книги из ГПНТБ / Статистика финансов учеб. пособие

стн на каждом году страхования от их групповых средних. На­ пример: d I2 = (3,6—4,55)2 = 0,902. Их значения указаны в графах 5, 6, 7 таблицы. Затем рассчитывается общая средняя арифмети­ ческая для всей совокупности и суммы квадратов отклонений груп­ повых средних от общей средней, которая равняется 7,27

18,2+31,7+37,3^21

12

этих отклонений приведены в графе 8 таблицы.

На основании предварительных расчетов определяется внутри­ групповая дисперсия смертности, которая связана с изменением возрастов:

а также межгрупповая дисперсия смертности, указывающая на вариацию смертности из-за давности страхования:

(Xi-x)z-f 48,2

= 24,1,

С -

где С — число столбцов показателей смертности (табл. 9.2). Отно­ шение между оі2 и 022 называется критерием Фишера и обознача­

ется символом F. Эмпирическое значение критерия F:

öl2 _ 24,1

10,6.

~ä? 228

В данном случае он характеризует степень различия между смерт­ ностью, связанной с давностью страхования, и повозрастной смертностью. Для того чтобы судить, насколько существенно это различие, эмпирическое значение критерия F необходимо срав­ нить с теоретическим. Теоретическое значение F определяется из соответствующих таблиц распределения по значению знаменате­ лей межгрупповой и внутригрупповой дисперсий (эти значения на­ зываются степенями свободы) и при заданном уровне существен­ ности оценки, т. е. предположении, что фактическая величина кри­ терия F случайно превысит табличное значение этого же критерия.

171

Так, в соответствии с рассматриваемым примером теоретическое значение критерия F при степенях свободы 2 и 9 и при уровне су­ щественности оценки в 1 % равняется 8,02. Результаты вычислений представлены в следующей таблице.

Т а б л и ц а 9.2

Так как фактическое значение критерия F превосходит теоре­ тическое, то с вероятностью, равной 99%, можно утверждать, что смертность среди застрахованных в Англии, связанная с дав­ ностью страхования, существенно и неслучайно превосходила по­ возрастную смертность. Вариационный анализ показывает также, что между смертностью страхователей и давностью страхования существует положительная корреляционная связь. Между тем обычные таблицы смертности, на основании которых вычисляются тарифные ставки, учитывают только повозрастную смертность на­ селения. Для предотвращения убытков страховые органы вынуж­ дены налагать ограничения на условия выплаты страховых сумм или исчислять тарифные ставки по таблицам смертности мужчин, повозрастная смертность которых выше, чем у женщин. В резуль­ тате тарифные ставки несколько повышаются.

Необходимо устанавливать закономерность вымирания страхо­ вателей вследствие изнашивания организма, а также в связи с давностью страхования и из-за случайных явлений. Для этого нужны сведения о составе застрахованных и их выбытии из дого­ воров страхования. Последнее требование связано с тем, что с те­ чением времени смертность населения снижается. Различается она и по странам. С 1913 по 1970 г. смертность населения в СССР

уменьшилась с 29,1 % о до 8,2%о. Показатель смертности в Англии составил в 1970 г. 11,7%0, во Франции— 10,6°/0с, в США — 9,4%о.

С изменением смертности изменяется соответственно вероятность умереть для лица в возрасте х лет до достижения возраста х + + 1 лет. Так, по данным таблиц смертности 1896— 1897 гг. вероят­ ность умереть для лица в возрасте 40 лет, не дожив до 41 года, равнялась 11,19%0 (в расчете на 1000 человек), по таблицам смертности 1926— 1927 гг.— 8,24%о, по таблицам смертности 1958— 1959 гг,— 3,60% о .

Таким образом, для составления обоснованных финансовых расчетов в личном страховании нужно иметь данные об эволюции смертности застрахованных, сравнить эти данные с общими таб­ лицами смертности и средней продолжительностью жизни населе­ ния страны. Все это требует проведения специального статистиче­ ского наблюдения состава и выбытия страхователей.

172

Производится оно по программе, в которой предусматриваются период, способы и объем охвата единиц наблюдения, сводка и составление таблиц. Периодом наблюдения может быть любой от­ резок времени больше года и кратный целому числу лет. В этом периоде окажутся страхователи разного года и возраста вступле­ ния в договор страхования, разного года и разного возраста вы­ бытия из договора страхования и разных причин выбытия. Чем больше период наблюдения, тем более исчерпывающая информа­ ция может быть получена в результате его проведения, но тем большие затраты труда и средств потребуются для сбора и обра­ ботки данных. Поэтому нет необходимости включать в наблюде­ ние все инспекции Госстраха. Точность результатов наблюдения должна соответствовать издержкам на их получение.

Государственная монополия личного страхования дает воз­ можность использовать выборочный метод в изучении смертности страхователей. В качестве единицы отбора следует взять инспек­ цию Госстраха, а выборку осуществить по правилам гнездового (серийного) отбора. Полученные данные о смертности страховате­ лей в рамках выборочной совокупности распространяются на за­ страхованных всего страхового поля. Расчет ошибки выборки по­ служит оценкой точности проведения наблюдения.

Решение этих задач предполагает группировку лицевых счетов страхователей. Первичная документация может быть приспособле­ на для механизированной обработки. Тогда на каждого страхова­ теля открывается перфокарта, где предусматриваются такие приз­ наки, как вид страхования, пол и возраст страхователя, давность страхования, причина, время вступления и выбытия из договора страхования.

Разработка перфокарт или лицевых карточек страхователей производится следующим образом. Все лица, оказавшиеся в вы­ борке, группируются по полу и видам страхования. В пределах этих типов выделяются страхователи одинаковых возрастов вступ­ ления в договор страхования. Внутри возрастных групп все лица распределяются по давности страхования. Для этого на каждую возрастную группу открывается специальная ведомость, где учи­ тывается выбытие страхователей при жизни и в результате смер­ ти. При отнесении застрахованных к той или иной возрастной группе необходимо иметь в виду, что их возрасты могут не иметь целого значения. Поэтому следует прибегнуть либо к округлению возрастов, либо осуществить специальный перерасчет численности возрастных групп с учетом истинных возрастов страхователей. Ок­ ругление возрастов в момент отнесения лиц к возрастным группам сопряжено с ошибкой в определении численности этих групп. Но при достаточном числе единиц наблюдения округления уравнове­ шивают друг друга, что уменьшает ошибку. В результате для каж­ дого возраста страхователей составляется таблица, где предусмат­ риваются следующие показатели (см. табл. 9.3).

Если перечислены все возрасты страхователей, а в пределах каждого возраста их выбытие на протяжение всего периода нс-

173

Т а б л и ц а 9.3

следования, то для каждой возрастной группы становится извест­ ным число лиц, находящихся в договоре страхования при пере­ ходе в следующие возрасты, и число лиц, умерших за соответст­ вующие годы. Этого достаточно для составления отборных и сбор­ ных таблиц смертности.

Сказуемое таблиц смертности включает ряд показателей, на­

кряду, т. е. дожить до х + п лет; „рх= —! і п ; qx— вероятность для

Іх

лица, имеющего возраст х лет, умереть в течение предстоящего

п лет;|п<7х= —■~~ІХ+п =1 — прх, n\qx— вероятность для лица, имею-

174

Для лица, имеющего возраст 40 лет, вероятность прожить еще

данном году страхования определяется как отношение числа умер­ ших страхователей к числу страхователей, состоявших в договоре страхования целый год (см. табл. 9.3.).

Исчисленные таким образом вероятности характеризуют смерт­ ность страхователей одного возраста в зависимости от давности страхования. Они используются для составления отборных таблиц смертности.

Сборные таблицы смертности составляются по возрастам вы­ бытия страхователей. Если возраст вступления страхователей в договор страхования равен 40 годам, то через К лет им будет 40 + /С лет. Соответственно, если возраст вступления в договор был равен 41 году, то через К — 1 год им будет 4 1 + Х — 1— 40 + АГлет. Выписав число смертей и численность страхователей для одних и тех же возрастов выбытия, можно подсчитать значение вероят­ ностей дожития и смерти в отношении всех застрахованных без разделения по срокам страхования. Дальнейшее объединение по­ казателей смертности производится с учетом видов страхования и отдельно для застрахованных мужчин и женщин.

Полученные таблицы можно сравнивать с общими таблицами смертности и средней продолжительности жизни населения. Метод сравнения действительной смертности с показателями таблиц был предложен Б. С. Ястремским1. Объединив все возрасты населения в пять групп, он вычислил для них ожидаемую смертность в дове­ рительном интервале оценки. Эти расчетные показатели сравнива­ лись затем с действительным числом смертей соответствующей возрастной группы. Единый критерий оценки для всей таблицы смертности отсутствовал.

В настоящее время существуют более универсальные методы сравнения фактических и теоретических распределений. К их числу

175

шеиие которого относится за счет каких-то закономерных явлений, а не случайных факторов1. Данное сравнение позволит выяснить, насколько смертность в среде застрахованных соответствует пока­ зателям общих таблиц смертности и средней продолжительности жизни населения.

§ 3. Предметом личного страхования являются несчастные слу­ чаи, возникающие в быту и на производстве. Несчастные случаи классифицируются по причинам возникновения и своему исходу. Госстрах выплачивает страховую сумму, если несчастный случай связан с постоянной утратой трудоспособности или смертью за­ страхованного и если эти события возникли вследствие движения транспорта, работы машины, пользования оружием, взрыва, ожо­ га, обморожения, замерзания, внезапного отравления, нападения животного и когда застрахованный утонет. Потеря трудоспособно­ сти или смерть, последовавшие в результате общего заболевания, на страхование не принимаются. Исключение составляют случаи смерти от клещевого весенне-летнего энцефалита и патологических родов.

Такой подбор страховых случаев связан с тем, чтобы они в отношении каждого лица имели небольшую вероятность возникно­ вения. Однако сравнительно редкие события, принимаемые на страхование, не являются слепо случайными. «Индивиды с наи­ большим числом несчастных случаев в один период являются, в общем, теми же, кто подвергся наибольшее число раз несчастным случаям в течение следующего периода»12.

Большое число несчастных случаев связано с транспортом. По­ этому совместно со страхованием средств транспорта на случай аварлй (каско) осуществляется страхование водителей транспорта и пассажиров (по числу мест). Это связано с тем, что вероятность несчастного случая для водителей и пассажиров иная, чем для пешеходов. Об этом можно судить, например, по данным статисти­ ки ФРГ, где из всех погибших в результате транспортных проис­ шествий число пешеходов составляет меньше трети. Более 2/3 слу­ чаев, следовательно, приходилось на водителей и пассажиров транспорта.

В практике страхования учитывается степень опасности про­ фессий производства и рода занятий трудящихся. Все страхователи от несчастных случаев подразделяются на ряд тарифных классов. Чем больше опасность возникновения несчастных случаев, тем вы­ ше тарифный класс и тем больше тарифная ставка.

Целью классификации является объединение однородных про­ фессий и производств в отношении частоты и тяжести несчастных случаев. Смертельные случаи учитываются отдельно от постоянной утраты трудоспособности. В свою очередь постоянная утрата тру-

1 Теоретическое распределение х-квЭДрат приводится в справочной литерату­

176

доспособности может быть полной и частичной. Частичная трудо­ способность различается по степени пли проценту утраты трудо­ способности.

В целях соизмерения тяжести несчастных случаев частичная нетрудоспособность приводится к полной. Известны попытки соиз­ мерить полную утрату трудоспособности со смертельным исходом. С морально-этической точки зрения такие попытки несостоятельны. В финансовом отношении они имеют под собой определенную ба­ зу. В личном страховании полная утрата трудоспособности и смер­ тельный исход оплачиваются в одинаковом размере. При частич­ ной инвалидности процент уплаты страховой суммы соответствует проценту утраты трудоспособности.

Допустим, что в одном тарифном классе страхователей рас­ пределение несчастных случаев по своему исходу оказалось сле­ дующим: смертельных исходов на 1000 страхователей— 1; полной утраты трудоспособности — 6; частичной утраты трудоспособно­ сти — 15.

Случаи частичной утраты трудоспособности распределяются в свою очередь так.

Средний процент частичной нетрудоспособности равняется 40 (600% : 15), а число случаев частичной утраты трудоспособности в пересчете на полную равняется 6 (600% : 100%). Таким образом, если общее число несчастных случаев на 1000 страхователей рав­ но 22 (1+6+15), то число несчастных случаев в пересчете на полную утрату трудоспособности составляет 13 (1+6 + 6). Мате­ матическое ожидание выплаты полной страховой суммы равняется ’3 руб. (1000 руб.Х0,013). При известном числе несчастных слу­ чаев в других классах, также пересчитанных на 100-процентную нетрудоспособность, из соотношения этих численностей можно установить соотношение между тарифными ставками страховате­ лей по классам опасности.

Точность расчетов зависит от правильности разграничения классов опасности и правильности отнесения той или иной про­ фессии к каждому из этих классов. Важно, чтобы различие часто­ ты и тяжести несчастных случаев между классами превосходило частоту и тяжесть несчастных случаев внутри классов. Установить эго можно с помощью дисперсионного анализа, суть которого рас­ смотрена на стр. 170— 172.

сам оказалось следующим.

Для определения степени различия выплат страховых сумм между тарифными классами и внутри них необходимо найти эм­ пирическое отношение межклассовой и внутриклассовой дисперсий. В каждом классе рассчитывается средняя сумма выплаты на один несчастный случай и сумма квадратов отклонений всех фактиче­ ских выплат от средней выплаты внутри класса (графы 4, 5 таб­ лицы).

Дисперсия выплат страховых сумм внутри классов равняется

Дисперсия выплат страховых сумм между классами определя­ ется как отношение суммы квадратов отклонений групповых сред­ них от общей средней к числу классов, уменьшенному на одну степень свободы.

(71,41 -113,64)2 X 7 0 + (1 3 0 -1 13,64)^X50+ (108,23-113,64)2Х 60+

+ (175-113,64)2Х40

=96 770.

Эмпирическое отношение межклассовой и внутриклассовой ди-

96770

операции равняется F = — = ” ^6'_ = 577. Если бы различие в вып­

лате страховых сумм между тарифными классами не было сущест­ венным, то в соответствии с теоретическим распределением крите­ рий F не должен превышать 3,78. Эмпирическая величина крите­ рия F значительно больше теоретического уровня. Отсюда следует вывод, что различие в выплате страховых сумм по тарифным классам не случайно. Оно является следствием разной частоты и тяжести страховых случаев в каждом из четырех классов, как это известно из курса теоретической статистики. Если эмпирическое значение критерия F окажется меньше теоретического, то приме­ нительно к нашему случаю нужно признать, что существующее разграничение тарифных классов не отвечает вероятности наступ-

178

Приравняв суммы данных платежей, вычислим оценочную ве­ личину взноса:

п—1 dx + Ь'

d= S ---------------------- . М—I

— ь

Например, при исходном числе страхователей /ж= 100 тыс. че­ ловек, ожидаемом ежегодном приросте Ь= 10 тыс. человек, пред­ полагаемом исходном числе выплат dx—24 тыс. человек и их еже­ годном приросте Ь' = 24 тыс., ожидаемый размер взносов на бли-

дых 100 руб. вероятных выплат в счет страховой суммы.

В данной модели наиболее чувствительны к ошибкам разницы арифметических прогрессий, которые представляют прогнозируе­ мую величину. Поэтому по мере накопления статистической ин­ формации о показателях убыточности в данном виде страхования расчет следует уточнить или использовать другие модели (см. главу 8).

§4. Статистические таблицы смертности, рассмотренные ранее,

истатистическая отчетность органов Госстраха являются базой для расчета ставок и других показателей в личном страховании.

Отличительной особенностью личного страхования является то, что договоры страхования заключаются на ряд лет. Соответствен­ но, расчет всех предстоящих платежей страхователей и страхов­ щика осуществляется по их современной стоимости. Кроме того, сами платежи в зависимости от условий .договора могут быть ве­ роятностными по своему характеру. Это также принимается в рас­ чет, Таким образом, страхование представляет собой тип матема-

180