиях постоянного зна чения времени t получаются интерполированием по из вестным узловым точкам на этой линии. Здесь в основ ном применяется квадратичная интерполяция; следова тельно, в каждой интерполяции участвуют три узловые точки. Поскольку точки пересечения а и Ъ соответствуют границам области зависимости решения для точки / на линии постоянного значения времени t, то при интерпо лировании всегда берутся две узловые точки внутри этой области и только одна точка вне этой области. Ко нечно-разностные уравнения, преобразованные к соот ветствующей форме, решаются итерациями вместе с уравнениями интерполирования и уравнениями, связы вающими функции термодинамического состояния. Ите рационная процедура прекращается, когда удовлетво ряется критерий сходимости как для скорости, так и для давления. Критерий сходимости для обеих этих пере менных обеспечивает сходимость с точностью до 0,00001 значений этих величин в предыдущей итерации.
Для точек, которые расположены вблизи одной из границ, характеристическая линия, проходящая через рассчитываемую точку, может пересекать границу. Та кой случай показан на рис. 3, б для точки р, которая должна быть продвинута до положения точки q. Оче видно, что для расчета точки q нельзя использовать ус ловия в точке Ь', так как она находится за границей всей области. Для определения точки Ь на границе или на линии разрыва вычислительная процедура видоизме няется.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ВОДЫ
Расчет мощного подводного взрыва требует соответ ствующего описания термодинамического состояния воды. Теоретически точечный источник взрыва в момент
МОЩНЫЕ ПОДВОДНЫЕ ВЗРЫВЫ |
29 |
взрыва создает бесконечные давления и температуры. Однако более реально считать, что при мощном взрыве можно ожидать давления свыше 10'° бар и температуру порядка 107 К [2]. Частицы воды, ударно сжатые до та ких предельных условий, будут подвергаться процессам диссоциации и ионизации. Вместе с тем при последую щем расширении удельный объем может достигать ве личины свыше 104 см3/г. Поскольку нас интересуют со стояния как сжатия, так и разрежения, то калорическое уравнение состояния для воды надо формулировать, охватывая диапазон давлений от 1 до 1010 бар и диапа зон плотностей от 10~4 г/см3 до максимальных значений при сжатии на ударной волне. Кроме того, для гомотермического решения в высокотемпературной области тре буется рассматривать термическое уравнение состояния, которое имеет форму уравнения (8).
Работы, выполненные ранее в этом направлении, во обще говоря, дают описание термодинамического состоя ния воды в несколько более ограниченном диапазоне. Так, таблицы для пара, опубликованные Американским об ществом инженеров-механиков (ASME) [14], позволяют хорошо определять термодинамическое состояние до давлений 103 бар. В работах [15, 16] приводятся данные
для более высоких |
давлений вдоль скачка Гюгонио и |
в ближайшей его |
окрестности, а именно до давлений |
8,1 -105 бар. Результаты этих работ и других исследова ний сведены в полезные таблицы Шарпом [17]. Другие таблицы, опубликованные Ховардом [18], доведены до значений давления 106 бар и температуры 104 К. Для диапазона более высоких значений приходится брать только данные, основанные на различных теоретических моделях и полученные при расчетах на вычислительных машинах, например в работе [19]. Имеются данные для
воды в диапазоне давлений от 1 |
до 104 Мбар (1 мега |
бар = Ю6 бар) и для плотностей, |
больших 1 г/см3; здесь |
рассматриваются температуры свыше 107 К. Эти резуль |
|
таты получены на основе |
модели атома Томаса — Фер |
ми. Из-за ограниченности |
такой модели эти результаты |
не следует применять для давлений, меньших 10 Мбар. Буткович [20] сообщил некоторые термодинамические данные для воды при температурах до 107 КЧ, давлениях
30 |
К. А. кот |
до 103 Мбар и плотностях в диапазоне от 10~5 до 10 г/см3. Эти данные также получены путем применения различ ных теоретических моделей.
р, г)см 3
Р и с. 4. Термическое уравнение состояния (р, р, Т) для воды при
высокой температуре.
/ — скачок Погонно.
Имеющиеся данные мы использовали для построе ния соответствующих термодинамических графиков. Та кие графики часто бывают необходимы, чтобы устранить несоответствия между данными из различных таблиц. Кроме того, для некоторых областей требуется провести сглаживание данных. Чтобы получить данные во всей интересующей нас области мы провели их интерполиро