книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст

9.Snay Н. G., in «Naval Hydrodynamics», Nat. Acad. Sci., Nat. Research Council, Pub!. 515, 1957. ch. XIII.

10.Berger S. A., Holt M., in «Proceedings of the Sixth Midwestern Conference on Fluid Mechanics», Univ. of Texas Press, Austin, Texas, 1959, p. 118.

11.Berger S. A., Holt M., Phijs. Fluids, 5, 426 (1962).

12.Haywood J. H., in «Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics», ed. by H. Gortler, Springer-Ver- lag, Berlin, 1966, p. 993.

13.Кочина H. H., Мельникова H. С., в сб. «Неустановившиеся дви­

жения сжимаемых сред с взрывными волнами», Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 87, 1966, стр. 35.

14.Richardson J. М., Arons А. В., Halverson R. R., J. Chem. Phys., 15, 785 (1947).

15.Кузнецов Н. М., Ж- прикл. механ. и техн. физ., № 1, 112 (1961).

16.Taylor G. I., Proc. Roy. Soc. (London), А200, 235 (1950).

17.Wecken F., Mem. 14 m. Lab. Researches Tech. Saint Louis, 1951.

18.Berry F. J., Holt M., Proc. Roy. Soc. (London), A224, 236 (1954).

19. Courant R., Friedrichs K. 0., Lewy H., Math. Ann., 100, 32 (1928).

20.Walker W. А. (в печати).

21.Рихтмайер P. Д., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ, М„ 1960.

22.Guderley G„ Luftfahrtforschung, 19. 302 (1942).

23.Coleburn N. L., Roslund L. A., in «Proceedings of the Fifth Sym­ posium (International) on Detonation», U. S. Government Printing Office, Washington (в печати).

24.Rice M. H., Walsh J. M„ J. Chem. Phus., 256, 824 (1957).

25.Hantel L. W., Davis W. C., in «Proceedings of the Fifth Sympo­ sium (International) on Detonation», U. S. Government Printing Office, Washington (в печати).

26.Kell G. S., Whalley E., Philos. Trans. Roy. Soc. (London), 258, 565 (1965).

27.Keenan J. H., Keyes F. G., Hill P. G., Moore J. G., Steam tables, Wiley, New York, 1969, table II, p. 12.

предположений, положенных в основу теории. В част­ ности, рассматривается, как влияет на распространение ударных волн отказ от предположения о тепловом рав­ новесии между пузырьками воздуха и водой, а в неко­ торых случаях при распространении сильных волн в смесях учитывается возможность растворения пузырь­ ков.

II. ОБЗОР ПРЕДЫДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Поскольку в качестве отправной точки нашего иссле­ дования взяты результаты Кэмпбелла и Питчера, то полноты ради мы должны вначале подвести итог их ре­ зультатов. Одной из основных целей их исследования было определение условий, при которых гетерогенная смесь воздуха и воды могла бы рассматриваться как однородная сплошная среда при определении ее макро­ скопического механического поведения. В физической модели Кэмпбелла для акустических волн предполага­ лось, что воздух в такой смеси ведет себя изотермически, а вода рассматривалась как несжимаемая жидкость. Теоретически он установил, что скорость звука в смеси близка к скорости звука в изотермической сплошной среде, если расстояние между центрами пузырьков меньше десятой доли длины волны и если радиусы пу­ зырьков меньше 0,004 дюйма, за исключением тех слу­ чаев, когда частота звука менее 100 Гц.

При изучении ударных волн Кэмпбелл и Питчер рас­ сматривали смесь как сплошную среду, описанную выше, которая отличается лишь тем, что уравнение со­ стояния допускает возможность изменения температуры смеси. При этом предполагалось, что пузырьки воздуха и вода всегда имеют одинаковую температуру. Распро­ странение ударных волн исследовалось посредством обычного анализа, основанного на уравнениях нераз­ рывности, количества движения и энергии. Было най­ дено, что изменениями температуры на ударной волне можно пренебречь для рассматриваемого диапазона давлений. Они доказали также из рассмотрения энтро­ пии, что волна разрежения не может распространяться без изменения формы, а волна сжатия становится все

круче и переходит в ударную волну. Выводы теории сравниваются с экспериментами в малой ударной трубе, наполненной воздушно-водяной смесыо. Эксперименты довольно хорошо подтверждают теорию для ударных волн с перепадом давлений до 12 фунт/дюйм2.

При построении теорий, подобных теории, предло­ женной Кэмпбеллом и Питчером, диссипация энергии предполагается лишь в окрестности фронтов ударных волн. Диссипативные эффекты, подобные известным из исследования распространения акустических волн в жидкости, содержащей пузырьки воздуха [4], не рас­ сматриваются. В данной работе также принимается это предположение. Для интересующих нас случаев, вклю­ чающих сильные ударные волны, диссипация на фронте ударной волны намного превышает диссипацию в дру­ гих областях потока.

III. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВОЗДУШНО-ВОДЯНЫХ СМЕСЕЙ

КАК ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ

А. Предварительные обсуждения

При анализе течений воздушно-водяных смесей было бы очень удобно рассматривать такую смесь как про­ стую жидкость с подходящими термическим и кало­ рическим уравнениями состояния и не рассматривать эффекты «релаксации» колебания пузырьков воздуха, теплообмен между пузырьками и водой и т. д. Такое упрощение ввели предыдущие исследователи, пренебре­ гая изменениями температуры и давления между пузырь­ ками воздуха и водой и тенденцией воздуха растворять­ ся в воде. Однако, поскольку нас интересует более ши­ рокий диапазон условий, чем диапазон предыдущих ис­ следований, их оправдание такого рода предположений здесь оказывается недостаточным, и задача должна рас­ сматриваться заново.

В действительности изменения давления в потоке могут быть настолько быстрыми, что температуры и дав­ ления воздуха и воды не успевают достичь равновесия, или в других случаях — настолько медленными, что воз­

дух может растворяться в воде. Кроме того, если пу­ зырьки имеют достаточно малый размер, то давление воздуха^ может значительно превышать давление воды Изчза поверхностного натяжения. Если же воздушные пузырьки первоначально относительно большие, то они могут разбиваться на более мелкие..при.внез_эпном силь­ ном сжатии; это явление наблюдалось эксперименталь-’ 110 [5]. В последующих разделах мы оценим порядки величин этих сложных эффектов, чтобы установить, в каких случаях ими можно пренебречь. Кроме предполо­ жения о тепловом равновесии и о том, что воздух не растворяется в жидкости, введем другие приближенные модели, которые при некоторых обстоятельствах должны более точно описывать истинное явление.

Б. Поверхностное натяжение

На поверхности раздела газ — жидкость давление изменяется на величину 2o/R вследствие поверхностного натяжения. Здесь R — средний радиус кривизны поверх­ ности раздела, а о — коэффициент поверхностного натя­ жения воды, равный 4-10-4 фунт/дюйм при комнатной температуре (уменьшающийся при увеличении темпера­ туры). Таким образом, для пузырьков радиусом больше чем 10-3 дюйма это изменение давления составляет ме­ нее нескольких процентов атмосферного давления. Если пузырек воздуха сжимается, его радиус уменьшается и, следовательно, величина 2a/R увеличивается, но не на­ столько быстро, как внутреннее давление, которое рас­ тет как I/R3, если воздух подчиняется изотермическому уравнению состояния, и быстрее, если воздух нагре­ вается. Следовательно, если силы поверхностного натя­ жения первоначально пренебрежимо малы, то они остаются малыми и при сжатии при условии, что пузы­ рек воздуха не распадается на гораздо более мелкие пузырьки.

В. Динамические характеристики пузырьков воздуха

Если в воздушно-водяной смеси давление внезапно меняется, то размер пузырьков не может мгновенно под­ строиться под новое давление и имеется некоторое

а с и с — два комплексных корня. Видно, что как интер­ вал интегрирования, так и подинтегральное выражение зависят от величины Ь, которая в свою очередь зависит от р\1р2- Когда эти два эффекта имеют место, они стре­

104 фунт/дюйм2, время схлопывания пузырьков заклю­ чено в пределах тс = 1±0,1. В дальнейшем будем поль­ зоваться средним значением тс = 1 ,0 . Возвращаясь к уравнению (5), можем теперь записать время схлопы­

Графики этой зависимости приведены на рис. 1. Видно, что времена схлопывания обычно составляют менее 2 мс для пузырьков радиусом менее 1 дюйма.

Времена, показанные здесь, соответствуют времени, при котором достигается первый минимальный радиус. В действительности при схлопывании радиус пузырька скачком переходит к радиусу, меньшему радиуса, соот­ ветствующего равенству внешнего и внутреннего давле­ ний, и затем колеблется около этого равновесного ра­ диуса. Наличие колебаний означает, что времена схло­ пывания, приведенные выше, занижают оценку времени, которое требуется для достижения равновесного размера пузырьков. С другой стороны, наблюдения схлопывания и восстановления пузырьков кавитации, содержащих воздух, свидетельствуют о быстро затухающем процессе восстановления пузырьков [5, 7]. Поэтому можно с уве­ ренностью считать, что вычисленные выше времена схло­ пывания оценивают величину порядка времени, за кото­ рое статическое давление воздуха и давление воды до­ стигают равновесия после внезапного схлопывания жидкости.

Теория показывает [8, 9], что сферическая форма воз­ душных пузырьков является неустойчивой на поздней стадии схлопывания и на ранней стадии восстановления (если пузырьки воздуха не настолько малы, что поверх­ ностное натяжение стабилизирует их форму). Экспе­ риментальные фотографии [5, 7] подтверждают, что охлопывающиеся пузырьки действительно принимают

4

Рис. 1. Характерные времена схлопывания и охлаждения для пу­ зырьков различных размеров.

160 Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР. Г. Л. БРОУД

Вследствие этого при рассмотрении теплового потока изменениями температуры во всем объеме воды можно пренебречь. Кроме того, можно показать, что изменения температуры в воде в окрестности пузырька являются достаточно малыми по сравнению с изменениями темпе­ ратуры внутри пузырька. Чтобы показать это, предпо­ ложим, что Aq — величина потока тепла от газа к воде за время At. Тепловой поток через поверхность раздела можно записать в виде

где индексы w и а относятся к соответствующим вели­ чинам в воде и воздухе, а я — коэффициент удельной теплопроводности, АТ — изменение температуры, Аг — расстояние от поверхности раздела. Но Аг связано с At через коэффициент термодиффузии D следующим образом:

При сжатии воздушно-водяной смеси температура воз­ духа вначале повышается, и даже после отвода боль­

можно пренебрегать вплоть до давления 104 фунт/дюйм2. Чтобы оценить время, требующееся для установле­ ния теплового равновесия, рассмотрим идеализирован-