книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

ГЛАВА 2

быть получены либо в результате обработки статистических данных об отказах системы, либо — при известных функциях а (t) и г (/) — в результате численного решения уравнения (1.29). Рассмотрим второй случай.

Для численного решения уравнений (1.29) и (1.35) заменим внеш­ ний и внутренний интегралы конечными суммами, применив обоб­ щенную формулу трапеций. Использование более точных, а следо­ вательно, более сложных квадратурных формул в рассматриваемом случае сопряжено со значительными трудностями и поэтому неце­ лесообразно. Необходимую точность вычисления можно обеспечить за счет надлежащего выбора шага интегрирования.

Итак, разбивая в (1.29) и (1.35) интервал интегрирования внеш­

(2.38)

и

весьма трудно. Наиболее целесообразно применить в данном случае двойной просчет с шагами Іг и 2h. После того как десятичные знаки

вобоих случаях начнут совпадать, полученное значение прини­ мается за точное значение анализируемых функций. Кроме того, следует иметь в виду, что величина шага интегрирования должна выбираться так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения

всмысле сходимости результата с ростом а к асимптотическому зна­ чению вычисляемой функции, которое при известных параметрах потоков отказов и восстановлений системы известно (см. табл. 1.4).

Уравнения (1.29) и (1.35) и формулы их численного решения (2.38), (2.39) являются универсальными в том отношении, что позво­ ляют вычислять среднюю частоту отказов с учетом восстановления и функцию готовности при произвольных законах распределения времени безотказной работы и времени восстановления. В прило­ жении I приводится АЛГОЛ-программа вычисления этих функций.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Несмотря на то что выражения (2.38) и (2.39) по содержанию различны, так как (2.38) является приближенным представлением интегрального уравнения (1.29), а (2.39) — выражения (1.35), содер­ жащего двукратный интеграл, но не являющегося интегральным уравнением, схема вычислительного процесса у них общая и поэтому реализуется одним и тем же участком программы. Следует также иметь в виду, что в зависимости от законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления при аналитическом их задании получение массивов \а; \, \Р{\ и |г£} осуществляется по различным формулам. В тексте приведенного в приложении I алго­ ритма описано релеевское распределение длительности безотказной работы и экспоненциальное распределение времени восстановления.

Блок-схема машинного алгоритма вычисления представлена на рис. 2 . 1 .

Операторы 1 и 2 осуществляют вычисление по соответствующим формулам (см. табл. 1.4) значений вероятности безотказной работы P jt плотности вероятности отказов а,- и плотности времени восстановле­ ния /у в точках разбиения интервала интегрирования и засылку этих значений в рабочие ячейки.

Оператор 3 присваивает переменной у, управляющей схемой расчета, целочисленное значение 1. При у — 1 вычисляется после­ довательность {сор„|, при у = 2 — последовательность |Г„|.

Оператор 4 присваивает целочисленной переменной п начальное значение 0 .

Оператор 5 вычисляет значения сор (0) = сор0, Г (0) = Г0. Оператор 6 присваивает переменной п очередное значение, соот­

ветствующее номеру точки разбиения интервала интегрирования. Операторы 7— 12 вычисляют первую внутреннюю сумму. Операторы 13— 17 вычисляют вторую внутреннюю сумму. Оператор 18 осуществляет проверку на конец вычисления внеш­

ней суммы.

Оператор 19 управляет вычислением внешней суммы. Оператор 20 вычисляет значения шр„ и Г„.

Оператор 21 осуществляет проверку на конец вычисления

®рп и Гге.

Оператор 22 осуществляет проверку на конец вычисления. Оператор 23 пересылает массив \Pj\ на место массива {а;[ для

вычисления Г„.

Методика расчета функции готовности, основанная на представ­ лении ее в интегральной форме, предполагает знание законов рас­ пределения длительностей исправной работы и восстановления системы. Для сложной системы при наличии различных ограничений на возможности ее ремонта, обычно имеющих место в реальных усло­ виях эксплуатации, эти законы получить нелегко. Как уже отмеча­ лось выше, в подобных случаях удобней применять другие методы. Ниже рассмотрим методику расчета функции готовности с исполь­ зованием графа состояний системы.

52

ГЛАВА 2

4

в

п : = п - 1

4I

7

і : = О

Рис. 2.1. Блок-схема алгоритма вычисления функции готовности.

53

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

МЕТОДОМ СОСТАВЛЕНИЯ ГРАФА СОСТОЯНИЙ

Для частного случая резервированных восстанавливаемых систем, когда потоки отказов и восстановлении являются простейшими, А. М. Половко и Б. И. Гуровичем [34, стр. 78—83] разработана методика получения количественных характеристик надежности, не требующая составления и решения дифференциальных уравнений

пмассового обслуживания. Эта методика позволяет по известному графу состояний найти коэффициент готовности, а также записать выражения в изобра­ жениях по Лапласу для вероятности безотказной работы и функции готовности.

Рассмотрим существо методики на гипотетиче­ ском примере навигационной радиолокационной станции, состоящей из k блоков. Граф состояний восстанавливаемой РЛС имеет вид, представленный на рис. 2.2. Узлам графа соответствуют различные состояния устройств, а ветвям — возможные пере­ ходы из одного состояния в другое с интенсивно­ стями Кі и у,-. Система отказывает, если она пере­ ходит в состояние k — 1. Тогда для резервированной

восстанавливаемой системы любой кратности т спра­ ведливы следующие выражения для вероятности отказа Q (t) и вероятности застать ее в любой момент времени t в состоянии отказа (простоя) в изображениях по Лапласу

54

ГЛАВА 2

интенсивностями переходов из одного и того же состояния в разные (соответствующие стрелки выходят из узлов).

Коэффициент А 3 равен сумме произведений интенсивностей пере­ ходов, взятых по три, за исключением тех членов, в которых в каче­

сивностей переходов, взятых по і, за исключением тех членов, в кото­ рых в качестве сомножителей встречаются произведения A,m p.£.

Коэффициент АІ в выражении для вероятности отказа находится при известных коэффициентах Л£ следующим образом. Если в выра­ жении для коэффициента A t исключить все члены, содержащие в качестве сомножителя интенсивность перехода рі/г_1, то получен­ ное выражение будет равно коэффициенту А\. Эта закономерность очевидна, так как выражение (2.40) характеризует поведение системы до ее отказа и получено в предположении, что обратного перехода

к—І

В = П X

і=і

Другие характеристики надежности резервированных восстанавли­ ваемых систем — функцию готовности Г (t), коэффициент готов­ ности кт и вероятность безотказной работы Р (t) в течение вре­ мени I — можно получить из (2.40) и (2.41), воспользовавшись соот­ ношениями

P ( p ) - = - j — Q(p).

Наиболее просто из графа состояний определяются коэффициенты простоя и готовности, которые равны

Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 2.2. Рассмотрим систему энергопитания, состоящую из трех параллельно

работающих в смысле надежности генераторов. Отказовое состояние для такой си­ стемы наступит при одновременном отказе всех трех входящих в ее состав устройств. Пусть система обслуживается одной ремонтной бригадой, интенсивность отказов всех входящих в нее устройств равна X, а интенсивность восстановления равна ц.

55

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Граф состоянии такой системы представлен на рис. 2.3. Требуется определить выра­ жение для функции готовности (в изображениях по Лапласу) и коэффициент готов­ ности.

В нашем случае Аі = ЗА, Аз = 2 А, А3 = А, = ц Тогда по изложенной мето­

дике коэффициенты А,- и В будут равны:

+ЗАр2 + р 3]

атребуемое значение функции готовности в изображениях по Лапласу примет вид

Граф состояний резервированной восстанавливаемой системы может иметь более сложный вид, чем изображенный на рис. 2 .2 .

Сложные ветвящиеся графы получаются в случае раздельного резер­ вирования, учета двух характеров отказов, отсутствия контроля моментов отказов отдельных устройств резервированной системы, резервирования неравнонадежных устройств, наличия избыточности других типов (функциональной, временной и т. п.). В этих случаях может быть несколько состояний отказа. Тогда вероятность того, что резервированная система неисправна в любой момент времени t, вычисляется из соотношения

М *) = Е Л ( 0 ,

І = 1

56

ГЛАВА 2

где Р( (I) — вероятность того, что система в момент времени t нахо­ дится в г-м состоянии отказа. Очевидно, что изображение по Лапласу для Р. (t) можно найти из выражения

графа, а / равно минимальному числу неисправных устройств резер­ вированной системы, находящейся в і-м состоянии отказа.

Пример 2.3. Пусть дана система с раздельным резервированием, представленная на рис. 2.4. Все элементы равионадежны и имеют интенсивность отказов X. Работает одна ремонтная бригада, которая осуществляет восстановление с интенсивностью ц. Граф состояний системы приведен на рис. 2.5. Интенсивности переходов из состояния

всостояние определяются из графа следующим образом:

~АХ, X.j — 2Х, X.}/ — X, Х^ — 2Х,

Рі Н“2 Рз' йз — М--

57

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Требуется определить функцию готовности Г (!) (в изображениях по Лапласу) и коэффициент готовности кг. В нашем случае система имеет два состояния отказа (состояния 2 ' и 3), поэтому

А,, + Ад

*П (р) = р 2’ (Р) + Рг (р ) ~ А

Система может находиться в пяти состояниях, следовательно, А = р [Л 0р 1 I- /Цр3 - f А ір 3 -|- А3р -I- .4.,).

+ іЯРоІН'Рз = 16Х3|і + 12Х2ц3 -f- 4Х|і3 + р4.

В этих коэффициентах, как следует из графа состояний, отсутствуют члены, содер­ жащие произведения вида ХіЦі, ХгЦа, Ха|іі, Х2Х2', Ха|іі, Хг'рз', Х3|і2 , Х3|і3. По усло­

вию примера /е = 5, а число отказавших устройств в состоянии 2' равно двум и в со­

могут быть найдены из коэффициентов Л а, А3, Л4, если в последних оставить толь ко те члены, в которых присутствуют сомнолштели Х4, Ха'. Тогда

ßrf’* = XjXg-PgPs = 4Х2р2.

Для определения коэффициентов В ^ , В(3)на основании указанного правила необ­ ходимо в коэффициентах Л3 и Л4 оставить только те члены, в которых присутствуют сомножители Х4, Х2, Х3. Тогда В ^ = Х[Х2Х3 = 16Х3, ß ( 31 = XjX^XgU, — 16X3p.

Подставив в выражение для кп (р) полиномы и вычисленные значения коэффициен­ тов, получим

4 Х У + (24Х3 + 8 Х2р) р + 16Х3р + 4Х2р2_________

58

Следует заметить, что для получения коэффициента простоя или коэффициента готовности можно не искать /гп (р), а находить kr и k„ по формулам (2.43) непосредственно из графа состояний. Из выра­ жения (2.43) следует, что kr есть отношение вида

П

где п — число узлов графа, соответствующих отказовым состояниям системы; г — k — п — число узлов графа, соответствующих исправ­ ному состоянию системы; T t — произведение интенсивностей пере­ ходов из всех крайних состояний графа в г'-е состояние отказа при движении в это состояние по кратчайшему пути в направлении стре­ лок; Tj — произведение интенсивностей переходов из всех крайних состояний графа в /-е исправное состояние при движении в это со­ стояние по кратчайшему пути в направлении стрелок.

В примере 2.3 число узлов k — 5, число состояний отказа п = 2, число исправных состояний г = 3. Тогда

,Ту + Т 3

іп Г0+ Т 1+ Т 2+ 7’2. + Г3 ’

Руководствуясь указанным правилом, легко найти вероятность пребывания резервированной восстанавливаемой системы в любом і-м состоянии по формуле

/ = 1

где Т t, Tj — произведения интенсивностей переходов из всех край­ них состояний соответственно в і-е и /-е состояние при движении

59

лиз надежности сложных резервированных восстанавливаемых устройств. Он может быть легко реализован на цифровых вычисли­ тельных машинах. Особенно просто удается вычислить предельные значения вероятности пребывания системы в любом состоянии, в частности наиболее важную характеристику надежности — коэф­ фициент готовности.

Недостаток методики состоит в том, что она не освобождает иссле­ дователя от необходимости отыскания оригинала функции по ее изо­ бражению для получения количественных характеристик надеж­ ности резервированных восстанавливаемых систем во временной области. Не доказана также возможность применения методики в тех случаях, когда система может переходить из состояния і не только в соседние, но также и в другие состояния.

Первый из указанных недостатков молено обойти, используя для определения характеристик надежности во временной области ана­ логовые вычислительные машины.

В силу того, что метод получения функций времени на основа­ нии изобралеений по Лапласу является достаточно общим, целесооб­ разно изложить данный метод в отдельном параграфе и показать его применение как для получения функции готовности резервиро­ ванных восстанавливаемых систем, так и для непосредственного решения интегральных уравнений типа Вольтерра 2-го рода.

Определение функции готовности Г (t) связано с трудностями, кото­ рые встречаются при решении интегрального уравнения для полу­ чения средней частоты отказов с учетом ремонта сор (t). Как уже было указано, решение интегрального уравнения молсет быть осу­ ществлено с помощью преобразования Лапласа для сравнительно простых систем. При усложнении систем возникают трудности, связанные с отысканием оригинала функции. Поэтому рассмотрим методику решения на АВМ интегральных уравнений Вольтерра 2 -го рода с разностным ядром и покажем ее использование для устра­

нения недостатка изложенной в предыдущем параграфе методики оценки готовности резервированных восстанавливаемых систем.

Пусть задано интегральное уравнение 2-го рода с разностным ядром

60