книги из ГПНТБ / Подводные и подземные взрывы сб. ст

при прохождении ударной волны, то здесь необходимо единое рассмотрение всей области, охваченной ударной волной. Задача о взрыве представляет собой одномер­ ную неустановившуюся гидродинамическую задачу со сферической симметрией и по своей природе является гиперболической. Основным численным методом, кото­ рый будет применен для решения этой задачи, будет метод характеристик. Таким образом, данная работа представляет собой распространение подхода Холта [3] на случай задачи о мощном взрыве. Однако здесь нель­ зя начинать расчеты непосредственно от точки взрыва в момент детонации. Начальные условия должны быть получены в некоторой конечной области. Мы определим эти условия, идеализируя самую раннюю стадию взрыва как автомодельное решение для точечного источника взрыва [6, 7]. Однако обычное допущение об адиабати­ ческом поведении среды будет заменено предположе­ нием, что область, охваченная ударной волной, является гомотермической, т. е. температура в ней есть функция только времени [8]. Это предположение означает, что внутри области, охваченной ударной волной, на самой ранней стадии взрыва скорость теплопередачи стремит­ ся к бесконечности. Если иметь в виду исключительно высокие температуры в окрестности точки взрыва, вьь званные ударной волной и другими механизмами взры­ ва, то предположение о нулевом градиенте температуры в радиальном направлении оказывается вполне рацио­ нальным.

Полученное гомотермическое решение развивает ра­ боту [8] других исследователей, которые нашли такие решения для случая совершенного газа. Однако приме­ нение гомотермического решения должно быть ограни­ чено непосредственной окрестностью точки взрыва, по­ скольку, когда температура в области, охваченной ударной волной, падает, вода становится весьма непро­ ницаемой для теплового излучения и скорости теплопе­ редачи быстро уменьшаются; следовательно, предполо­ жение о гомотермической области перестает быть оправ­ данным. Дальше решение можно продолжить при помощи метода характеристик. Для решения задачи о подводном взрыве в качестве численной схемы берется

Условия на ударной волне даются соотношениями Рэн­ кина — Погонно:

скорость ударной волны. На самой ранней стадии взры­ ва давление на ударной волне весьма высоко, поэтому мы сделаем предположение о сильной ударной волне [6], т. е. давление и энергия в невозмущенной среде будут полагаться равными нулю. Таким образом, в уравнениях (66) и (6в) будем пренебрегать членами, содержащими Ро и во. Тогда единственными размерными постоянными величинами, которые появляются в задаче о гомотермическом взрыве, будут невозмущенная плотность р0 и энергия взрыва Ео.

Задача об одномерном неустановившемся течении при наличии только двух независимых размерных по­ стоянных величин является автомодельной задачей, и в ней количество независимых переменных может быть сведено к одной-единственной безразмерной переменной [6]. Для сферически симметричного случая безразмерная автомодельная переменная обычно выражается так:

где р* — характерная плотность, Е — постоянная, имею­ щая размерность энергии, и R — радиус ударной волны. Второе равенство в (7) позволяет определить константу пропорциональности а между величинами Е и До и по­ казывает также, что Xs = 1.

Чтобы обеспечить автомодельность, должны быть также наложены некоторые условия на форму уравне­ ния состояния. Для гомотермической задачи термическое уравнение состояния можно брать в следующей общей

где ср(р/р*) — произвольная функция приведенной'плот­ ности р/р*, а ф(Г)— функция температуры, которая в предположении гомотермичности зависит только от вре­ мени. Функция ф(7') должна иметь размерность давле­ ния. Из соображений размерности следует, что функция

ф(Г) пропорциональна t~°!\ Ее можно выразить через скорость ударной волны:

Здесь К — безразмерная постоянная, которая опреде­ ляется из решения задачи. Используя условие гомотер­ мичности, уравнение состояния и уравнение (9), можно исключить давление из дифференциальных уравнений и граничных условий задачи. Таким образом,

-§ f= 4 f Ж Л ф(р/р.)] = к и \ ' ,

причем штрих означает дифференцирование по аргумен­

ту р/р*.

Чтобы исключить из уравнений задачи входящую в них явно постоянную К, можно ввести новую автомо­ дельную переменную [8]:

уравнение (10), выражаем частные производные через автомодельную переменную Z:

Кроме того, все зависимые переменные можно опреде­ лить как некоторые функции от автомодельной перемен­ ной Z:

Эта система уравнений является автономной и путем простого деления первого уравнения на второе может быть сведена к одному обыкновенному дифференциаль­ ному уравнению

Граничные условия на ударной волне нельзя непо­ средственно выразить через преобразованные перемен­ ные, потому что они содержат параметр Zs, который заранее неизвестен и должен быть определен из реше­ ния задачи. Однако для любого выбранного значения Zs можно найти величины У« и IFS по формулам преобра­ зования. Следовательно, геометрическое место всех воз­ можных состояний на скачке в плоскости У, W легко определяется. Заметим, что при конечных, но ненулевых значениях плотности величина W становится бесконечно большой, когда Z равно нулю. Величина У при Z = О равна dF/dZ, и дальнейшее исследование показывает, что У = 0.

№ видно, что первое из вышеуказанных условий требует, чтобы либо Z = оо (бесконечно большой радиус), либо величина плотности обращалась в нуль или в бесконеч­ ность в зависимости от значения (3. Все эти условия фи­ зически неприемлемы. Следовательно, надо рассматри­ вать второе из вышеуказанных условий. Чтобы произ­ водная dY/dW оставалась конечной, когда знаменатель дифференциального уравнения обращается в нуль, не-

точка является узловой. Кривые, представляющие собой решения и проходящие через эту точку, являются в окрестности особой точки прямыми линиями и опреде­ ляются уравнениями

У = о и т = - 8ТТ(Г- 1)-

Вторая особая точка представляет собой седловую точ­ ку. Два решения, проходящих через эту особую точку, в ее окрестности также являются прямыми линиями и определяются так:

тически изображено поведение решения в окрестности особых точек. Кроме того, показано геометрическое ме­ сто точек возможных состояний на фронте ударной вол­ ны, определяемое равенствами (14) и формулами пре­ образования (15). Отметим, что характеристические кривые, проходящие через седловую особую точку, ка­ ждая из которых называется сепаратрисой, делят фазо­ вую плоскость на четыре отдельные области таким об­ разом, что траектории решения не могут переходить из одной области в другую. Искомое решение должно удо­ влетворять условию в центре симметрии (W = оо), где скорость равна нулю; кроме того, оно должно пересе­ кать геометрическое место состояний на ударной волне, чтобы удовлетворять граничным условиям на скачке. Единственная траектория решения, которая может про­ ходить между двумя такими крайними точками, должна по необходимости проходить через седловую точку.

Далее, поскольку на кривой, являющейся решением, должно выполняться условие обращения в нуль скоро­ сти (У = 0), когда W становится большим, то соответ­ ствующая траектория будет приближаться к окрестности

достигается уже при W — \. Единственная траектория,

CD

Рис. 1. Фазовая плоскость и интегральная кривая.

Y,W — автомодельные переменные; / —узловая точка; 2—седловая точка; 8 — интегральная кривая; 4— геометрическое место точек ударной волны.

выходящая из этой точки и стремящаяся к точке И7=оо, идет вдоль оси W, на которой всюду Y = 0. Итак, кри­ вая, являющаяся решением, качественно определяется по своим углам наклона, которые точно вычисляются в

20 К. А. КОТ

двух особых точках, через которые эта траектория.проходит.

Решение уравнения (17) находилось численным ин­ тегрированием при помощи метода Рунге — Кутта, имеющего четвертый порядок точности. Поскольку этот метод не дает возможности вести численное интегриро­ вание с проходом через седловую точку из-за характера траекторий в ее окрестности, интегрирование начиналось в самой седловой точке (У = * / 4 , W = 9/i6) и проводи­ лосьот нее в обоих направлениях, т. е. в направлении к узловой точке (У — 0, W = 1) и в направлении к гео­ метрическому месту состоянии па ударной волне. Если точка пересечения кривой, соответствующей решению, и линии ударной волны найдена, то тем самым будет най­ дено все решение в плоскости W, У, и все переменные на фронте ударной волны (Ys, Ws, Zs, Fs, Gs) будут опре­ делены.

Зная величину Zs, можно путем численного интегри­ рования уравнения (16а) получить значения переменной Z вдоль всей интегральной кривой. Преобразованные переменные F и С находятся просто по определению (15), а функция давления Н получается по определе­ нию (12). Профили соответствующих физических пере­ менных в области, охваченной ударной волной, будут подобны для всех моментов времени и могут быть по­ строены в виде отношений ujus plpsl и p/ps, представлен­ ных в зависимости от X. Эти профили изображены на рис. 2. Как видно из графика, область, окружающая центр взрыва до радиуса, приблизительно равного поло­ вине радиуса ударной волны, является областью одно­ родного состояния, причем в этой области скорость рав­ на нулю. Интегральная кривая остается гладкой при

которая совпадает с границей однородной области, про­ изводные для профилей скорости, плотности и давления не являются непрерывными. При приближении к этой точке слева производные равны нулю. Как исследование в фазовой области, так и численное интегрирование по­ казывают, что при приближении к узловой точке справа производные имеют ненулевые значения.