Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Варжапетян, А. Г. Готовность судовых систем управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Характеристики надежности

Тип

распре
деления	Р	( 0			а	U )		X ( 0
	Р	( 0			а	U )		X ( 0
		со						( lg	Г - Г , ) 2
		со					1		2а2
		f				( l g / — Г , ) 2	1		2а2
Логарнфми-	~	f	1 X			( l g / — Г , ) 2	Т	с
ческн-нор*	а Ѵ 2 я	J	х	1	я	2(т*	а>	(IgT — Т ..)2
мальное	<lg t	- Г , ) »		а/ V - я			К	'
	<lg t	- Г , ) »		а/ V - я					“ •	«
	X с	2а2	<1X						“ •	«
	X с						t

Вейбулла

с— \ „ ік

Ао fit

К Ы к ~ х

			ГЛАВА 1
			Продолжение табл. 1.3
	Графическое	представление	Параметры
Т	характеристик надежности		распределения
Т	ср
			Т2 — среднее
			значение лога
Г3+			рифма времени
Г3+	+ - 1		безотказной
е	+ - 1		работы
			о3 — дисперсия
			времени без
			отказной работы
	О	t

k — параметр,

характеризую щий остроту и асимметрию распределения А0 — масштаб ный параметр

цессов отказов и восстановлений аппаратуры. Однако в нестационар					Кроме того, весьма полезным результатом является узловая теорема
ном случае работы аппаратуры с помощью математического аппарата
					восстановления, согласно	которой при	невозрастающей	и интегри
процесса восстановления трудно получить удобные для инженерной
					руемой на промежутке (0,	оо) функции	Q (t)
практики расчетные соотношения. Это связано прежде всего со слож

ностью вычисления /і-кратной	свертки функций Gn (t)		[см. (1.8)]		t		со
и решения интегральных уравнений (1.14), (1.15). Получить расчет					lim f Q{t — т)с?Я (т )= - = і- f Q(x)dx.			(1.17)
ные формулы в конечном виде можно лишь для отдельных законов					'->“ o	Уср о
распределения времени безотказной работы и восстановления си					Указанные асимптотические свойства процесса восстановления
стемы.
Более важным для практического приложения являются асимпто					используются, в частности, для получения установившегося значе
тические свойства процесса восстановления. В частности, установ				}■	ния показателей готовности системы.
лено [24], что независимо от вида распределения G (t) для больших					Получение характеристик надежности определенного класса си

интервалов времени среднее число отказов, приходящееся на еди					стем обычно основано на обработке статистических данных об отка
ницу времени, стремится к величине, обратной среднему времени					зах и восстановлениях этих систем. При помощи приведенных выше
безотказной работы:					статистических формул можно вычислить любую характеристику.
lim HG)		1	(1.16)		Однако на практике по экспериментальным данным находят одну
					из характеристик безотказности и восстанавливаемости — обычно
		T cp
t->ОО	t				а (t) и г (t), а остальные	при необходимости получают		расчетным
20
								21

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

путем. Так как время безотказной работы системы и время ее вос становления являются в общем случае случайными величинами, то нужные характеристики аппроксимируют одним из известных зако нов распределения случайных величин. Такая замена обеспечивает значительные удобства при расчете надежности, так как позволяет построить строгую математическую схему расчета.

При рассмотрении судовых систем управления в силу нестационарности режимов их работы возникает необходимость использовать в качестве исходных моделей различные законы распределения слу чайных величин. Наиболее часто встречающиеся распределения ука заны в табл. 1.3.

СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ	§ 1.3
С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НАДЕЖНОСТИ

Как отмечалось выше, критерии надежности восстанавливаемых систем являются функциями безотказности и восстанавливаемости, и, следовательно, могут быть выражены через представленные выше законы распределения времени безотказной работы и времени вос становления. Выведем уравнение, связывающее среднюю частоту отказов с учетом восстановления с другими характеристиками надежности [30].

Пусть в первоначальный момент времени t = 0 на испытании находится N однотипных систем, которые по мере отказа ремонти руются и возвращаются в строй. После повторного отказа система снова поступает в ремонт и т. д. Подсчитаем при этих условиях среднее число отказавших систем п (t) в промежутке времени (t, t + + А/). Естественно предположить, что п (t) складывается из числа систем, впервые отказавших за все время испытания, и числа систем, которые ранее подвергались ремонту. Число впервые отказавших систем равно

a (t)N A t .

(1.18)

Для определения количества отказавших систем, относящихся ко второй группе, поступим следующим образом.

Рассмотрим некоторый промежуток времени (т, т + Ат), пред шествующий промежутку (t, t + At), т. е. т < t, и определим число отказавших на этом промежутке систем, ранее подвергавшихся ремонту. Согласно (1.5) число таких систем будет равно сор (т) ІѴАт. В соответствии с принятыми условиями испытания эти системы по ступают в ремонт. Далее, пусть (£, £ + А|) — промежуток времени

такой, что т < g <	t. Так как вероятность восстановления системы
в промежутке (\|, g +	А£) равна приращению значения функции рас
пределения времени	восстановления R (т, g + А\|) — R (т, \|), то

число отремонтированных на этом отрезке времени систем из тех, которые отказали в промежутке (т, т -f- Ат), равно

сор(т)ЛГАт[Я(т, Н - Д |) - Я ( т , g)].

ГЛАВА 1

Если ремонт полностью восстанавливает ресурс надежности системы, то из этого числа в промежутке (I, t + At) откажет

сор(т)УАт[Я(т, g + A g ) - t f ( T - g ) ] a ( f — g)Af

(1.19)

систем. Для определения общего числа отказавших в промежутке (t, t + At) систем п (t) необходимо просуммировать выражение (1.19)

по всем промежуткам Ат, предшествующим			/, и всем А \|	на интер
вале (т, і) или,	что одно н то же, на	интервале (0, t — т), прибавив
к сумме число	впервые отказавших	систем	(1.18). Таким	образом,
п (t) = а (t) N At + 2 ' s ®р (т) [R (т,			g + Ag) -

ио

	— R( т, l ) ] a ( t — l ) N Ах At.			(1.20)
Обозначим g — т = 0. Разделив			(1.20) на NAt и перейдя к пре
делу при	N —>оо и AI - >0,	будем	иметь
		I	t — T
lim	= (Op (t) = a (i) +	J <op (t) f a (t — x — 0) deR (T, 0) dx.
				( 1.21)
Полученное интегральное уравнение относительно функции сор (t)
является	уравнением Вольтерра второго рода со сложным разност-
	*т т
ным ядром J a (t — т — 0) d$R (т,			0). Уравнение (1.21)	позволяет
	о

найти среднюю частоту отказов с учетом восстановления по извест ным законам распределения времени отказов и времени восстановле ния системы.

Согласно теореме существования и единственности уравне ние (1.21) имеет единственное ограниченное решение на промежутке

(0, t), если найдется постоянная с >■ 0 такая,	что
\|a(^)\|sSc	(1.22)

ІX

J	J а (т — Q)R' (0) dQ dx <( ОО.	(1.23)
о	о

Для законов распределения непрерывной случайной величины, имеющей смысл длительности безотказной работы технической си стемы, условия (1.22) и (1.23) выполняются, за исключением част ных случаев гамма-распределения и распределения Вейбулла, когда а (0) = оо, о чем речь будет идти ниже. Одиако аналитическое

решение уравнения (1.21) в удобном для практических расчетов виде получить, исключая некоторые частные случаи, либо чрезвычайно трудно, либо вообще невозможно. Чаще всего для этой цели исполь зуются приближенные методы.

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Функция сор (t) может быть построена путем обработки стати стических данных, собранных в процессе эксплуатации системы [30]. Тогда из уравнения (1.21), рассматривая его как интегральное урав

нение относительно функции			а (t), можно	определить		плотность
вероятности отказов.
Среднюю частоту отказов с учетом восстановления					легко		выра
зить через вероятность безотказной работы, заменив					в	выраже
нии (1.21) а (4	на —Р'	(/):
		t	І — Т
Cöp (t) = -	P' {t) -	} сор (т) J P ' (t - х -		Ѳ) deR (т,	0) dx.		(1.24)

оо

Следовательно, зная сор (т), можно получить функцию Р (t). Рассмотрим частные случаи уравнения (1.21), вытекающие из

различных стратегий технического обслуживания системы.

1. Предположим, что время восстановления Тв постоянно, т. е.

R(x, Ѳ) =

если

О,

если Т в>■ 0.

Это означает, что все сор (т) N Ат, систем,

отказавших на

отрезке

времени

(т,

т +

Ат),

будут

восстановлены

к моменту t — Т а, если

%<С t — Тв.

Из

них

в промежутке (t, / + А/)

откажет

Op (х) NAxa (t — т — Тв) А(

(1.25)

систем. Общее число

отказавших

в промежутке

(t,

t + At)

систем

получим, суммируя (1.25) по Ат

на

интервале

(0,

і — Тв)

и при

бавляя

к сумме (1.18), т. е.

п (t) =

а it) N At -j-

(x)NAxa(t — т — T B)At.

(1.26)

После

деления

выражения

(1.26)

на

N At

и предельного перехода

при W -> со

и At - >0 будем

иметь уравнение для

сор (і):

<°Р (0 =

а0( +

' - гв

1.27)

(

®p{T)a{t — i; — TB)dx.

Пусть

время восстановления не

зависит

от вида

отказа,

но

зависит от времени отказа, т. е. Тв

Тв(х). Функция распределения

времени

восстановления в этом

случае имеет вид

j 1,

если

Т в(т )^ 0 ;

10,

если

Тв(т) > 0,

ГЛАВА I

а уравнение, связывающее функцию сор (/) с a(t) и Т&(т), запишется как

і~ТаСО

cöp(0 = ß ( 0 +	\ <op(r)a(t — x — T B(T))dx.	(1.28)
	и

3. Наконец, если время восстановления не зависит от времени отказа, но зависит от вида отказа, т. е. R (т, Ѳ) = R (0), то уравне ние (1.21) приобретает вид

t І~ Х

(Op (t) = a (t) + j (Op (T )	j a(t — г — 0) r (0) dQ dr.	(1.29)
0	о

Сравнивая уравнение (1.29) с уравнением (1.15), обнаруживаем полную их аналогию. Следовательно, средняя частота отказов с учетом восстановления с точки зрения процесса восстановления является интенсивностью общего процесса восстановления с конеч ным временем восстановления.

При мгновенном восстановлении R (т, 0) = 1 и средняя частота отказов с учетом восстановления становится тождественно равной средней частоте отказов со (і).

Выведем выражение, связывающее функцию готовности с дру гими характеристиками надежности.

Из N систем, первоначально поставленных на испытание, до интересующего нас момента времени t безотказно проработает Р {t) N

систем. В промежутке (т, т +					Дт), т < t, откажет <мр (т) N Дт систем,
из которых в промежутке				(£, £ + Д£), т •< £ <				t,	будет отремонти
ровано	(ор (т) N Дт [У? (т, £ +			Д£) — R (т, I)]. Из этого					числа к моменту
t + Af	ни	разу не выйдет			из строя
			юр(т)УѴДт[/?(т,		І +	Д £ )- /? (т ,	\| ) ] Я ( / - \| )			(1.30)
систем. Общее число исправно работающих на промежутке (t, і										At)
систем	равно
АГР(0 +		S	(т) А/ Дт S	[R (*,		I + ДЮ -	R (Т,	öl P ( t - g).		(1.31)
		о	о
Обозначим		£ — т = 0. Разделив				(1.31) на N и перейдя к пределу
при N —>оо,			Дт —>0, получим выражение для функции готовности:
			1		і — т
	r ( 0 = / J(0+ffl>p(T) J					P {t — т — 0)<У?(т, B)dx.				(1.32)
			о		о

Итак, зная законы распределения времени безотказной работы системы и времени ее восстановления, а также среднюю частоту отказов с учетом восстановления, можно определить значение функ ции готовности в произвольный момент времени. Расчет функ ции Г (t) по формуле (1.32) чаще всего производится приближен ными методами, так как аналитическое решение для большинства

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

законов распределения времени безотказной работы и времени вос становления затруднено.

Рассмотрим частные случаи функции готовности.
1.	Если время восстановления постоянно и не зависит от момента
отказа	системы, то выражение для функции готовности имеет вид
	Г (9 = /> (* )+		‘-Jт* wp( x ) P ( t - x ~ T B)dx.		(1.33)
			и
2.	Если время восстановления не зависит от вида отказа,				а яв
ляется	функцией времени	отказа Т в — Т в (т), то выражение			(1.32)
приобретает вид
	Г ( t ) = P ( t ) +	І - ТJв (т>		cop( x ) P ( t - x - T B(x))dx.	(1.34)
			о

3. Если, наконец, время восстановления является лишь функ

цией	вида отказа,	т. е.	R (т,	0)	=	R (0),	то	функция	готовности
будет	выглядеть так:
			i	t - x
	T(t) =	P{l) +	J С0 р(х)		J	P(t — т — Q)r{Q)dQdx.			(1.35)
			0	и
Для того чтобы		получить		выражение			для	функции	готовности

на промежутке Г (t, s), будем, как и ранее, предполагать, что на испы тании находятся N систем, причем отказавшие системы восстанавли ваются и снова возвращаются в строй. Задача состоит в подсчете числа систем, которые безотказно проработают в течение отрезка времени (0, t + s).

Количество систем, ни разу не отказавших во всем промежутке

испытания (0, t + s),	равно
	P ( t +		s)N .	(1.36)
В промежутке (т, т +	Ат),	т <	t, откажет сор (т) N	Ат систем. Из
них в промежутке (£,	\ +	Д£),	т < \ <С t, будет	восстановлено
®Р (т) N Ат [Я (т,			£ + А £ ) — R{x, £)]

систем. В случае технического обслуживания в порту можно пред положить, что ремонт полностью восстанавливает ресурс надеж

ности системы. Из числа восстановленных на промежутке (£, \|	+ Д£)
систем до момента времени t + s безотказно проработает
% (x)NAx[R(x, l + A l ) - R ( x , Z ) ] P ( t ± s - &	(1.37)

систем.

Для получения общего числа п (t, s) безотказно работающих на отрезке (i, t -j- s) систем необходимо просуммировать (1.37) по

							ГЛАВА 1
всем промежуткам Ат на отрезке (0,				t + s) и Д \|		на отрезке (0, t +
+ s — т)	и к сумме прибавить		(1.36):
		1	І —х
п (t, ~s) — P(t -I- s) А/ -I-			S ®	(T ) N Ат [# (т, I + A \|) —
		0	0
	- R ( f, g)]-P(* +				s - £ ) .		(1.38)
Обозначим I — T = Ѳ. Деление (1.38)					на N и	переход	к пределу
при N ---> оо, Ат —>О,		Д£ —>0 дает		выражение для функции готов
ности на	промежутке:
	lim -'-■тГі )-- =		Г (t, s ) = P ( t + s)-[-
	JV-> CD	ІѴ
	i	t —x
	-)- J cop (T )	J P (^ +	S —	T —	Q )d QR (% ,	Q )d t .	(1.39)

о0

Вчастном случае, когда время восстановления постоянно и равно Тв, выражение (1.39) приобретает вид

Г (t, s) = P ( t s) -[- г-Jг в % (%)P(t +	s - x ~ T B)dx.	(1.40)
о
Если время восстановления, являясь	случайной величиной

не зависит от момента отказа системы, то функция готовности на промежутке равна

t	І — Х
T(t, s) = P (t -\|- s) 4- Jwp (T )	j Ptf-j-s — T — Ѳ)г(Ѳ)сЮ<2т. (1.41)
о	0

Очевидно, что функция готовности является частным случаем функции готовности на промежутке при s = 0.

Приведенные формулы для функций Г (t) и Г (t, s) являются принципиально весьма общими, так как не накладывают ограниче ний на структуру системы и вид законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления. Однако данные фор мулы выводились в предположении, что система начинает восста навливаться после полного отказа ее. Применительно к резервиро ванным системам это означает, что восстановление не производится, пока не откажет вся система. Такой режим характерен, например, для элементов судовых систем управления, восстановление которых в силу ограниченных возможностей ремонта на судне осуществляется лишь в стационарных условиях баз и портов. Если же система начинает восстанавливаться до наступления полного отказа, то для оценки ее готовности целесообразно использовать машинные методы моделирования, рассмотренные в гл. V,

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Физическая модель, на базе которой получены формулы (1.32), (1.35), (1.39), (1.40), (1.41), представляет собой частный случай процесса восстановления с конечным временем восстановления, и потому для анализа этих формул применима теория данного про цесса.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА	§ 1.4
ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Выражение (1.32) описывает готовность системы при произвольном режиме ее работы, который в общем случае может быть как неуста новившимся (например, в период приработки или старения системы), так и установившимся. Установившемуся режиму, характерному для большей части времени функционирования систем, соответствует предельное значение функции готовности. Рассмотрим предельное значение средней частоты отказов с учетом восстановления (1.29) и функций готовности (1.35) и (1.41) при произвольных законах распределения времени безотказной работы и восстановления. При этом будем предполагать, что характер распределения длительности восстановления системы не зависит от момента ее отказа, т. е.

R (т, Ѳ) = R (Ѳ).

(1.42)

Такое предположение в известной мере идеализирует процесс экс_ плуатации аппаратуры, но в то же время для многих случаев яв ляется вполне естественным, например при работе системы в режиме дежурства.

Для получения асимптотического значения средней частоты отка зов с учетом ремонта воспользуемся свойством предельного соотно шения между произвольной функцией / (t) и ее изображением по Лапласу F (р), состоящим в том, что

lim f{t) — UmpF (p).

(1.43)

Уравнение для средней частоты отказов с учетом ремонта

со? (t) = а (t) + j Юр (T) J а (t — т — Ѳ) г (Ѳ) dB dx

оо

воператорной форме примет вид

Qp (Р) = Л (р) + Qp (р) Л (р) # (р),

откуда получаем

со
j е	pia(t)dt
о		■ (1.44)
со	0 3	■ (1.44)
о	о

				ГЛАВА 1
Согласно свойству (1.43)		со
		со
		р \| e ~ p i a (t )d i
lim со	(£) — lim --------— ----------------------------		со	(1.45)
	р V J	со	со
/->•00	р -> 0	с*	<•
	1 —	1 e ~ p t a { i ) d t	I e ~ pt г (t) dt

оо

Так как функции а (t) и /' (t) представляют собой плотности рас

пределения	случайных	величин и,	следовательно,	несобственные
	СО	СО
интегралы	j e~pta (t) dt	и j e~pir (t)	dt при p —>0	стремятся к 1,

оо

то правая часть выражения (1.45) представляет собой неопределен

ность вида Для раскрытия ее воспользуемся правилом Лопи-

таля. После дифференцирования числителя и знаменателя по р будем иметь

			I е	pi a(t)dt — р j* е ptta(t)dt
lirncOp (t) =	lim		о	о
lirncOp (t) =	lim	со	ш		со
/ ->со	р -> О			(О dt-\r \ е - р‘ а (t) dt J e~pi tг (t) dt
				(О dt-\r \ е - р‘ а (t) dt J e~pi tг (t) dt
				О	О
					(1.46)
Предельный		переход	при	р —>0 в числителе	выражения (1.46)

дает 1, а в знаменателе сумму математических ожиданий времени безотказной работы Тср и времени восстановления Тв. Таким образом,

lim <цр (t) -	1	(1.47)
	Тер 4"Та
/->00
Итак, средняя частота отказов с учетом ремонта в пределе		равна

обратному значению среднего времени между двумя соседними отка зами. Такого результата и следовало ожидать, так как функ ция сор (t), как уже отмечалось выше, является интенсивностью потока восстановления с конечным временем восстановления. Это об

стоятельство позволяет производить		анализ	функции	готовности
в терминах узловой теоремы восстановления			[7].
Рассмотрим предельное значение функции Г (t) с учетом усло
вия (1.42), приняв в равенстве (1.35) t —>оо.			Введем	обозначение
	/—Т
K{t — x) =	j P(t — т — Ѳ)г(Ѳ)гіѲ.			(1.48)
	О
Тогда выражение (1.35) перепишется		в виде
	/
r ( 0 = .P ( 0	+ J 4 e W - T ) d T .			(1.49)
	о

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Важно отметить, что для свойственных теории надежности законов распределения случайных величин К { t — т) — неотрицательная функция, заданная при положительных і, ограниченная и принад лежащая к классу суммируемых функций. В этом случае в соот

ветствии с узловой	теоремой		восстановления (1.17) при			/ —>оо
/				оэ
[ сйр (т) К {t — т) dx —>				J	К (х) dx
б			ср	в о
и, следовательно,
			со і
lim Г (t) =		= >	[ f Р (t — 0) г (Ѳ) dd dt.
<->ш		1 c p - t - '	J
Воспользуемся еще раз		свойством (1.43):
			СО		00
lim Г (0 =	lim -jr- W		[ e~pi P (t) dt		( e~pi r (t) dt.	(1.50)
CO	p-> 0 J c p - T - i B g 1				0J

Первый интеграл соотношения (1.50) при р —>0 равен математиче скому ожиданию среднего времени безотказной работы Т, а второй 1. Поэтому получаем

lim Г (/) =	= kT.	(1.51)
/- » ou	' c p “ M n

Итак, при любых законах распределения времени безотказной работы и ремонта системы функция готовности стремится к коэф фициенту готовности в установившемся режиме. Формулы для коэф фициента готовности, выраженные через параметры различных за конов распределения времени безотказной работы и времени вос становления, приведены в табл. 1.4.

Аналогично предыдущему можно определить асимптотическое значение функции готовности на конечном промежутке (t, t + s). Применение узловой теоремы восстановления к (1.41) дает

со і

lim Г (t, s) — -=—^-=- f			f P (M - s — Ѳ) r (0) dBdx.
t-*oo	1 cp -T	1 B 0	gf
На основании	свойства (1.43)	имеем
			СЮ
	lim Г {t, s) =	-T-	f P(t + s)dt.	(1.52)
	<->oo

Далее путем замены переменной в интеграле (1.52) и элементарных преобразований получаем

СО

lim Г (*, s) — kr	f P (t) dl = Г (s).	(1.53)
• ' c p	J

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ