книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст

Это выражение можно применить также и к случаю теплоизолированных пузырьков, если отношение ДТ’/7't заменить отношением АТа1Т±. В интересующих нас слу­ чаях p j k < 1, вследствие чего выражение (41) упро­ щается:

Кроме того, в предположении теплового равновесия не­ трудно показать, исходя из соотношения (41а) и рис. 3, что членом, пропорциональным АТ/Ти можно прене­ бречь. В случае теплоизолированных пузырьков это от­ ношение нужно заменить отношением ATJTi и прене­ брегать этим выражением уже нельзя.

Для того чтобы сравнить эти две теории, нужно найти отношение скоростей ударных волн для равно­ весного и теплоизолированного случаев при условии,что начальное состояние перед ударной волной и давление за ударной волной одни и те же в обоих случаях. Ре­ зультаты таких вычислений при нормальных темпера­ туре, давлении и плотности показаны на рис. 5. Видно, что разница между скоростями ударных волн всегда ме­ нее 20%, а при высоких отношениях давлений составляет только 10%. Иногда, наоборот, может потребоваться сравнить давления на ударной волне, вычисляемые при двух различных предположениях, когда начальные со­ стояния и скорости ударных волн одинаковы. В инте­ ресующих нас областях величина p 2/k много меньше

относительную разницу для Ui нужно удвоить, чтобы по­ лучить оценку разницы для р2 при фиксированном значении щ.

В предыдущем анализе ударная волна рассматрива­ лась как переход от состояния 1 к состоянию 2 на рас­ стоянии, малом по сравнению с размерами поля тече­

174Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД

ввоздушно-водяной смеси особо размазаны на ширину мелкомасштабных неоднородностей смеси. В частности,

переходная область ударной волны должна иметь

Р и с. 5. Сравнение скоростей нормальной ударной волны, вычислен­ ных по теории теплового равновесия и теории изолированных пу­ зырьков.

По оси абсцисс: давление за ударной волной р2, фуит/дюйм2; по оси ординат: отношение скорости ударной волны по теории изолированных пузырьков к скорости ударной волны по теории теплового равновесия.

ширину по крайней мере нескольких диаметров пузырьков или нескольких расстояний между ними. Кроме того, динамический эффект от схлопывания и колебания пу­ зырьков будет размазывать ударную волну на расстоя­ ние, равное скорости ударной волны, умноженной на

время порядка tc (см. рис. 1); это расстояние обычно составляет около 10 диаметров пузырьков.

Если имеет место теплопроводность в значительной степени, то она будет также увеличивать переходную область. Если характерные времена теплопроводности велики по сравнению с временами схлопывания пузырь­ ков, но не настолько, чтобы теплопроводностью можно было пренебречь, то профиль давления можно разделить на две части. Первая часть, толщиной порядка несколь­ ких диаметров пузырьков, имеет крутой профиль и дает скачок давления, соответствующий теории теплоизоли­ рованных пузырьков. Затем профиль давления стано­ вится более пологим с перепадом давления в 20—30%, так как пузырьки охлаждаются и давление стремится к значению, соответствующему тепловому равновесию при том же самом значении скорости ударной волны. Пологий профиль давления имеет место на интервале времени порядка ^о%, показанного на рис. 1, которое соответствует расстояниям от нескольких дюймов до не­ скольких футов для рассматриваемого диапазона значе­ ний параметров смеси.

Вышеприведенные рассуждения применимы только в случае, если пузырьки не распадаются на такие мелкие части, которые очень быстро растворяются. Когда пу­ зырьки растворяются и, следовательно, за ударной вол­ ной находится только вода, тогда соответствующие соотношения на ударной волне можно получить из урав­

1(1+|х)р*(1+р./Л )р,Х

*1>2 ~ ^1W 1+^{(ВТрЧт)(1 + р2/6)-р,}(1 .+ ?,/£)]

(42)

При 1 это выражение упрощается:

На рис. 6 приведены результаты сравнения скоростей ударной волны, вычисляемых по формуле (42) или (43) и по теории теплового равновесия. С точностью до по­ строения графика это отношение не зависит от относи­ тельного содержания воздуха р, в пределах рассматри­ ваемых значений. Разница между этими двумя теориями

Рис. 6. Сравнение скоростей нормальной ударной волны, вычислен­ ных по теории теплового равновесия и теории растворяющихся пузырьков.

По оси абсцисс: давление за ударной волной р ?| фунт/дюйм8; по оси ординат: отношение скорости ударной волны по теории растворяющихся пузырьков к скорости ударной волны по теории теплового равновесия.

наиболее велика при небольших значениях избыточного давления за ударной волной и становится малой при больших значениях избыточного давления. Имеющиеся экспериментальные данные [3] по слабым ударным вол­ нам в воде, содержащей пузырьки воздуха радиусом 0,005 дюйма, согласуются с расчетами в предположении о тепловом равновесии, а не с расчетами в предполо­ жении о растворении пузырьков. При более высоких давлениях, когда пузырьки распадаются на более мел­ кие и растворение становится более вероятным, экспе-

римвнтальных данных нет. Кроме того, обычные данные зависимости скорости от давления при более сильном сжатии за ударной волной должны быть очень точными, чтобы выявить различие между двумя теориями. Если имеет место значительное растворение пузырьков, то оно влияет на профиль ударной волны. Однако растворение обычно является медленным процессом, если только пу­ зырьки не распадаются на более мелкие за ударной волной. Если этот эффект и имеет место, в настоящее время мы не умеем рассчитывать размер получающихся в результате пузырьков, а следовательно, и толщину зоны релаксации (растворения) в ударной волне.

Можно провести также другие сравнения трех пред­ ставленных расчетов. Однако приведенные выше резуль­ таты достаточно ясно указывают на величину ошибки, которую следует ожидать, если мы используем ту или иную идеализацию для расчета распространения удар­ ной волны в реальных смесях.

V. СООТНОШЕНИЯ РЭНКИНА — ГЮГОНИО ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН

В этом разделе мы приведем графики параметров ударной волны, полученные из приведенных выше урав­ нений при постоянной начальной температуре 21 °С. Для удобства вначале приведен график (рис. 7) зависимости отношения объема воздуха к объему воды а от отноше­ ния масс ц при различных значениях статического дав­ ления.

Все графики соотношений на ударной волне разде­ лены на три группы соответственно теориям теплового равновесия (рис. 8—17), теплоизолированных пузырьков (рис. 18—27) и растворяющихся пузырьков (рис. 28— 33). На рис. 8 показана вычисленная по теории тепло­ вого равновесия скорость распространения ударной вол­ ны в покоящейся воздушно-водяной смеси в зависимости от интенсивности ударной волны при различных значе­ ниях относительной массы воздуха. На рис. 9 приведены значения величины (iii — и2)/с2, т. е. числа Маха за ударной волной,, распространяющейся в покоящейся

среде. На рис. 10 представлены соответствующие вели­ чины динамического давления за ударной волной.

Рис. 7. Диаграмма, связывающая относительный объем с относи­ тельной массой воздуха в смеси.

По оси абсцисс: отношение массы воздуха к массе воды ц; по оси ординат; отношение объема воздуха к полному объему смеси.

Если сжимаемостью среды пренебречь, то параметры ударной волны с хорошей степенью точности будут за­ висеть только от а и р2/рь Ha рис. 8—10 приведены ре* зультаты соответствующих числовых расчетов. Однако

если сжимаемость воды нужно учитывать, то параметры ударной волны будут зависеть в отдельности как от р2,

щ т ;с

ной волной при различных значениях относительной массы воздуха.

так и от р1. Поэтому представляется полезным дать до­ полнительные графики скорости ударной волны иi в за­ висимости от р\. Линии постоянных значений р2 и щ — и2 в плоскости «ь pi показаны на рис. 11—17. Каждому значению р соответствует отдельный рисунок. Все вы­ числения проводились при начальной температуре Т: = . = 21°С.

Аналогичные графики были построены и для теории теплоизолированных пузырьков (рис. 18—27). Для тео­ рии растворимых пузырьков мы привели графики скоро­

личных значений относительной массы воздуха.

сти ударной волны, числа Маха и динамического дав­ ления за ударной волной при различных значениях ,ц. Все вычисления проводились при начальной температуре Т{ — 21 °С. На рис. 28—30 давление р\ перед удар­ ной волной принималось равным 14,7 фунт/дюйм2; на рис. 31—33 давление р\ = 100 фунт/дюйм2.