книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст

ный случай, когда сферические пузырьки воздуха фиксированного радиуса R и постоянной начальной температуры Г2 (после сжатия) окружены водой с температурой Т\. Если пренебречь изменениями коэффициента термодиффузии Da в воздухе, средняя температура в пузырь­ ке в момент времени t будет выражаться в виде [10]

Относительное изменение средней температуры воздуха по сравнению с изменением от начального значения Гг до предельного Т\ равно

В дальнейшем будем предполагать, что охлаждением пу­ зырька можно пренебречь, если относительное охлаж­ дение составляет менее 10%, а если охлаждение составляет более 90%, то можно пренебречь разницей температур пузырьков воздуха и окружающей воды. Со­ ответствующие времена можно найти путем численного решения уравнения (15)

6 Зак, 741

Д. Растворение пузырьков воздуха в воде

Даже когда воздушно-водяная смесь первоначально насыщена воздухом, при увеличении давления раствори­ мость воздуха в воде увеличивается. Задача о растворе­ нии сферических пузырьков в полностью ненасыщенной воде при температуре 21 °С и постоянном давлении была решена Эпштейном и Плессетом [11]; их результаты можно записать в виде

до начала растворения. Ниже будет показано, что время td намного больше, чем времена схлопывания и охлажде­ ния, что оправдывает предположение о постоянстве тем­ пературы и давления, принимаемое в данной работе (а также позволяет не учитывать растворимость возду­ ха при рассмотрении схлопывания и охлаждения пу­ зырьков). Для пузырьков, имеющих в начальный мо­ мент радиус R 1 и давление рь при сжатии до давления р2 уравнение (22) дает

Если вода в начальный момент насыщена воздухом при давлении р\, то уравнение (23) справедливо только при условии pdp\ > 1. При P2IP1 — 2 вода после сжатия ста­ новится полунасыщенной, а время td увеличивается в два раза [11] по сравнению с величиной, определяемой по уравнению (23).

из которого видно, что времена растворения много боль­ ше времен охлаждения для всех случаев, представляю­ щих интерес. Для пузырьков радиусом больше 10-3 дюйма при давлениях меньше 104 фунт/дюйм2 время раство­ рения, вычисляемое по выражению (23), обычно состав­ ляет больше 10-2 с. Для пузырьков бодьщих размеров и

6*

скольку в обычных воздушно-водяных смесях отношение масс воздуха и воды мало, то после растворения воз­ духа смесь будет вести себя приближенно, как чистая вода.

Во всех случаях уравнение состояния смеси будет основываться на предположении, что воздух внутри пу­ зырьков подчиняется закону совершенного газа

личается от плотности при давлении в 1 атм). При тем­ пературе 21 °С, которая принималась в численных рас­ четах в данной работе, имеем

р* = 62,4 фунт/фут3,

и

k = 3 ■105 фунт/дюйм2

при низких давлениях. Хотя k увеличивается при увели­ чении давления, ошибка в вычислении рю вследствие предположения о постоянстве k в соотношении (26) со­ ставляет только 10% при давлении 104 фунт/дюйм2, в то время как ошибка, вносимая в соотношение на удар­ ной волне, обычно намного меньше, поскольку основное изменение плотности происходит за счет сжатия пу­ зырьков.

Пусть теперь р, есть отношение массы воздуха к мас­ се воды в смеси. Приравнивая полный объем массы смеси l + i-i к объему воздуха плюс объем воды, полу­ чаем

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОДЕ С ПУЗЫРЬКАМИ ВОЗДУХА 167

сжатия

АЕШ= - JРа pd( 1/рш) = Pi

Для течений с диссипацией, таких, как течение с ударными волнами и течение в пограничном слое, необходи­ мо найти способ разумного разделения диссипируемой энергии между фазами воздуха и воды. Поскольку вплоть до давлений 104 фунт/дюйм2 ударные волны яв­ ляются довольно «слабыми» и недиссипирующими в воде, в то время как диссипация, необходимая для со­ хранения ударного профиля, по-видимому, имеет место в волнах сжатия, которые отражаются назад и вперед внутри индивидуальных пузырьков, то для таких удар­

том случае, когда содержание воздуха в жидкости не очень мало. Если допустить, что ц-э-0 при Та^-оо, то в любом бесконечно малом объеме воздуха количество диссипируемой энергии будет конечным. Так как извест­ но, что диссипируемая энергия является величиной третьего порядка малости по отношению к разности дав­ ления в ударной волне, то не удивительно, что величи­ на ДТа может быть вычислена с большой погрешностью, если только в разложении (31) не учитывать несколько членов ряда; этот факт был случайно обнаружен при проведении излагаемых здесь численных расчетов.

Вывод уравнений (28) — (30) основан на законе идеального газа и предположении о постоянстве удель­ ной теплоемкости воздуха в пузырьках. Эти предполо­ жения, строго говоря, несправедливы при высоких дав­ лениях, рассматриваемых здесь. Однако основным фи­ зическим свойством смеси, которое определяет свойства потока, является изменение объема при сжатии. При

168 Б. Р. ПАРК.МН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД

очень высоких давлениях остаточный объем сжатых пу­ зырьков настолько мал, что даже значительная ошибка при вычислении этого объема оказывает малое влияние на рассчитанные свойства потока.

В теории, учитывающей растворение пузырьков, толь­ ко начальная плотность (до сжатия) зависит от темпе­ ратуры. После сжатия плотность смеси равняется плот­ ности воды без пузырьков воздуха, определяемой по формуле (26). Хотя энергетический баланс может быть выписан и в этом случае, течение определяется без это­ го соотношения.

IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКОВЫХ И УДАРНЫХ ВОЛН В ВОЗДУШНО-ВОДЯНЫХ СМЕСЯХ

А. Скорость звука

Скорость звука в жидкости определяется формулой С2 = dp/dp. Для воздушно-водяной смеси при тепловом равновесии Та = Tw, а в случае, когда отношение масс воздуха и воды мало, температура постоянна. Диффе­ ренцируя уравнение (28) и исключая Та при помощи уравнения (25), получаем

Приравнивая производную по р от выражения (32) нулю (чтобы определить относительное содержание воз­ духа, при котором скорость звука будет минимальной), с очень хорошей степенью точности находим, что для любого р из рассматриваемого диапазона значений ве­ личина С будет минимальной, если р = ра/р*. Это усло­ вие выполняется, если половина объема смеси занята воздухом. При давлении 14,7 фунт/дюйм2 и температуре 21 °С отношение р = 1,26-10-3. Величины р, превышаю­ щие это значение, не будут рассматриваться в данной работе. Изменения скорости звука в зависимости от давления для трех различных значений р приведены на рис. 2. Линия р = 0 («нет воздуха») соответствует ско­ рости звука в чистой воде при температуре 21 °С, т. е.

170 Б. Р. ПАРКИН, Ф. Р. ГИЛМОР, Г. Л. БРОУД

Б. Ударные волны

Выведем соотношения на прямой ударной волне в рассматриваемой среде посредством обычного анализа, при котором ударная волна связывается с системой ко­ ординат, а поток жидкости втекает в нее. Пусть индекс 1

рг ,щнт/дюймг

Р ис. 3. Скачок температуры за прямой ударной волной в воздуш­ но-водяной смеси, вычисленный по теории теплового равновесия между пузырьками воздуха и водой.

относится к величинам в потоке перед ударной волной; так, Ui, pi, pj и Ti обозначают скорость частицы, ста­ тическое давление, плотность и температуру в смеси до прохождения ее через скачок. Индекс 2 относится к зна­ чениям этих величин за ударной волной. В выбранной системе координат запишем уравнение неразрывности

и уравнение количества движения